Страница 23 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. В прямоугольном треугольнике $ABC (\angle C = 90^\circ)$ провели высоту $CM$. Найдите угол $ABC$, если $AC = 2$ см, $AM = 1$ см.

145. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $(\angle C = 90^\circ)$ провели высоту $CM$. Найдите угол $ABC$, если $AC = 2$ см, $AM = 1$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$. Поскольку $CM$ — это высота, проведенная к гипотенузе $AB$ в треугольнике $ABC$, то угол $\angle CMA$ является прямым, то есть $\angle CMA = 90^{\circ}$.

В прямоугольном треугольнике $AMC$ нам известны длина катета $AM = 1$ см и длина гипотенузы $AC = 2$ см. Мы можем найти угол $A$, используя определение косинуса.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(\angle A) = \frac{AM}{AC}$

Подставим известные значения в формулу:
$\cos(\angle A) = \frac{1}{2}$

Из этого следует, что величина угла $A$ равна $60^{\circ}$.

Теперь вернемся к исходному прямоугольному треугольнику $ABC$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике ($\angle A$ и $\angle ABC$) равна $90^{\circ}$:
$\angle A + \angle ABC = 90^{\circ}$

Зная, что $\angle A = 60^{\circ}$, мы можем найти искомый угол $ABC$:
$\angle ABC = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$

Ответ: $30^{\circ}$.

146. В прямоугольном треугольнике $ABC (\angle C = 90^\circ)$ провели высоту $CD$. Найдите отрезок $BD$, если $AB = 8$ см, $BC = 4$ см.

146. В прямоугольном треугольнике ABC $(\angle C = 90^\circ)$ провели высоту CD. Найдите отрезок BD, если $AB = 8$ см, $BC = 4$ см.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CD$ к гипотенузе $AB$. Известно, что гипотенуза $AB = 8$ см, а катет $BC = 4$ см. Необходимо найти длину отрезка $BD$.

Отрезок $BD$ является проекцией катета $BC$ на гипотенузу $AB$.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины катета равен произведению длины гипотенузы на длину проекции этого катета на гипотенузу. Это одно из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике.

Запишем это соотношение в виде формулы для катета $BC$:

$BC^2 = AB \cdot BD$

Подставим известные значения в данную формулу:

$4^2 = 8 \cdot BD$

Выполним вычисления:

$16 = 8 \cdot BD$

Теперь выразим $BD$ из этого уравнения:

$BD = \frac{16}{8}$

$BD = 2$ см

Ответ: 2 см.

147. На рисунке 57 $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle ADC = 90^\circ$, $\angle ABC = 30^\circ$. Найдите угол $ACD$, если $AB = 4$ см, $CD = 1$ см.

Рис. 57

147. На рисунке 57 $\angle ACB = 90^\circ$,

$\angle ADC = 90^\circ$, $\angle ABC = 30^\circ$. Найдите угол $ACD$, если $AB = 4$ см, $CD = 1$ см.

Рис. 57

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$). По условию, гипотенуза $AB = 4$ см, а угол $\angle ABC = 30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Катет $AC$ лежит как раз напротив угла $\angle ABC$. Следовательно:

$AC = \frac{1}{2} \cdot AB$

$AC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ ($\angle ADC = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны:

- гипотенуза $AC = 2$ см (найдено в предыдущем шаге);

- катет $CD = 1$ см (дано по условию).

3. Нам нужно найти угол $\angle ACD$. В треугольнике $ADC$ этот угол является прилежащим к катету $CD$. Для нахождения угла воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

$\cos(\angle ACD) = \frac{CD}{AC}$

Подставляем известные значения:

$\cos(\angle ACD) = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $60^\circ$. Таким образом, искомый угол $\angle ACD = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

148. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 60^\circ$. Биссектриса угла $A$ пересекает катет $BC$ в точке $K$. Найдите $BK$, если $AK - CK = 8$ см.

148. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 60^\circ$. Биссектриса угла $A$ пересекает катет $BC$ в точке $K$. Найдите $BK$, если $AK - CK = 8$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому найдем угол $B$:
$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

$AK$ является биссектрисой угла $A$, следовательно, она делит угол $A$ пополам:
$\angle CAK = \angle KAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACK$. В нем угол $\angle C = 90^\circ$ и $\angle CAK = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В данном случае катет $CK$ лежит напротив угла $\angle CAK$, значит:
$CK = \frac{1}{2} AK$, откуда следует, что $AK = 2 \cdot CK$.

По условию задачи известно, что $AK - CK = 8$ см. Подставим в это равенство выражение $AK = 2 \cdot CK$:
$2 \cdot CK - CK = 8$
$CK = 8$ см.

Теперь найдем длину $AK$:
$AK = 2 \cdot CK = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Рассмотрим треугольник $ABK$. В нем мы знаем два угла: $\angle KAB = 30^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$. Так как два угла в треугольнике равны, то треугольник $ABK$ является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, то есть $BK = AK$.
Поскольку $AK = 16$ см, то и $BK = 16$ см.

Ответ: 16 см.

149. Какие из точек на рисунке 58 принадлежат окружности с центром $O$; кругу с центром $O$?

Рис. 58

Точки, принадлежащие окружности с центром $O$:

$A, C, D$

Точки, принадлежащие кругу с центром $O$:

$A, B, C, D, E, O$

149. Какие из точек на рисунке 58 принадлежат окружности с центром $O$; кругу с центром $O$?

