Страница 103 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Тема. Окружность и круг.

Геометрические построения

1. На рисунке 271 точка $O$ — центр окружности, $\angle AOC = 50^\circ$. Найдите угол $\angle BCO$.

2. К окружности с центром $O$ провели касательную $AB$ ($B$ — точка касания). Найдите радиус окружности, если $AB = 8$ см и $\angle AOB = 45^\circ$.

3. Через концы диаметра $AB$ окружности с центром $O$ проведены параллельные хорды $BC$ и $AD$ (рис. 272). Докажите, что $AD = BC$.

Рис. 271

Рис. 272

4. Постройте равнобедренный треугольник по медиане, проведённой к основанию, и углу между этой медианой и боковой стороной треугольника.

5. На данной окружности постройте точку, находящуюся на данном расстоянии от данной прямой. Сколько решений может иметь задача?

Контрольная работа № 4

Тема. Окружность и круг.

Геометрические построения

1. На рисунке 271 точка $O$ — центр окружности, $\angle AOC = 50^{\circ}$. Найдите угол $BCO$.

2. К окружности с центром $O$ провели касательную $AB$ ($B$ — точка касания). Найдите радиус окружности, если $AB = 8$ см и $\angle AOB = 45^{\circ}$.

3. Через концы диаметра $AB$ окружности с центром $O$ проведены параллельные хорды $BC$ и $AD$ (рис. 272). Докажите, что $AD = BC$.

Рис. 271

Рис. 272

4. Постройте равнобедренный треугольник по медиане, проведённой к основанию, и углу между этой медианой и боковой стороной треугольника.

5. На данной окружности постройте точку, находящуюся на данном расстоянии от данной прямой. Сколько решений может иметь задача?

1.

Рассмотрим треугольник $BOC$. Так как $O$ — центр окружности, отрезки $OB$ и $OC$ являются радиусами. Следовательно, $OB = OC$, и треугольник $BOC$ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle OBC = \angle BCO$.

Из рисунка видно, что точки $A$, $O$, $B$ лежат на одной прямой, то есть $AB$ — диаметр. Углы $\angle AOC$ и $\angle BOC$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle BOC = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $BOC$ равна $180^\circ$:

$\angle BOC + \angle OBC + \angle BCO = 180^\circ$

Так как $\angle OBC = \angle BCO$, мы можем записать:

$130^\circ + 2 \cdot \angle BCO = 180^\circ$

$2 \cdot \angle BCO = 180^\circ - 130^\circ$

$2 \cdot \angle BCO = 50^\circ$

$\angle BCO = 50^\circ / 2 = 25^\circ$.

Ответ: $25^\circ$.

2.

По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. В данном случае, радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$ в точке $B$.

Следовательно, угол $\angle OBA = 90^\circ$.

Треугольник $AOB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. В этом треугольнике нам известны катет $AB = 8$ см и угол $\angle AOB = 45^\circ$. Мы хотим найти длину другого катета $OB$, который является радиусом окружности.

В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\angle AOB) = \frac{AB}{OB}$

Подставим известные значения:

$\tan(45^\circ) = \frac{8}{OB}$

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:

$1 = \frac{8}{OB}$

Отсюда следует, что $OB = 8$ см.

Ответ: 8 см.

3.

Дано: Окружность с центром $O$, $AB$ — диаметр, $BC$ и $AD$ — хорды, $BC \parallel AD$.

Доказать: $AD = BC$.

Доказательство:

Поскольку хорды $BC$ и $AD$ параллельны, то дуги, заключённые между этими хордами, равны. То есть, дуга $AC$ равна дуге $BD$.

$\cup AC = \cup BD$.

Так как $AB$ является диаметром, он делит окружность на две полуокружности, градусная мера каждой из которых равна $180^\circ$.

