Страница 25 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 1,5 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых меньше 2 см.

162. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 1,5 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых меньше 2 см.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, расстояние между которыми равно $h = 1,5$ см. Нам необходимо найти геометрическое место точек (ГМТ) $M$, для которых сумма расстояний до этих прямых меньше 2 см. Обозначим расстояние от точки $M$ до прямой $a$ как $d_a$, а до прямой $b$ как $d_b$. По условию задачи, мы ищем множество точек $M$, для которых выполняется неравенство: $d_a + d_b < 2$.

Рассмотрим различные случаи расположения точки $M$ относительно прямых $a$ и $b$.

Если точка $M$ находится между прямыми $a$ и $b$, то сумма расстояний от точки $M$ до прямых $a$ и $b$ всегда равна расстоянию между этими прямыми: $d_a + d_b = h = 1,5$ см. Проверим условие: $1,5 < 2$. Это неравенство является верным. Следовательно, все точки, расположенные в полосе между прямыми $a$ и $b$, принадлежат искомому ГМТ.

Если точка $M$ находится вне полосы, образованной прямыми $a$ и $b$, то рассмотрим два подслучая. Пусть точка $M$ расположена со стороны прямой $a$, противоположной прямой $b$. Обозначим расстояние от $M$ до прямой $a$ как $x$, то есть $d_a = x$. Тогда расстояние от $M$ до прямой $b$ будет равно $d_b = x + h = x + 1,5$. Сумма расстояний в этом случае равна: $d_a + d_b = x + (x + 1,5) = 2x + 1,5$. Подставим это выражение в наше неравенство: $2x + 1,5 < 2$, что равносильно $2x < 0,5$, или $x < 0,25$. Поскольку $x$ — это расстояние, оно неотрицательно ($x \ge 0$), поэтому $0 \le x < 0,25$. Это означает, что искомые точки образуют полосу шириной 0,25 см, примыкающую к прямой $a$ с внешней стороны. Из-за симметрии, аналогичная полоса шириной 0,25 см существует и с внешней стороны прямой $b$.

Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит из полосы шириной 1,5 см между данными прямыми, а также двух полос шириной по 0,25 см, примыкающих к данным прямым с внешней стороны. В совокупности эти три части образуют единую открытую полосу, симметричную относительно средней линии между $a$ и $b$. Общая ширина этой полосы составляет $0,25 + 1,5 + 0,25 = 2$ см. Граничные прямые этой полосы не включаются в ГМТ, так как неравенство в условии строгое ($< 2$).

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это внутренняя область полосы, ограниченной двумя прямыми, параллельными данным. Каждая из этих граничных прямых находится на расстоянии 0,25 см от ближайшей из данных прямых и расположена с внешней стороны от полосы, образованной данными прямыми. Ширина искомой полосы составляет 2 см.

163. Прямая касается окружности с центром $O$ в точке $A$. На касательной по разные стороны от точки $A$ отметили точки $B$ и $C$ такие, что $OB = OC$. Найдите $AB$, если $AC = 6$ см.

163. Прямая касается окружности с центром $O$ в точке $A$. На касательной по разные стороны от точки $A$ отметили точки $B$ и $C$ такие, что $OB = OC$. Найдите $AB$, если $AC = 6$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$.

Прямая, содержащая точки $B$, $A$ и $C$, является касательной к окружности в точке $A$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, отрезок $OA$ перпендикулярен прямой $BC$. Это означает, что углы $\angle OAB$ и $\angle OAC$ являются прямыми, то есть $\angle OAB = \angle OAC = 90^\circ$.

Таким образом, треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OAC$ являются прямоугольными.

Сравним эти два прямоугольных треугольника. У них есть общий катет $OA$. Их гипотенузы $OB$ и $OC$ равны по условию задачи ($OB = OC$).

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе), если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.

Следовательно, $\triangle OAB \cong \triangle OAC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае катет $AB$ треугольника $\triangle OAB$ соответствует катету $AC$ треугольника $\triangle OAC$. Значит, $AB = AC$.

Так как по условию $AC = 6$ см, то и $AB = 6$ см.

Ответ: 6 см.

164. На рисунке 62 прямая $BC$ касается окружности с центром $O$ в точке $B$. Найдите

$\angle AOB$, если $\angle ABC = 63^{\circ}$.

Рис. 62

164. На рисунке 62 прямая $BC$ касается окружности с центром $O$ в точке $B$. Найдите $\angle AOB$, если $\angle ABC = 63^\circ$.

