Страница 26 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. На рисунке 65 прямые $AB$, $AC$ и $DF$ касаются окружности в точках $B$, $C$ и $E$ соответственно. Найдите отрезок $AB$, если периметр треугольника $ADF$ равен 16 см.

Рис. 65

167. На рисунке 65 прямые $AB$, $AC$ и $DF$ касаются окружности в точках $B$, $C$ и $E$ соответственно. Найдите отрезок $AB$, если периметр треугольника $ADF$ равен 16 см.

Рис. 65

Периметр треугольника $ADF$ ($P_{ADF}$) равен сумме длин его сторон:
$P_{ADF} = AD + DF + AF$.

Сторону $DF$ можно представить как сумму отрезков $DE$ и $EF$: $DF = DE + EF$.
Тогда периметр можно записать так: $P_{ADF} = AD + DE + EF + AF$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных, проведенные из одной точки к окружности, равны.
Для точки $D$ отрезки касательных $DB$ и $DE$ равны, то есть $DB = DE$.
Для точки $F$ отрезки касательных $FC$ и $FE$ равны, то есть $FC = FE$.

Подставим эти равенства в формулу периметра, заменив $DE$ на $DB$ и $EF$ на $FC$:
$P_{ADF} = AD + DB + FC + AF$.

Теперь сгруппируем слагаемые:
$P_{ADF} = (AD + DB) + (AF + FC)$.

Из рисунка видно, что сумма отрезков $AD$ и $DB$ составляет отрезок $AB$, а сумма отрезков $AF$ и $FC$ составляет отрезок $AC$.
$AD + DB = AB$
$AF + FC = AC$
Следовательно, периметр равен $P_{ADF} = AB + AC$.

Прямые $AB$ и $AC$ также являются касательными к окружности, проведенными из одной точки $A$. По тому же свойству, их длины равны: $AB = AC$.

Таким образом, периметр треугольника $ADF$ можно выразить через длину отрезка $AB$:
$P_{ADF} = AB + AB = 2 \cdot AB$.

По условию задачи, периметр треугольника $ADF$ равен 16 см. Подставим это значение в полученную формулу:
$16 = 2 \cdot AB$.

Отсюда находим длину отрезка $AB$:
$AB = \frac{16}{2} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

168. Точка пересечения медиан $AM$ и $BK$ треугольника $ABC$ является центром описанной около него окружности. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.

168. Точка пересечения медиан $AM$ и $BK$ треугольника $ABC$ является центром описанной около него окружности. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.

Пусть $O$ — точка пересечения медиан $AM$ и $BK$ в треугольнике $ABC$.

1. Свойства точки пересечения медиан. По определению, точка пересечения медиан треугольника является его центроидом. По условию задачи, эта же точка $O$ является и центром описанной около треугольника $ABC$ окружности. Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Таким образом, в треугольнике $ABC$ центроид совпадает с центром описанной окружности.

2. Доказательство равенства сторон AC и AB. Рассмотрим медиану $AM$. Она соединяет вершину $A$ с серединой стороны $BC$. Поскольку центр описанной окружности $O$ лежит на прямой $AM$, то прямая $AM$ является серединным перпендикуляром к стороне $BC$. Это означает, что медиана $AM$ является одновременно и высотой треугольника, то есть $AM \perp BC$. Если в треугольнике медиана, проведенная к одной из сторон, является также и высотой к этой стороне, то такой треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный со сторонами $AB = AC$.

3. Доказательство равенства сторон AB и BC. Аналогично рассмотрим медиану $BK$. Она соединяет вершину $B$ с серединой стороны $AC$. Поскольку центр описанной окружности $O$ лежит на прямой $BK$, то прямая $BK$ является серединным перпендикуляром к стороне $AC$. Это означает, что медиана $BK$ является одновременно и высотой треугольника, то есть $BK \perp AC$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным со сторонами $AB = BC$.

4. Заключение. Из результатов, полученных в пунктах 2 и 3, мы имеем: $AB = AC$ и $AB = BC$. Объединяя эти равенства, получаем, что все стороны треугольника равны: $AB = AC = BC$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равносторонним, что и требовалось доказать.