Рис. 58

окружности с центром O
Окружность — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии (радиусе) от данной точки (центра). На рисунке 58 точки, которые лежат непосредственно на линии окружности, — это точки A, C и D. Для любой из этих точек расстояние до центра O равно радиусу $r$: $OA = OC = OD = r$.
Ответ: A, C, D.

кругу с центром O
Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, то есть он включает в себя как все точки на самой окружности, так и все точки внутри неё. Таким образом, кругу принадлежат точки, расстояние от которых до центра меньше или равно радиусу ($ \le r $). На рисунке 58 это:
1. Точки на окружности: A, C, D (расстояние до центра равно $r$).
2. Точки внутри окружности: B, E, O (расстояние до центра меньше $r$).
Следовательно, все указанные точки, кроме точки M, которая находится вне круга ($OM > r$), принадлежат кругу.
Ответ: A, B, C, D, E, O.

150. Найдите диаметр окружности, если её радиус равен:

1) 3 см;

2) $m$ см.

150. Найдите диаметр окружности, если её радиус равен:

1) 3 см;

2) $m$ см.

Диаметр окружности ($D$) в два раза больше её радиуса ($R$). Это можно выразить формулой: $D = 2 \cdot R$.

1)

Дан радиус $R = 3$ см. Чтобы найти диаметр, подставим это значение в формулу:
$D = 2 \cdot 3 = 6$ см.
Ответ: 6 см.

2)

Дан радиус $R = m$ см. Чтобы найти диаметр, подставим это значение в формулу:
$D = 2 \cdot m = 2m$ см.
Ответ: $2m$ см.

151. Начертите окружность, радиус которой равен 4 см. Проведите в этой окружности радиус, диаметр и хорду, не являющуюся диаметром.

151. Начертите окружность, радиус которой равен 4 см. Проведите в этой окружности радиус, диаметр и хорду, не являющуюся диаметром.

Для выполнения этого задания потребуется циркуль и линейка. Построение выполняется в несколько шагов.

1. Построение окружности. С помощью линейки установите раствор циркуля равным 4 см. Это будет радиус будущей окружности. Установите иглу циркуля в точку на бумаге, которая станет центром окружности, и обозначьте ее буквой О. Проведите циркулем замкнутую линию — это и есть окружность.

2. Проведение радиуса. Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой на самой окружности. Выберите любую точку на начерченной окружности, обозначьте ее буквой А и соедините отрезком с центром О. Отрезок ОА является радиусом, его длина по условию равна 4 см ($r = 4$ см).

3. Проведение диаметра. Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр. Длина диаметра всегда в два раза больше длины радиуса. Для его построения можно продлить радиус ОА через центр О до пересечения с противоположной стороной окружности. Обозначим новую точку пересечения буквой В. Отрезок АВ — это диаметр. Его длина составляет $d = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

4. Проведение хорды, не являющейся диаметром. Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки окружности. По условию, необходимо провести хорду, которая не является диаметром. Это значит, что она не должна проходить через центр окружности О. Для этого выберите две произвольные точки на окружности, например, C и D, и соедините их прямым отрезком. Отрезок CD — искомая хорда.

Ниже представлен пример итогового чертежа.

Ответ:

На чертеже выше изображена окружность с центром в точке О и радиусом $r = 4$ см. В ней проведены:

• Радиус ОА.
• Диаметр ВС.
• Хорда DE, которая не проходит через центр O и, следовательно, не является диаметром.

152. В окружности проведены радиусы $OD$, $OE$ и $OF$ (рис. 59). Найдите $FE$, если $\angle OFE = \angle ODE$ и $DE = 8$ см.

Рис. 59

152. В окружности проведены радиусы OD, OE и OF (рис. 59). Найдите FE, если $\angle OFE = \angle ODE$ и $DE = 8$ см.

Рис. 59

Рассмотрим треугольники $\triangle DOE$ и $\triangle FOE$.

Так как $OD$, $OE$ и $OF$ являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $O$, то их длины равны: $OD = OE = OF$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DOE$. Поскольку две его стороны равны ($OD = OE$), он является равнобедренным с основанием $DE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle ODE = \angle OED$.

Рассмотрим треугольник $\triangle FOE$. Поскольку две его стороны равны ($OF = OE$), он также является равнобедренным с основанием $FE$. Следовательно, углы при его основании равны: $\angle OFE = \angle OEF$.

По условию задачи дано равенство углов: $\angle OFE = \angle ODE$.Из этого и предыдущих пунктов следует, что все четыре угла при основаниях треугольников $\triangle DOE$ и $\triangle FOE$ равны между собой:$\angle ODE = \angle OED = \angle OFE = \angle OEF$.

Теперь докажем, что треугольники $\triangle DOE$ и $\triangle FOE$ равны. Для этого воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

1. $OD = OF$ (как радиусы одной окружности).
2. $OE$ — общая сторона для обоих треугольников.
3. Углы $\angle DOE$ и $\angle FOE$ также равны. Покажем это. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
Для $\triangle DOE$: $\angle DOE = 180^\circ - (\angle ODE + \angle OED) = 180^\circ - 2\angle ODE$.
Для $\triangle FOE$: $\angle FOE = 180^\circ - (\angle OFE + \angle OEF) = 180^\circ - 2\angle OFE$.
Так как $\angle ODE = \angle OFE$, то и $\angle DOE = \angle FOE$.

Поскольку все три условия первого признака равенства треугольников выполняются, то $\triangle DOE \cong \triangle FOE$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $DE$ треугольника $\triangle DOE$ соответствует стороне $FE$ треугольника $\triangle FOE$, значит, $DE = FE$.

По условию задачи $DE = 8$ см. Следовательно, $FE = 8$ см.

Ответ: 8 см.