Рис. 62

Согласно свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой касательной. В данном случае радиус OB перпендикулярен касательной BC в точке B. Следовательно, угол $ \angle OBC $ является прямым:

$ \angle OBC = 90^{\circ} $

Угол $ \angle OBC $ состоит из двух углов: $ \angle OBA $ и $ \angle ABC $. По условию, $ \angle ABC = 63^{\circ} $. Мы можем найти величину угла $ \angle OBA $:

$ \angle OBA = \angle OBC - \angle ABC = 90^{\circ} - 63^{\circ} = 27^{\circ} $

Рассмотрим треугольник $ \triangle AOB $. Стороны OA и OB являются радиусами одной и той же окружности, поэтому они равны ($ OA = OB $). Это означает, что треугольник $ \triangle AOB $ — равнобедренный с основанием AB.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Поэтому:

$ \angle OAB = \angle OBA = 27^{\circ} $

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Для треугольника $ \triangle AOB $ верно следующее соотношение:

$ \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} $

Подставив известные значения углов, найдем искомый угол $ \angle AOB $:

$ \angle AOB + 27^{\circ} + 27^{\circ} = 180^{\circ} $

$ \angle AOB + 54^{\circ} = 180^{\circ} $

$ \angle AOB = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} $

Ответ: $126^{\circ}$

165. На рисунке 63 две окружности имеют общий центр $O$. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные $DE$ и $KP$, пересекающиеся в точке $N$. Найдите $NE$, если $ND = 3 \text{ см}$, а радиус меньшей окружности равен 4 см.

Рис. 63

165. На рисунке 63 две окружности имеют общий центр $O$. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные $DE$ и $KP$, пересекающиеся в точке $N$. Найдите $NE$, если $ND = 3$ см, а радиус меньшей окружности равен 4 см.

Рис. 63

Пусть r - радиус меньшей окружности. По условию, $r = 4$ см. Обозначим точки касания прямых DE и KP с меньшей окружностью как A и B соответственно.

Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OA \perp DE$ и $OB \perp KP$.

Рассмотрим четырехугольник OANB. В нем три угла прямые: $\angle OAN = 90^\circ$ (так как $OA \perp DE$), $\angle OBN = 90^\circ$ (так как $OB \perp KP$) и $\angle ANB = 90^\circ$ (по условию $DE \perp KP$). Поскольку сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$, то четвертый угол $\angle AOB$ также равен $360^\circ - 3 \cdot 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, OANB - прямоугольник.

Стороны OA и OB этого прямоугольника являются радиусами меньшей окружности, поэтому $OA = OB = r = 4$ см. Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом. Следовательно, OANB - квадрат со стороной 4 см. Отсюда $AN = 4$ см.

Теперь рассмотрим большую окружность. Отрезок DE является ее хордой. Так как $OA \perp DE$, то отрезок OA является перпендикуляром, опущенным из центра окружности O на хорду DE. По свойству хорды, перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Значит, точка A - середина хорды DE, и $DA = AE$.

Длину отрезка DA найдем как сумму длин отрезков DN и NA: $DA = DN + NA$. Из условия задачи $DN = 3$ см, а $NA = 4$ см, как мы нашли ранее. $DA = 3 + 4 = 7$ см.

Так как $DA = AE$, то $AE = 7$ см. В свою очередь, отрезок AE состоит из отрезков AN и NE: $AE = AN + NE$. Подставляя известные значения, получаем: $7 = 4 + NE$. Отсюда находим NE: $NE = 7 - 4 = 3$ см.

Ответ: 3 см.

166. На рисунке 64 две окружности имеют общий центр $O$.

Через точку $A$ большей окружности проведены касательные $AD$ и $AE$ к меньшей окружности. Найдите радиус большей окружности, если радиус меньшей равен 5 см, а $\angle DAE = 60^{\circ}$.

Рис. 64

166. На рисунке 64 две окружности имеют общий центр $O$. Через точку $A$ большей окружности проведены касательные $AD$ и $AE$ к меньшей окружности. Найдите радиус большей окружности, если радиус меньшей равен 5 см, а $\angle DAE = 60^\circ$.

Рис. 64

Обозначим радиус большей окружности как R, а радиус меньшей окружности как r. Согласно условию, r = 5 см. Точка А лежит на большей окружности, значит, расстояние от центра O до точки А равно радиусу большей окружности, то есть OA = R.

Прямые AD и AE являются касательными к меньшей окружности, проведенными из одной точки A. Пусть T — точка касания прямой AD с меньшей окружностью.

Проведем радиус OT в точку касания T. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, $ OT \perp AD $.

Таким образом, треугольник ΔOAT является прямоугольным с прямым углом при вершине T ($ \angle OTA = 90^\circ $).

Отрезок OA, соединяющий общий центр окружностей O и точку A, из которой проведены касательные, является биссектрисой угла между касательными, то есть угла ∠DAE.

Поскольку по условию $ \angle DAE = 60^\circ $, то угол $ \angle OAT $ равен половине этого угла:
$ \angle OAT = \frac{\angle DAE}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ $.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ΔOAT. В нем:
- Гипотенуза OA = R (искомый радиус большей окружности).
- Катет OT = r = 5 см (радиус меньшей окружности).
- Угол $ \angle OAT = 30^\circ $.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае катет OT лежит напротив угла $ \angle OAT = 30^\circ $. Следовательно:
$ OT = \frac{1}{2} OA $

Подставим известные значения:
$ 5 = \frac{1}{2} R $

Отсюда находим R:
$ R = 5 \cdot 2 = 10 $ см.

Ответ: 10 см.