Страница 21 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

123. Найдите сторону $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$, если $AB = 10$ см, $BC = 4$ см.

123. Найдите сторону $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$, если $AB = 10$ см, $BC = 4$ см.

В равнобедренном треугольнике две из трех сторон равны. По условию задачи, нам даны длины двух сторон треугольника $ABC$: $AB = 10$ см и $BC = 4$ см. Третья сторона, $AC$, должна быть равна одной из данных сторон, чтобы треугольник был равнобедренным. Рассмотрим два возможных варианта и проверим их на соответствие неравенству треугольника, согласно которому сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

1. Предположим, что $AC$ равна $BC$.
В этом случае стороны треугольника равны: $AB = 10$ см, $BC = 4$ см, $AC = 4$ см.Проверим выполнение неравенства треугольника: сумма двух меньших сторон должна быть больше третьей.$BC + AC > AB$$4 + 4 > 10$$8 > 10$Это неравенство неверно, следовательно, треугольник с такими сторонами существовать не может.

2. Предположим, что $AC$ равна $AB$.
В этом случае стороны треугольника равны: $AB = 10$ см, $AC = 10$ см, $BC = 4$ см.Проверим выполнение неравенства треугольника:$AB + AC > BC \implies 10 + 10 > 4 \implies 20 > 4$ (верно).$AB + BC > AC \implies 10 + 4 > 10 \implies 14 > 10$ (верно).Так как неравенство треугольника выполняется для всех комбинаций сторон, такой треугольник существует.

Таким образом, из двух возможных вариантов подходит только второй. Значит, сторона $AC$ равна 10 см.

Ответ: 10 см.

124. Сравните углы треугольника ABC, если $AB < BC$ и $AB = AC$.

124. Сравните углы треугольника $ABC$, если $AB < BC$ и $AB = AC$.

Согласно условию задачи, в треугольнике $ABC$ стороны связаны соотношениями $AB = AC$ и $AB < BC$.

Из равенства сторон $AB = AC$ следует, что треугольник $ABC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, также равны. Стороне $AC$ противолежит угол $\angle B$, а стороне $AB$ — угол $\angle C$. Таким образом, получаем первое соотношение между углами: $\angle B = \angle C$.

Теперь воспользуемся неравенством $AB < BC$. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Стороне $AB$ противолежит угол $\angle C$, а стороне $BC$ противолежит угол $\angle A$. Поскольку сторона $AB$ меньше стороны $BC$, то и противолежащий ей угол $\angle C$ будет меньше угла $\angle A$, противолежащего стороне $BC$. Отсюда следует второе соотношение: $\angle C < \angle A$.

Объединяя полученные результаты ($\angle B = \angle C$ и $\angle C < \angle A$), мы можем сравнить все три угла треугольника.

Ответ: $\angle B = \angle C < \angle A$.

125. Сравните стороны треугольника DEF, если $\angle D > \angle E$ и $\angle E > \angle F$.

125. Сравните стороны треугольника DEF, если $\angle D > \angle E$ и $\angle E > \angle F$.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством соотношения сторон и углов треугольника, которое гласит: в треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, и наоборот, напротив большей стороны лежит больший угол.

Рассмотрим треугольник $DEF$. Его стороны: $DE$, $EF$ и $DF$. Соответствующие им противолежащие углы: $\angle F$, $\angle D$ и $\angle E$.

По условию задачи даны два неравенства для углов треугольника:

1. $\angle D > \angle E$

2. $\angle E > \angle F$

Применим указанное выше свойство к первому неравенству $\angle D > \angle E$. Углу $\angle D$ противолежит сторона $EF$, а углу $\angle E$ противолежит сторона $DF$. Так как $\angle D > \angle E$, то и противолежащая ему сторона будет больше:

$EF > DF$

Теперь применим то же свойство ко второму неравенству $\angle E > \angle F$. Углу $\angle E$ противолежит сторона $DF$, а углу $\angle F$ противолежит сторона $DE$. Так как $\angle E > \angle F$, то и сторона, лежащая напротив $\angle E$, будет больше:

$DF > DE$

Теперь мы имеем два неравенства для сторон треугольника: $EF > DF$ и $DF > DE$. Объединяя их в одну цепочку неравенств, получаем:

$EF > DF > DE$

Это означает, что сторона $EF$ является самой длинной стороной треугольника, а сторона $DE$ — самой короткой.

