Страница 28 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Отметьте в тетради точки, как показано рисунке 67. Через каждые две отмеченные точки проведите прямую. Запишите все полученные прямые.

Рис. 67

1. Отметьте в тетради точки, как показано рисунке 67. Через каждые две отмеченные точки проведите прямую. Запишите все полученные прямые.

Рис. 67

Полученные прямые:

$AB$

$AC$

$AD$

$BC$

$BD$

$CD$

Для решения задачи необходимо провести прямые через все возможные пары точек, отмеченных на рисунке. Всего на рисунке 4 точки: A, B, C, D. Через любые две точки можно провести одну и только одну прямую. Наша задача — перечислить все уникальные прямые.

Будем последовательно соединять точки:

1. Берем точку А и соединяем ее со всеми остальными точками. Получаем прямые: AB, AC, AD.
2. Берем точку B. Прямая BA уже проведена (это та же прямая, что и AB). Соединяем B с оставшимися точками C и D. Получаем прямые: BC, BD.
3. Берем точку C. Прямые CA и CB уже проведены (это прямые AC и BC соответственно). Соединяем C с оставшейся точкой D. Получаем прямую: CD.
4. Для точки D все пары уже рассмотрены (DA, DB, DC).

Таким образом, мы получили 6 различных прямых. Убедимся, что никакие три точки не лежат на одной прямой, чтобы не было дублирующихся прямых. Судя по рисунку, все 4 точки расположены так, что никакие три из них не являются коллинеарными.

Количество прямых также можно рассчитать с помощью комбинаторики. Число прямых, которые можно провести через $n$ точек, равно числу сочетаний из $n$ по 2:

$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Для 4 точек ($n=4$):

$C_4^2 = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$

Это подтверждает, что всего можно провести 6 прямых.

Список всех полученных прямых:

AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Ответ: AB, AC, AD, BC, BD, CD.

2. Проведите прямую и отметьте на ней точки $M$, $E$ и $F$. Запишите все возможные обозначения этой прямой.

2. Проведите прямую и отметьте на ней точки $M$, $E$ и $F$. Запишите все возможные обозначения этой прямой.

Для решения задачи необходимо вспомнить основное правило обозначения прямых в геометрии. Прямая может быть обозначена любыми двумя точками, которые на ней лежат.

По условию, на прямой лежат три точки: M, E и F. Чтобы найти все возможные обозначения прямой, нужно составить все возможные пары из этих трех точек.

Возможные пары точек:
1. M и E
2. M и F
3. E и F

Для каждой пары точек существует два способа записи названия прямой, так как порядок букв в обозначении не меняет саму прямую (например, прямая ME — это та же самая прямая, что и EM). Перечислим все варианты для каждой пары:

- Из пары точек M и E получаем обозначения: ME и EM.
- Из пары точек M и F получаем обозначения: MF и FM.
- Из пары точек E и F получаем обозначения: EF и FE.

Таким образом, мы получили 6 различных обозначений для одной и той же прямой.

Ответ: ME, EM, MF, FM, EF, FE.

3. Пользуясь рисунком 68:

1) определите, пересекаются ли прямые $AB$ и $b$;

2) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой $b$;

3) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой $AB$;

4) укажите все отмеченные точки, не принадлежащие ни прямой $b$, ни прямой $AB$.

Рис. 68

3. Пользуясь рисунком 68:

1) определите, пересекаются ли прямые $AB$ и $b$;

2) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой $b$;

3) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой $AB$;

4) укажите все отмеченные точки, не принадлежащие ни прямой $b$, ни прямой $AB$.

Рис. 68

1) определите, пересекаются ли прямые AB и b;

В геометрии прямая линия бесконечна. На рисунке 68 изображены части прямых $AB$ и $b$. Если мысленно продлить эти прямые в обе стороны, то станет очевидно, что они пересекутся в одной точке.

Ответ: Да, прямые $AB$ и $b$ пересекаются.

2) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой b;

Точка принадлежит прямой, если она лежит на ней. На прямой $b$ находится только одна отмеченная точка.

Ответ: Точка $T$.

3) укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой AB;

На прямой $AB$ находятся точки, через которые она проходит. Согласно рисунку, это точки $A$ и $B$.

Ответ: Точки $A$ и $B$.

4) укажите все отмеченные точки, не принадлежащие ни прямой b, ни прямой AB.

Необходимо перечислить все точки, которые не лежат ни на одной из указанных прямых. Из всех отмеченных точек ($A, B, T, M, K, P, F$) мы исключаем те, что принадлежат прямым $AB$ (точки $A, B$) и $b$ (точка $T$). Остаются точки, которые не лежат на этих прямых.

Ответ: Точки $M, K, P, F$.

4. Укажите, какие из точек, отмеченных на рисунке 69, лежат между двумя другими. Для каждых трёх точек, отмеченных на рисунке 69, запишите равенство, которое следует из основного свойства длины отрезка.

Рис. 69

Точки, которые лежат между двумя другими: B, C.

Равенства, следующие из основного свойства длины отрезка:

Для точек A, B, C: $AC = AB + BC$

Для точек A, B, D: $AD = AB + BD$

Для точек A, C, D: $AD = AC + CD$

Для точек B, C, D: $BD = BC + CD$

4. Укажите, какие из точек, отмеченных на рисунке 69, лежат между двумя другими. Для каждых трёх точек, отмеченных на рисунке 69, запишите равенство, которое следует из основного свойства длины отрезка.

Рис. 69

Укажите, какие из точек, отмеченных на рисунке 69, лежат между двумя другими

На прямой, изображенной на рисунке, последовательно расположены точки A, B, C и D. Точка называется лежащей между двумя другими, если все три точки лежат на одной прямой и данная точка находится на отрезке, образованном двумя другими точками.

• Точка B расположена между точками A и C, а также между точками A и D.
• Точка C расположена между точками B и D, а также между точками A и D.

Точки A и D являются крайними в данном наборе, поэтому они не лежат между какими-либо другими отмеченными точками.

Ответ: Точки B и C.

Для каждых трёх точек, отмеченных на рисунке 69, запишите равенство, которое следует из основного свойства длины отрезка

Основное свойство длины отрезка (также известное как аксиома сложения отрезков) гласит: если точка B лежит на отрезке AC, то длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC. Рассмотрим все возможные комбинации из трёх точек на данной прямой.

• Для точек A, B, C: точка B лежит между точками A и C. Следовательно, выполняется равенство:
  $AB + BC = AC$.
• Для точек A, B, D: точка B лежит между точками A и D. Следовательно, выполняется равенство:
  $AB + BD = AD$.
• Для точек A, C, D: точка C лежит между точками A и D. Следовательно, выполняется равенство:
  $AC + CD = AD$.
• Для точек B, C, D: точка C лежит между точками B и D. Следовательно, выполняется равенство:
  $BC + CD = BD$.

Ответ: $AB + BC = AC$; $AB + BD = AD$; $AC + CD = AD$; $BC + CD = BD$.