Страница 16 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Перерисуйте в тетрадь рисунок 39. Проведите через точку $O$ прямые, параллельные прямым $k$ и $p$.

Рис. 39

89. Перерисуйте в тетрадь рисунок 39. Проведите через точку $O$ прямые, параллельные прямым $k$ и $p$.

Рис. 39

Для построения прямой, параллельной данной, через заданную точку на клетчатой бумаге, необходимо определить "шаг" — смещение по горизонтали и вертикали между двумя любыми точками прямой, расположенными в узлах сетки. Затем этот "шаг" нужно применить к заданной точке, чтобы найти вторую точку для построения искомой параллельной прямой.

Проведение прямой, параллельной прямой k

1. Рассмотрим прямую $k$. Найдём на ней две точки, расположенные в узлах сетки. Двигаясь вдоль прямой $k$, можно заметить, что смещению на 1 клетку вправо соответствует смещение на 2 клетки вниз. Это и есть "шаг" для прямой $k$.

2. Теперь применим этот же "шаг" к точке $O$. От точки $O$ сместимся на 1 клетку вправо и на 2 клетки вниз и отметим новую точку.

3. Проведём прямую через точку $O$ и новую отмеченную точку. Построенная прямая будет параллельна прямой $k$.

Ответ: Прямая, проходящая через точку $O$ и узел сетки, расположенный на 1 клетку правее и 2 клетки ниже $O$, параллельна прямой $k$.

Проведение прямой, параллельной прямой p

1. Аналогично определим "шаг" для прямой $p$. Выбрав две точки на ней в узлах сетки, мы видим, что смещению на 3 клетки вправо соответствует смещение на 2 клетки вниз.

2. Применим этот "шаг" к точке $O$. От точки $O$ сместимся на 3 клетки вправо и на 2 клетки вниз и отметим новую точку.

3. Проведём прямую через точку $O$ и эту новую точку. Полученная прямая будет параллельна прямой $p$.

Ответ: Прямая, проходящая через точку $O$ и узел сетки, расположенный на 3 клетки правее и 2 клетки ниже $O$, параллельна прямой $p$.

На рисунке ниже показан результат построения. Новая прямая, параллельная $k$, обозначена как $k'$, а прямая, параллельная $p$, — как $p'$.

90. На рисунке 40 $AB = BC$, $AD = DC$, $\angle MKF = \angle PKF$, $\angle KMF = \angle KPF$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 40

90. На рисунке 40 $AB = BC, AD = DC, \angle MKF = \angle PKF, \angle KMF = \angle KPF$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 40

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, $AB = BC$. Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

2. Также по условию, $AD = DC$. Это значит, что точка $D$ является серединой основания $AC$. Отрезок $BD$, соединяющий вершину $B$ с серединой основания $D$, является медианой треугольника $ABC$.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BD \perp AC$. Прямая $a$ проходит через отрезок $BD$, значит, прямая $a$ перпендикулярна прямой, на которой лежит отрезок $AC$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $MKP$. По условию, $\angle KMF = \angle KPF$. Поскольку точки $M$, $F$, $P$ лежат на одной прямой, то $\angle KMF$ это тот же угол, что и $\angle KMP$, а $\angle KPF$ — тот же, что и $\angle KPM$. Таким образом, $\angle KMP = \angle KPM$.

5. Если в треугольнике углы при основании равны, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $MKP$ — равнобедренный с основанием $MP$.

6. По условию, $\angle MKF = \angle PKF$. Это означает, что отрезок $KF$ является биссектрисой угла $MKP$.

7. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также и высотой. Следовательно, $KF \perp MP$. Прямая $b$ проходит через отрезок $KF$, значит, прямая $b$ перпендикулярна прямой, на которой лежит отрезок $MP$.

8. Отрезки $AC$ и $MP$ лежат на одной и той же прямой. Мы доказали, что прямая $a \perp AC$ и прямая $b \perp MP$. Таким образом, обе прямые $a$ и $b$ перпендикулярны одной и той же третьей прямой.

9. Согласно свойству параллельных прямых, если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $a \parallel b$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $a$ и $b$ перпендикулярны одной и той же прямой, а значит, они параллельны.

91. Докажите, что прямые a и с параллельны (рис. 41).

Рис. 41

91. Докажите, что прямые $a$ и $c$ параллельны (рис. 41).

Рис. 41

Для доказательства параллельности прямых a и c воспользуемся свойством транзитивности параллельных прямых. Доказательство проведем в два этапа.

1. Рассмотрим прямые a, b и секущую m.Из условия, представленного на рисунке, мы видим, что прямая a перпендикулярна прямой m ($a \perp m$), и прямая b перпендикулярна прямой m ($b \perp m$).Согласно теореме, если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой.Следовательно, мы можем заключить, что прямая a параллельна прямой b: $a \parallel b$.

2. Теперь рассмотрим прямые b, c и секущую n.Аналогично, из рисунка следует, что прямая b перпендикулярна прямой n ($b \perp n$), и прямая c перпендикулярна прямой n ($c \perp n$).Применяя ту же самую теорему, мы заключаем, что прямая b параллельна прямой c: $b \parallel c$.