Ответ: $EF > DF > DE$.

126. Существует ли треугольник $ABC$, в котором $\angle A = 32^\circ$, $\angle B = 74^\circ$, $BC = 6$ см, $AC = 5$ см?

126. Существует ли треугольник ABC, в котором $\angle A = 32^\circ$, $\angle B = 74^\circ$, $BC = 6\text{ см}$, $AC = 5\text{ см}$?

Для того чтобы определить, существует ли треугольник с заданными параметрами, можно воспользоваться свойством соотношения сторон и углов треугольника. Это свойство гласит, что в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против меньшего угла — меньшая сторона.

В условии даны два угла треугольника $ABC$: $ \angle A = 32^\circ $ и $ \angle B = 74^\circ $.

Сравним их величины: $ 74^\circ > 32^\circ $, следовательно, $ \angle B > \angle A $.

Согласно вышеупомянутому свойству, сторона, лежащая против угла $B$ (это сторона $AC$), должна быть длиннее стороны, лежащей против угла $A$ (это сторона $BC$). Таким образом, для существования такого треугольника должно выполняться неравенство $ AC > BC $.

Теперь обратимся к длинам сторон, указанным в условии: $ BC = 6 $ см и $ AC = 5 $ см.

Сравнивая эти длины, получаем $ 5 \text{ см} < 6 \text{ см} $, то есть $ AC < BC $.

Возникло противоречие: из сравнения углов следует, что должно быть $ AC > BC $, а согласно заданным длинам сторон, $ AC < BC $. Такое одновременное выполнение двух противоположных неравенств невозможно.

К этому же выводу можно прийти, используя теорему синусов, которая утверждает, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла является величиной постоянной для всех сторон данного треугольника: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $.

Для нашего случая это означает, что должно выполняться равенство $ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} $.

Подставим известные значения: $ \frac{5}{\sin(74^\circ)} = \frac{6}{\sin(32^\circ)} $.

Это равенство можно переписать в виде пропорции: $ \frac{AC}{BC} = \frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle A)} $, то есть $ \frac{5}{6} = \frac{\sin(74^\circ)}{\sin(32^\circ)} $.

Так как функция синуса в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$ является возрастающей, а $ 74^\circ > 32^\circ $, то и $ \sin(74^\circ) > \sin(32^\circ) $. Отсюда следует, что их отношение $ \frac{\sin(74^\circ)}{\sin(32^\circ)} > 1 $.

В то же время, отношение длин сторон $ \frac{5}{6} < 1 $. Таким образом, мы снова приходим к противоречию, так как число, которое меньше единицы, не может быть равно числу, которое больше единицы.

Следовательно, треугольник с заданными параметрами не существует.

Ответ: нет, такой треугольник не существует.

127. Существует ли треугольник $ABC$, в котором $\angle A = 100^\circ$, $AB = 9 \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см}$?

127. Существует ли треугольник $ABC$, в котором $\angle A = 100^{\circ}$, $AB = 9$ см, $BC = 4$ см?

Для того чтобы определить, существует ли треугольник с заданными параметрами, можно воспользоваться свойством соотношения сторон и углов в треугольнике или теоремой синусов.

Способ 1: Соотношение сторон и углов в треугольнике

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, и наоборот, против большей стороны лежит больший угол.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ даны:

• $∠A = 100°$
• $AB = 9$ см
• $BC = 4$ см

Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Следовательно, $∠A + ∠B + ∠C = 180°$.

Поскольку $∠A = 100°$, то сумма двух других углов составляет $∠B + ∠C = 180° - 100° = 80°$.

Так как углы $∠B$ и $∠C$ должны быть положительными, каждый из них строго меньше $80°$. Это означает, что оба угла, $∠B$ и $∠C$, меньше угла $∠A$.

Таким образом, угол $∠A$ является наибольшим углом в треугольнике $ABC$.

Согласно свойству о соотношении сторон и углов, сторона, лежащая напротив наибольшего угла, должна быть наибольшей стороной треугольника. Сторона, лежащая напротив угла $∠A$, — это сторона $BC$.

