Страница 12 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Равные отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $AO : OB = CO : OD = 2 : 1$. Докажите, что $\triangle AOD = \triangle COB$.

60. Равные отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $AO : OB = CO : OD = 2 : 1$. Докажите, что $\triangle AOD = \triangle COB$.

По условию задачи дано, что отрезки $AB$ и $CD$ равны ($AB = CD$) и пересекаются в точке $O$ так, что $AO : OB = 2 : 1$ и $CO : OD = 2 : 1$.

Введем переменные для длин отрезков. Пусть $OB = x$ и $OD = y$. Тогда из данных соотношений следует, что $AO = 2x$ и $CO = 2y$. Длины полных отрезков будут равны $AB = AO + OB = 2x + x = 3x$ и $CD = CO + OD = 2y + y = 3y$.

Поскольку по условию $AB = CD$, мы можем приравнять их выражения: $3x = 3y$, из чего следует, что $x = y$. Это означает, что соответствующие части отрезков равны:

• $OB = x$ и $OD = y$, значит $OB = OD$.
• $AO = 2x$ и $CO = 2y$, значит $AO = CO$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. Сравним их элементы:

1. Сторона $AO$ треугольника $\triangle AOD$ равна стороне $CO$ треугольника $\triangle COB$ ($AO = CO$).

2. Сторона $OD$ треугольника $\triangle AOD$ равна стороне $OB$ треугольника $\triangle COB$ ($OD = OB$).

3. Угол $\angle AOD$ равен углу $\angle COB$ ($\angle AOD = \angle COB$), так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$.

Таким образом, две стороны и угол между ними одного треугольника ($\triangle AOD$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($\triangle COB$). Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOD = \triangle COB$.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle AOD = \triangle COB$ доказано.

64. На рисунке 27 $AC = CD$, $\angle MAF = \angle TDK$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DEC$.

64. На рисунке 27 $AC = CD$, $\angle MAF = \angle TDK$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DEC$.

Рис. 27

Для доказательства того, что $\triangle ABC = \triangle DEC$, воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$ и сравним их элементы:

1. Сторона: По условию задачи дано, что $AC = CD$.

2. Первый прилежащий угол: Углы $\angle BCA$ и $\angle DCE$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AE$ и $BD$. Согласно свойству вертикальных углов, они равны: $\angle BCA = \angle DCE$.

3. Второй прилежащий угол: Нам нужно сравнить углы $\angle BAC$ и $\angle CDE$.
- Угол $\angle BAC$ и угол $\angle MAF$ являются вертикальными (образованы при пересечении прямых $BF$ и $ME$). Следовательно, $\angle BAC = \angle MAF$.
- Угол $\angle CDE$ и угол $\angle TDK$ также являются вертикальными (образованы при пересечении прямых $BK$ и $TE$). Следовательно, $\angle CDE = \angle TDK$.
- По условию задачи известно, что $\angle MAF = \angle TDK$.
- Так как $\angle BAC = \angle MAF$ и $\angle CDE = \angle TDK$, из равенства $\angle MAF = \angle TDK$ следует, что $\angle BAC = \angle CDE$.

Таким образом, мы установили, что сторона и два прилежащих к ней угла треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам треугольника $\triangle DEC$ ($AC = CD$, $\angle BCA = \angle DCE$, $\angle BAC = \angle CDE$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle ABC = \triangle DEC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC = \triangle DEC$ доказано.

65. На рисунке 28 $∠CDB = ∠FBD$, $∠FDB = ∠CBD$. Дока- жите, что $∠BCD = ∠BFD$.

Рис. 28

65. На рисунке 28 $\angle CDB = \angle FBD, \angle FDB = \angle CBD$. Докажите, что $\angle BCD = \angle BFD$.

Рис. 28

Для доказательства равенства углов $\angle BCD$ и $\angle BFD$ рассмотрим треугольники $\triangle BCD$ и $\triangle DFB$.

Сравним элементы этих треугольников:

1. $\angle CBD = \angle FDB$ (по условию задачи).
2. $BD$ в треугольнике $\triangle BCD$ равна стороне $DB$ в треугольнике $\triangle DFB$, так как это общая сторона.
3. $\angle CDB = \angle FBD$ (по условию задачи).

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle BCD$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle DFB$).

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), следует, что $\triangle BCD \cong \triangle DFB$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. В частности, углы, лежащие напротив равных сторон, равны. Угол $\angle BCD$ в $\triangle BCD$ лежит напротив стороны $BD$. Соответствующий ему угол в $\triangle DFB$ — это угол $\angle DFB$ (или $\angle BFD$), который лежит напротив стороны $DB$.

Следовательно, $\angle BCD = \angle DFB = \angle BFD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle BCD = \angle BFD$ доказано.