Ответ: треугольник $ABC$ является равносторонним.

169. На серединном перпендикуляре стороны $AB$ треугольника $ABC$ отмечена такая точка $O$, что $\angle OAC = \angle OCA$. Докажите, что точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

169. На серединном перпендикуляре стороны AB треугольника ABC отмечена такая точка O, что $\angle OAC = \angle OCA$. Докажите, что точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.

Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка, равноудаленная от всех трех вершин этого треугольника. Чтобы доказать, что точка $O$ является центром описанной окружности треугольника $ABC$, необходимо доказать, что $OA = OB = OC$.

Рассмотрим условия, данные в задаче:

1. Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. По определению, любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Следовательно, расстояния от точки $O$ до вершин $A$ и $B$ равны:
$OA = OB$.

2. По условию, в треугольнике $OAC$ углы при стороне $AC$ равны: $\angle OAC = \angle OCA$. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. В треугольнике $OAC$ сторона $OC$ лежит напротив угла $\angle OAC$, а сторона $OA$ — напротив угла $\angle OCA$. Так как углы равны, то равны и противолежащие им стороны:
$OA = OC$.

Из полученных равенств $OA = OB$ и $OA = OC$ следует, что все три расстояния от точки $O$ до вершин треугольника равны:
$OA = OB = OC$.

Поскольку точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника $ABC$, она по определению является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$, следует $OA=OB$. Из условия $\angle OAC = \angle OCA$ следует, что треугольник $OAC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и, следовательно, $OA=OC$. Таким образом, мы получаем $OA=OB=OC$, что доказывает, что точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$.

170. Найдите высоту равностороннего треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 8 см.

170. Найдите высоту равностороннего треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 8 см.

В равностороннем треугольнике высоты, медианы и биссектрисы, проведенные из одного угла, совпадают. Точка их пересечения является центром вписанной и описанной окружностей. Эта точка делит высоту (а также медиану и биссектрису) в отношении 2:1, считая от вершины.

Пусть $h$ — высота равностороннего треугольника. Радиус вписанной окружности, $r$, представляет собой перпендикуляр, опущенный из центра треугольника на сторону, и является меньшей частью высоты, на которые её делит центр.

Таким образом, радиус вписанной окружности составляет одну треть от высоты треугольника:

$r = \frac{1}{3}h$

Из этой формулы мы можем выразить высоту $h$:

$h = 3r$

По условию задачи, радиус вписанной окружности $r = 8$ см. Подставим это значение в нашу формулу:

$h = 3 \cdot 8 = 24$ см.

Ответ: 24 см.

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $3:4$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите боковую сторону треугольника, если его основание равно 12 см.

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $3:4$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите боковую сторону треугольника, если его основание равно 12 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB$ и $BC$ ($AB = BC$). По условию, основание $AC = 12$ см.

Пусть вписанная в треугольник окружность касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от этой точки до точек касания равны. Следовательно:

$AM = AK$

$BM = BN$

$CN = CK$

По условию, точка касания делит боковую сторону в отношении $3:4$, считая от вершины угла при основании. Для боковой стороны $BC$ вершиной при основании является точка $C$. Таким образом, отношение отрезков $CN$ к $BN$ равно $3:4$.

$CN : BN = 3:4$

Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $CN = 3x$, а $BN = 4x$.

Длина боковой стороны $BC$ равна сумме длин этих отрезков: $BC = CN + BN = 3x + 4x = 7x$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Центр вписанной окружности лежит на этой высоте, поэтому точка касания $K$ на основании $AC$ является его серединой.

Следовательно, $KC = \frac{AC}{2}$.

Подставим известное значение длины основания $AC$:

$KC = \frac{12}{2} = 6$ см.

Используя свойство касательных, мы знаем, что $CK = CN$. Так как $CN = 3x$, получаем уравнение:

$3x = 6$

$x = \frac{6}{3} = 2$ см.