Следовательно, для существования такого треугольника должно выполняться неравенство $BC > AB$ и $BC > AC$.

Однако, по условию задачи, $BC = 4$ см, а $AB = 9$ см. Мы видим, что $BC < AB$ ($4$ см $< 9$ см). Это противоречит свойству треугольника, согласно которому напротив большего угла должна лежать большая сторона.

Значит, треугольник с заданными параметрами существовать не может.

Способ 2: Использование теоремы синусов

Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

В нашем случае, сторона $BC$ лежит напротив угла $A$, а сторона $AB$ лежит напротив угла $C$.

Подставим известные значения в формулу: $BC = 4$ см, $AB = 9$ см, $∠A = 100°$.

$\frac{BC}{\sin ∠A} = \frac{AB}{\sin ∠C}$

$\frac{4}{\sin 100°} = \frac{9}{\sin ∠C}$

Выразим из этого равенства $\sin ∠C$:

$\sin ∠C = \frac{9 \cdot \sin 100°}{4}$

Значение $\sin 100°$ равно $\sin(180° - 80°) = \sin 80° \approx 0.9848$.

$\sin ∠C \approx \frac{9 \cdot 0.9848}{4} = \frac{8.8632}{4} \approx 2.2158$

Область значений функции синус — отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого угла $C$ должно выполняться условие $-1 \le \sin ∠C \le 1$.

Полученное нами значение $\sin ∠C \approx 2.2158$ выходит за пределы этой области, так как $2.2158 > 1$. Это невозможно.

Следовательно, не существует такого угла $C$, при котором выполнялась бы теорема синусов для заданных сторон и угла.

Ответ: Нет, такой треугольник не существует.

128. Может ли наибольшая сторона треугольника лежать против угла $42^\circ$?

128. Может ли наибольшая сторона треугольника лежать против угла $42^\circ$?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся свойством углов и сторон треугольника: в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Предположим, что наибольшая сторона треугольника лежит против угла, равного $42°$. Это означает, что угол в $42°$ должен быть наибольшим углом в этом треугольнике. Обозначим углы треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Пусть $\alpha = 42°$.

Если $\alpha$ — наибольший угол, то два других угла, $\beta$ и $\gamma$, должны быть меньше или равны ему:
$\beta \le 42°$
$\gamma \le 42°$

Теперь рассмотрим сумму углов этого треугольника. Сумма углов в любом треугольнике всегда равна $180°$:
$\alpha + \beta + \gamma = 180°$

Подставим наши значения в это равенство. Максимально возможная сумма углов при нашем предположении будет:
$42° + 42° + 42° = 126°$

Так как $\beta \le 42°$ и $\gamma \le 42°$, то сумма всех трех углов будет $\alpha + \beta + \gamma \le 42° + 42° + 42° = 126°$.
Полученное значение $126°$ строго меньше $180°$. Это противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Чтобы сумма углов равнялась $180°$, хотя бы один из двух других углов ($\beta$ или $\gamma$) обязан быть больше $42°$. А если в треугольнике есть угол больше $42°$, то угол в $42°$ не является наибольшим. Значит, и противолежащая ему сторона не может быть наибольшей.

Ответ: нет, не может.

129. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 1,2$ см, $AC = 2,3$ см. Найдите третью сторону этого треугольника, если её длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу. Сколько решений имеет задача?

129. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 1,2$ см, $AC = 2,3$ см. Найдите третью сторону этого треугольника, если её длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу. Сколько решений имеет задача?

Для решения этой задачи используется свойство, известное как неравенство треугольника. Оно гласит, что любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, но больше модуля их разности.

Пусть даны две стороны треугольника $a$ и $b$, а третья сторона равна $c$. Тогда должно выполняться следующее двойное неравенство: $|a - b| < c < a + b$

В нашем треугольнике $ABC$ известны стороны $AB = 1,2$ см и $AC = 2,3$ см. Обозначим искомую сторону $BC$ как $c$. Подставим известные значения в формулу: $|1,2 - 2,3| < c < 1,2 + 2,3$

Вычислим значения в левой и правой частях неравенства: $|-1,1| < c < 3,5$ $1,1 < c < 3,5$

Таким образом, длина третьей стороны $c$ должна находиться в интервале от 1,1 см до 3,5 см.

