Страница 10 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Угол между биссектрисой угла $\angle ABC$ и лучом, дополнительным к стороне $BA$, равен $124^\circ$. Найдите угол $\angle ABC$.

46. Угол между биссектрисой угла $\angle ABC$ и лучом, дополнительным к стороне $BA$, равен $124^\circ$. Найдите угол $\angle ABC$.

Пусть $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, а $BK$ — луч, дополнительный к стороне $BA$.

По определению биссектрисы, она делит угол $\angle ABC$ на два равных угла, то есть $\angle ABD = \angle DBC$. Следовательно, $\angle ABC = 2 \times \angle ABD$.

Поскольку луч $BK$ является дополнительным к лучу $BA$, то лучи $BA$ и $BK$ лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Углы $\angle KBD$ и $\angle ABD$ являются смежными, так как у них общая сторона $BD$, а стороны $BK$ и $BA$ являются дополнительными лучами. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать равенство: $\angle KBD + \angle ABD = 180^\circ$.

Из условия задачи известно, что угол между биссектрисой $BD$ и дополнительным лучом $BK$ равен $124^\circ$, то есть $\angle KBD = 124^\circ$.

Подставим известное значение в равенство для смежных углов: $124^\circ + \angle ABD = 180^\circ$.

Отсюда найдем величину угла $\angle ABD$: $\angle ABD = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$.

Теперь, зная величину половины угла $\angle ABC$ (то есть $\angle ABD$), мы можем найти искомый угол $\angle ABC$: $\angle ABC = 2 \times \angle ABD = 2 \times 56^\circ = 112^\circ$.

Ответ: $112^\circ$.

48. На рисунке 21 прямые $AD$, $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $O$. Луч $OE$ — биссектриса угла $FOD$. Найдите угол $BOD$, если $\angle FOE = 42^\circ$.

Рис. 21

48. На рисунке 21 прямые AD, BE и CF пересекаются в точке O. Луч OE — биссектриса угла FOD. Найдите угол BOD, если $ \angle FOE = 42^\circ $.

Рис. 21

По условию задачи луч OE является биссектрисой угла FOD. Биссектриса делит угол на два равных угла, следовательно:

$ \angle FOE = \angle EOD $

Так как нам известно, что $ \angle FOE = 42^{\circ} $, то и $ \angle EOD = 42^{\circ} $.

Углы AOB и EOD являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых AD и BE. Свойство вертикальных углов заключается в том, что они равны. Таким образом:

$ \angle AOB = \angle EOD = 42^{\circ} $

Углы AOB и BOD являются смежными, поскольку вместе они образуют развернутый угол AOD (прямую AD). Сумма смежных углов равна $ 180^{\circ} $.

$ \angle AOB + \angle BOD = 180^{\circ} $

Чтобы найти $ \angle BOD $, подставим известное значение $ \angle AOB $ в уравнение:

$ 42^{\circ} + \angle BOD = 180^{\circ} $

Выразим $ \angle BOD $:

$ \angle BOD = 180^{\circ} - 42^{\circ} $

$ \angle BOD = 138^{\circ} $

Ответ: $138^{\circ}$

50. Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны (рис. 22). Укажите пары перпендикулярных отрезков, изображённых на рисунке.

Рис. 22

50. Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны (рис. 22). Укажите пары перпендикулярных отрезков, изображённых на рисунке.

Рис. 22

По определению, два отрезка называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

В условии задачи сказано, что прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, то есть $a \perp b$.

На рисунке мы видим, что на прямой $a$ лежат отрезки $AC$, $CD$ и $AD$. На прямой $b$ лежит отрезок $BD$.

Так как прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, то любой отрезок, лежащий на прямой $a$, будет перпендикулярен любому отрезку, лежащему на прямой $b$.

Следовательно, перпендикулярными будут следующие пары отрезков:

1. Отрезок $AC$ (лежащий на прямой $a$) и отрезок $BD$ (лежащий на прямой $b$).
2. Отрезок $CD$ (лежащий на прямой $a$) и отрезок $BD$ (лежащий на прямой $b$).
3. Отрезок $AD$ (лежащий на прямой $a$) и отрезок $BD$ (лежащий на прямой $b$).

Ответ: $AC \perp BD$; $CD \perp BD$; $AD \perp BD$.