3. В результате мы получили два утверждения: $a \parallel b$ и $b \parallel c$.Существует аксиома (или свойство транзитивности): если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.Так как прямая a параллельна прямой b, и прямая c также параллельна прямой b, то из этого следует, что прямая a параллельна прямой c: $a \parallel c$.

Таким образом, мы доказали, что прямые a и c параллельны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых a и c доказана на основе того, что обе они параллельны прямой b.

92. На рисунке 42 укажите все пары разносторонних, односторонних и соответственных углов.

Рис. 42

Разносторонние углы:

Внутренние разносторонние углы:

$\angle CKE$ и $\angle FPB$

$\angle DKE$ и $\angle APF$

Внешние разносторонние углы:

$\angle CKF$ и $\angle EPB$

$\angle FKD$ и $\angle APE$

Односторонние углы:

Внутренние односторонние углы:

$\angle CKE$ и $\angle APF$

$\angle DKE$ и $\angle FPB$

Внешние односторонние углы:

$\angle CKF$ и $\angle APE$

$\angle FKD$ и $\angle EPB$

Соответственные углы:

$\angle CKF$ и $\angle APF$

$\angle FKD$ и $\angle FPB$

$\angle CKE$ и $\angle APE$

$\angle DKE$ и $\angle EPB$

92. На рисунке 42 укажите все пары разносторонних, односторонних и соответственных углов.

Разносторонние углы

Внутренние разносторонние:

$\angle CKE$ и $\angle BPF$

$\angle DKE$ и $\angle APF$

Внешние разносторонние:

$\angle CKF$ и $\angle BPE$

$\angle DKF$ и $\angle APE$

Односторонние углы

Внутренние односторонние:

$\angle CKE$ и $\angle APF$

$\angle DKE$ и $\angle BPF$

Внешние односторонние:

$\angle CKF$ и $\angle APE$

$\angle DKF$ и $\angle BPE$

Соответственные углы

$\angle CKF$ и $\angle APF$

$\angle DKF$ и $\angle BPF$

$\angle CKE$ и $\angle APE$

$\angle DKE$ и $\angle BPE$

Разносторонние углы
Разносторонние (внутренние накрест лежащие) углы — это пары углов, которые находятся между прямыми $CD$ и $AB$ и по разные стороны от секущей $EF$. На рисунке это две пары:
$ \angle CKP $ и $ \angle BPK $
$ \angle DKP $ и $ \angle APK $
Ответ: $ \angle CKP $ и $ \angle BPK $; $ \angle DKP $ и $ \angle APK $.

Односторонние углы
Односторонние (внутренние односторонние) углы — это пары углов, которые находятся между прямыми $CD$ и $AB$ и по одну сторону от секущей $EF$. На рисунке это две пары:
$ \angle CKP $ и $ \angle APK $
$ \angle DKP $ и $ \angle BPK $
Ответ: $ \angle CKP $ и $ \angle APK $; $ \angle DKP $ и $ \angle BPK $.

Соответственные углы
Соответственные углы — это пары углов, которые находятся по одну сторону от секущей $EF$ и занимают одинаковое положение относительно прямых $CD$ и $AB$ (например, оба являются верхними левыми). На рисунке это четыре пары:
$ \angle CKF $ и $ \angle APK $
$ \angle FKD $ и $ \angle BPK $
$ \angle CKE $ и $ \angle APE $
$ \angle DKE $ и $ \angle BPE $
Ответ: $ \angle CKF $ и $ \angle APK $; $ \angle FKD $ и $ \angle BPK $; $ \angle CKE $ и $ \angle APE $; $ \angle DKE $ и $ \angle BPE $.

93. Параллельны ли прямые $a$ и $b$ на рисунке 43? Ответ обоснуйте.

Рис. 43

$a$

$b$

$47^\circ$

$133^\circ$

93. Параллельны ли прямые $a$ и $b$ на рисунке 43? Ответ обоснуйте.

Рис. 43

$a$

$b$

$47^\circ$

$133^\circ$

Для того чтобы определить, параллельны ли прямые a и b, воспользуемся признаками параллельности прямых. На рисунке изображены две прямые a и b, пересеченные третьей прямой (секущей).

Обозначим угол, равный $47^{\circ}$, как $\angle 1$. Этот угол является внешним. Найдем внутренний угол, который является вертикальным углу $\angle 1$. Обозначим его $\angle 2$. Так как вертикальные углы равны, то $\angle 2 = \angle 1 = 47^{\circ}$.

Обозначим угол, равный $133^{\circ}$, как $\angle 3$. Этот угол является внутренним.

Углы $\angle 2$ и $\angle 3$ являются внутренними односторонними углами при прямых a и b и секущей. Проверим, выполняется ли для них признак параллельности прямых: сумма внутренних односторонних углов должна быть равна $180^{\circ}$.

Найдем сумму этих углов:
$\angle 2 + \angle 3 = 47^{\circ} + 133^{\circ} = 180^{\circ}$.

Поскольку сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$, то по признаку параллельности прямых, прямые a и b параллельны.

Ответ: Да, прямые a и b параллельны, так как сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$.