Найдите третью сторону этого треугольника, если её длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу.
Согласно условию, длина стороны $c$ должна быть целым числом. Нам нужно найти все целые числа, которые больше 1,1 и меньше 3,5. В этот интервал попадают два целых числа: 2 и 3.
Ответ: 2 см или 3 см.

Сколько решений имеет задача?
Поскольку мы нашли два возможных целочисленных значения для длины третьей стороны (2 см и 3 см), которые удовлетворяют неравенству треугольника, задача имеет два решения.
Ответ: 2 решения.

130. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $86^\circ$. Найдите другой острый угол.

130. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $86^\circ$. Найдите другой острый угол.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Поскольку в прямоугольном треугольнике один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$, то сумма двух других, острых, углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Пусть один из острых углов равен $\alpha$, а другой — $\beta$. По условию задачи, один из острых углов равен $86^\circ$. Пусть $\alpha = 86^\circ$.

Тогда, чтобы найти второй острый угол $\beta$, нужно вычесть известный угол из $90^\circ$:

$\beta = 90^\circ - \alpha$

$\beta = 90^\circ - 86^\circ = 4^\circ$

Следовательно, другой острый угол равен $4^\circ$.

Ответ: $4^\circ$

131. На рисунке 53 $\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ, AC = BD$. Докажите, что $AB = CD$.

Рис. 53

131. На рисунке 53 $\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ$, $AC = BD$. Докажите, что $AB = CD$.

Рис. 53

Дано:

$\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ$, $AC = BD$.

Доказать:

$AB = CD$.

Доказательство:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ΔABC$ и $ΔDCB$.

В этих треугольниках:

1. $AC = BD$ по условию (равные гипотенузы).
2. $BC$ — общий катет.

Так как два прямоугольных треугольника имеют равные гипотенузы и по одному равному катету, то эти треугольники равны. Следовательно, $ΔABC = ΔDCB$ (по признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Катет $AB$ в треугольнике $ΔABC$ соответствует катету $CD$ в треугольнике $ΔDCB$.

Таким образом, $AB = CD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

132. На рисунке 54 $ \angle ABO = \angle DCO = 90^\circ $, $ BO = CO $. Найдите $AB$, если $CD = 8$ см.

Рис. 54

132. На рисунке 54 $∠ABO = ∠DCO = 90^\circ, BO = CO$. Найдите $AB$, если $CD = 8$ см.

Рис. 54

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABO $ и $ \triangle DCO $.

Согласно условию задачи, нам дано:

• $ \angle ABO = \angle DCO = 90^\circ $
• $ BO = CO $
• $ CD = 8 $ см

Для доказательства равенства этих треугольников сравним их элементы:

1. $ BO = CO $ (по условию).
2. $ \angle ABO = \angle DCO = 90^\circ $ (по условию). Эти углы прилегают к стороне $ BO $ в $ \triangle ABO $ и к стороне $ CO $ в $ \triangle DCO $ соответственно.
3. $ \angle AOB = \angle DOC $ (как вертикальные углы). Эти углы также прилегают к стороне $ BO $ в $ \triangle ABO $ и к стороне $ CO $ в $ \triangle DCO $ соответственно.

Таким образом, треугольник $ \triangle ABO $ равен треугольнику $ \triangle DCO $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон. Сторона $ AB $ в $ \triangle ABO $ является соответственной стороне $ CD $ в $ \triangle DCO $ (они лежат напротив равных углов $ \angle AOB $ и $ \angle DOC $).

Следовательно, $ AB = CD $.

Так как по условию $ CD = 8 $ см, то и $ AB = 8 $ см.

Ответ: 8 см.

133. Из точки $K$, лежащей на биссектрисе угла $\angle ABC$, проведены перпендикуляры $KM$ и $KN$ к его сторонам. Найдите $BM$, если $BN = 6$ см.

133. Из точки $K$, лежащей на биссектрисе угла $ABC$, проведены перпендикуляры $KM$ и $KN$ к его сторонам. Найдите $BM$, если $BN = 6$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle BKM$ и $\triangle BKN$.