Теперь мы можем найти длину боковой стороны, которая равна $7x$:

$BC = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 2 см.

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 2 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник, $a$ и $b$ — его катеты, $c$ — гипотенуза. В треугольник вписана окружность с радиусом $r$.

По условию, точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:

$c = 4 + 6 = 10$ см.

Воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности. Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны. Пусть точки касания на катетах $a$ и $b$ отстоят от вершин острых углов на те же расстояния, что и точка касания на гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике отрезки касательных от вершины прямого угла до точек касания равны радиусу вписанной окружности. Радиус по условию равен $r = 2$ см.

Тогда катеты треугольника можно выразить через отрезки на гипотенузе и радиус:

Первый катет: $a = 6 + r = 6 + 2 = 8$ см.

Второй катет: $b = 4 + r = 4 + 2 = 6$ см.

Таким образом, стороны треугольника равны 6 см, 8 см и 10 см. Проверим, является ли треугольник прямоугольным по теореме Пифагора:

$a^2 + b^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$c^2 = 10^2 = 100$

Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник действительно прямоугольный.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + b + c = 8 + 6 + 10 = 24$ см.

Ответ: 24 см.

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боковые стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно.

Найдите периметр треугольника $CDE$, если периметр треугольника $ABC$ равен 20 см и $AB = 6$ см.

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боковые стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Найдите периметр треугольника $CDE$, если периметр треугольника $ABC$ равен 20 см и $AB = 6$ см.

1. Нахождение боковых сторон треугольника ABC.

По условию, треугольник $ABC$ равнобедренный, а $AC$ и $BC$ — его боковые стороны. Следовательно, $AC = BC$. Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AC + BC + AB$. Подставим известные значения: $20 = AC + AC + 6$ $20 = 2 \cdot AC + 6$ $2 \cdot AC = 20 - 6$ $2 \cdot AC = 14$ $AC = 7$ см. Таким образом, боковые стороны треугольника $AC = BC = 7$ см.

2. Выражение периметра треугольника CDE через отрезки касательных.

Периметр треугольника $CDE$ определяется формулой: $P_{CDE} = CD + CE + DE$. Пусть вписанная окружность касается сторон $AC$ и $BC$ в точках $K$ и $N$ соответственно, а касательной $DE$ — в точке $P$. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных равны. Для точки $D$ имеем: $DK = DP$. Для точки $E$ имеем: $EN = EP$. Длину отрезка $DE$ можно представить как сумму $DE = DP + PE$. Заменив $DP$ и $PE$ на равные им отрезки, получим: $DE = DK + EN$. Теперь подставим это выражение в формулу периметра треугольника $CDE$: $P_{CDE} = CD + CE + (DK + EN)$. Сгруппируем слагаемые: $P_{CDE} = (CD + DK) + (CE + EN)$. Так как точка $D$ лежит на стороне $AC$ между точками $C$ и $K$, а точка $E$ — на стороне $BC$ между точками $C$ и $N$, то: $CD + DK = CK$ $CE + EN = CN$ Следовательно, периметр треугольника $CDE$ равен сумме длин отрезков $CK$ и $CN$: $P_{CDE} = CK + CN$.

3. Нахождение длин отрезков CK и CN.

Длину отрезка касательной от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью можно найти по формуле: $l = p - a$, где $p$ — полупериметр треугольника, а $a$ — длина стороны, противолежащей данной вершине. Найдем полупериметр треугольника $ABC$: $p_{ABC} = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см. Для вершины $C$ противолежащей стороной является основание $AB$. Тогда: $CK = p_{ABC} - AB = 10 - 6 = 4$ см. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, то отрезки касательных, проведенных из вершин при основании, равны, а также равны отрезки, проведенные из вершины $C$: $CN = CK = 4$ см.

4. Вычисление периметра треугольника CDE.

Подставим найденные значения $CK$ и $CN$ в формулу для периметра $CDE$: $P_{CDE} = CK + CN = 4 + 4 = 8$ см.

Ответ: 8 см.