Рассмотрим полуокружность $ACB$. Её градусная мера равна $180^\circ$:

$\cup AC + \cup BC = 180^\circ$

Рассмотрим полуокружность $ADB$. Её градусная мера также равна $180^\circ$:

$\cup AD + \cup BD = 180^\circ$

Из этих двух равенств следует, что $\cup AC + \cup BC = \cup AD + \cup BD$.

Так как мы установили, что $\cup AC = \cup BD$, мы можем вычесть равные дуги из обеих частей равенства:

$\cup BC = \cup AD$.

Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, хорда $BC$ равна хорде $AD$.

$AD = BC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AD = BC$.

4.

Пусть нам даны отрезок $m$, равный длине медианы к основанию, и угол $\alpha$, равный углу между этой медианой и боковой стороной.

Анализ:

Пусть искомый равнобедренный треугольник — это $\triangle ABC$ с основанием $BC$ и боковыми сторонами $AB=AC$. Пусть $AM$ — медиана к основанию $BC$, тогда $AM = m$. Угол между медианой $AM$ и боковой стороной $AB$ равен $\alpha$, то есть $\angle BAM = \alpha$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, $AM \perp BC$, то есть $\angle AMB = 90^\circ$.

Таким образом, мы можем построить прямоугольный треугольник $AMB$ по катету $AM = m$ и прилежащему острому углу $\angle BAM = \alpha$. Построив $\triangle AMB$, мы легко можем достроить его до искомого $\triangle ABC$, так как $M$ — середина $BC$.

Построение:

1. Строим прямую $a$. На ней выбираем произвольную точку $M$.
2. Через точку $M$ проводим прямую $b$, перпендикулярную прямой $a$.
3. На прямой $b$ от точки $M$ откладываем отрезок $MA$, равный данному отрезку $m$.
4. От луча $MA$ откладываем угол, равный данному углу $\alpha$, так, чтобы вторая сторона угла пересекла прямую $a$. Точку пересечения обозначаем $B$. В результате получаем прямоугольный треугольник $AMB$.
5. На прямой $a$ от точки $M$ в сторону, противоположную лучу $MB$, откладываем отрезок $MC$, равный отрезку $MB$.
6. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым. По построению $AM$ — медиана и высота, значит $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AM=m$ и $\angle BAM = \alpha$.

Ответ: Построение описано выше.

5.

Геометрическим местом точек (ГМТ), находящихся на заданном расстоянии $d$ от данной прямой $l$, являются две прямые, $l_1$ и $l_2$, параллельные прямой $l$ и расположенные по разные стороны от неё на расстоянии $d$.

Таким образом, задача сводится к нахождению точек пересечения данной окружности $\omega$ с двумя прямыми $l_1$ и $l_2$.

Построение:

1. Строим прямые $l_1$ и $l_2$, параллельные данной прямой $l$ и отстоящие от неё на данное расстояние $d$.
2. Находим точки пересечения построенных прямых $l_1$ и $l_2$ с данной окружностью $\omega$. Эти точки и будут искомыми.

Количество решений:

Количество решений зависит от взаимного расположения окружности и прямых $l_1$ и $l_2$. Прямая и окружность могут иметь 0, 1 или 2 общие точки. Так как у нас две прямые, общее число решений может быть различным.

Пусть $R$ — радиус окружности, а $D$ — расстояние от её центра до прямой $l$. Расстояния от центра окружности до прямых $l_1$ и $l_2$ будут равны $|D-d|$ и $D+d$.

В зависимости от соотношений между $R$, $D$ и $d$, задача может иметь следующее количество решений:

• Ноль решений: если обе прямые $l_1$ и $l_2$ не пересекают окружность.
• Одно решение: если одна из прямых касается окружности, а другая её не пересекает.
• Два решения: если одна прямая пересекает окружность в двух точках, а другая не пересекает, либо если обе прямые касаются окружности.
• Три решения: если одна прямая касается окружности, а другая пересекает её в двух точках.
• Четыре решения: если обе прямые пересекают окружность в двух точках.

Таким образом, задача может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.

Ответ: Задача может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.