По условию задачи, точка $K$ лежит на биссектрисе угла $ABC$. Это означает, что луч $BK$ делит угол $ABC$ на два равных угла:

$\angle KBM = \angle KBN$.

Также по условию из точки $K$ проведены перпендикуляры $KM$ и $KN$ к сторонам угла. Следовательно, треугольники $\triangle BKM$ и $\triangle BKN$ являются прямоугольными, так как $\angle BMK = \angle BNK = 90^\circ$.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

• Сторона $BK$ у них общая, и она является гипотенузой.
• Острый угол $\angle KBM$ равен острому углу $\angle KBN$ (поскольку $BK$ — биссектриса).

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle BKM$ и $\triangle BKN$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Катет $BM$ соответствует катету $BN$ (так как они лежат напротив равных углов $\angle BKM$ и $\angle BKN$).

Следовательно, $BM = BN$.

По условию задачи $BN = 6$ см, значит, $BM = 6$ см.

Ответ: 6 см.

134. На рисунке 55 $DA \perp EK$, $FB \perp EK$, $DA = FB$, $\angle ADK = \angle BFE$. Докажите, что $\angle DEK = \angle FKE$.

Рис. 55

134. На рисунке 55 $DA \perp EK$, $FB \perp EK$, $DA = FB$, $\angle ADK = \angle BFE$. Докажите, что $\angle DEK = \angle FKE$.

Рис. 55

Для того чтобы доказать, что $\angle DEK = \angle FKE$, мы последовательно докажем равенство двух пар треугольников, используя данные из условия задачи.

1. Доказательство равенства $\triangle ADK$ и $\triangle BFE$

Рассмотрим треугольники $\triangle ADK$ и $\triangle BFE$. Согласно условию задачи, имеем:

- $DA \perp EK$, из чего следует, что $\triangle ADK$ является прямоугольным с прямым углом $\angle DAK = 90^\circ$.
- $FB \perp EK$, из чего следует, что $\triangle BFE$ является прямоугольным с прямым углом $\angle FBE = 90^\circ$.
- $DA = FB$ (по условию).
- $\angle ADK = \angle BFE$ (по условию).

Сравним $\triangle ADK$ и $\triangle BFE$. У них:

1. $\angle ADK = \angle BFE$ (по условию).
2. $DA = FB$ (по условию).
3. $\angle DAK = \angle FBE = 90^\circ$ (как углы, образованные перпендикулярами к прямой $EK$).

Сторона $DA$ в $\triangle ADK$ прилежит к углам $\angle ADK$ и $\angle DAK$.
Сторона $FB$ в $\triangle BFE$ прилежит к углам $\angle BFE$ и $\angle FBE$.
Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ADK \cong \triangle BFE$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон, в частности, $AK = BE$.

2. Доказательство равенства $\triangle DAE$ и $\triangle FBK$

Из рисунка видно, что точки E, A, B, K лежат на одной прямой. Тогда длину отрезка $AK$ можно представить как сумму длин отрезков $AB$ и $BK$: $AK = AB + BK$. Аналогично, длина отрезка $BE$ равна сумме длин отрезков $AE$ и $AB$: $BE = AE + AB$.

Так как мы ранее доказали, что $AK = BE$, мы можем записать равенство:

$AB + BK = AE + AB$

Вычитая длину отрезка $AB$ из обеих частей равенства, получаем:

$BK = AE$

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle DAE$ и $\triangle FBK$.

У них:

- $DA = FB$ (по условию).
- $AE = BK$ (доказано выше).
- $\angle DAE = \angle FBK = 90^\circ$ (так как $DA \perp EK$ и $FB \perp EK$).

Таким образом, $\triangle DAE \cong \triangle FBK$ по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними).

Заключение

Из равенства треугольников $\triangle DAE \cong \triangle FBK$ следует равенство их соответственных углов. Следовательно, $\angle DEA = \angle FKB$.

Поскольку точки A и B лежат на отрезке $EK$, то угол $\angle DEA$ — это тот же угол, что и $\angle DEK$, а угол $\angle FKB$ — это тот же угол, что и $\angle FKE$.

Таким образом, мы доказали, что $\angle DEK = \angle FKE$.

Ответ: Равенство $\angle DEK = \angle FKE$ доказано.