Страница 29 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Укажите все отрезки, изображённые на рисунке 70.

Рис. 70

$AD$

$DB$

$DC$

$AC$

$CB$

$AB$

$KP$

$PM$

$MN$

$NK$

$PN$

5. Укажите все отрезки, изображённые на рисунке 70.

Рис. 70

a

$AD$

$DB$

$AB$

$CD$

б

$KM$

$MN$

$NK$

$PN$

$KP$

$PM$

а На данном рисунке изображены точки A, B, C, D. Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками. На прямой, содержащей точки A, D, B, можно выделить следующие отрезки: отрезок с концами в точках A и D ($AD$), отрезок с концами в точках D и B ($DB$) и отрезок с концами в точках A и B ($AB$). Также на рисунке есть отрезок с концами в точках C и D ($CD$). Таким образом, всего на рисунке 4 отрезка.
Ответ: $AD, DB, AB, CD$.

б На данном рисунке изображен треугольник $KMN$ и отрезок $PN$, где точка P лежит на стороне $KM$. Стороны треугольника являются отрезками: $KM, MN, NK$. Точка P делит сторону $KM$ на два меньших отрезка: $KP$ и $PM$. Также на рисунке изображен отрезок $PN$. Таким образом, всего на рисунке 6 отрезков.
Ответ: $KM, MN, NK, KP, PM, PN$.

6. Точка C лежит между точками A и B. Найдите:

1) отрезок AB, если $AC = 12,6$ см, $CB = 14,4$ см;

2) отрезок BC, если $AB = 2$ м, $AC = \frac{3}{4}$ м.

6. Точка C лежит между точками A и B. Найдите:

1) отрезок $AB$, если $AC = 12,6$ см, $CB = 14,4$ см;

2) отрезок $BC$, если $AB = 2$ м, $AC = \frac{3}{4}$ м.

Основное свойство измерения отрезков гласит, что если точка C лежит на отрезке AB, то длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB. Это выражается формулой: $AB = AC + CB$. Исходя из этого свойства, решим обе задачи.

1) отрезок AB, если AC = 12,6 см, CB = 14,4 см;
Для нахождения длины отрезка AB необходимо сложить длины его частей, отрезков AC и CB. Подставим известные значения в формулу:
$AB = AC + CB = 12,6 \text{ см} + 14,4 \text{ см} = 27 \text{ см}$.
Ответ: 27 см.

2) отрезок BC, если AB = 2 м, AC = 3/4 м.
Для нахождения длины отрезка BC необходимо из длины всего отрезка AB вычесть длину известной его части AC. Выразим BC из основной формулы:
$BC = AB - AC$.
Подставим известные значения:
$BC = 2 \text{ м} - \frac{3}{4} \text{ м}$.
Чтобы произвести вычитание, представим целое число 2 в виде дроби со знаменателем 4:
$2 = \frac{8}{4}$.
Теперь выполним вычитание дробей:
$BC = \frac{8}{4} \text{ м} - \frac{3}{4} \text{ м} = \frac{8-3}{4} \text{ м} = \frac{5}{4} \text{ м}$.
Полученную неправильную дробь можно представить в виде десятичной дроби:
$\frac{5}{4} \text{ м} = 1,25 \text{ м}$.
Ответ: 1,25 м.

7. Лежит ли точка E между точками D и F, если $DE = 6,4$ см, $EF = 3,9$ см, $DF = 9,3$ см? Ответ обоснуйте.

7. Лежит ли точка $E$ между точками $D$ и $F$, если $DE = 6,4$ см, $EF = 3,9$ см, $DF = 9,3$ см? Ответ обоснуйте.

Согласно аксиоме об измерении отрезков, точка $E$ может лежать между точками $D$ и $F$ только в том случае, если все три точки принадлежат одной прямой и выполняется равенство: $DE + EF = DF$.

Проверим, выполняется ли это равенство для данных в условии значений:

• $DE = 6,4$ см
• $EF = 3,9$ см
• $DF = 9,3$ см

Найдем сумму длин отрезков $DE$ и $EF$:
$DE + EF = 6,4 \text{ см} + 3,9 \text{ см} = 10,3 \text{ см}$.

Теперь сравним полученную сумму с длиной отрезка $DF$:
$10,3 \text{ см} \neq 9,3 \text{ см}$.

Поскольку условие $DE + EF = DF$ не выполняется, точка $E$ не лежит между точками $D$ и $F$.

Ответ: нет, точка E не лежит между точками D и F, так как сумма длин отрезков DE и EF ($10,3$ см) не равна длине отрезка DF ($9,3$ см).

8. Точка C принадлежит отрезку $AB$, длина которого равна 48 см. Найдите длины отрезков $AC$ и $BC$, если:

1) длина отрезка $AC$ на 4 см больше длины отрезка $BC$;

2) длина отрезка $AC$ в 5 раз меньше длины отрезка $BC$;

3) $AC : BC = 7 : 5$.

8. Точка $C$ принадлежит отрезку $AB$, длина которого равна 48 см. Найдите длины отрезков $AC$ и $BC$, если:

1) длина отрезка $AC$ на 4 см больше длины отрезка $BC$;

2) длина отрезка $AC$ в 5 раз меньше длины отрезка $BC$;

3) $AC : BC = 7 : 5$.

Поскольку точка C принадлежит отрезку AB, то длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и BC. По условию, длина отрезка AB равна 48 см. Следовательно, мы можем записать основное уравнение для всех подпунктов:

$AC + BC = 48$

1) длина отрезка AC на 4 см больше длины отрезка BC;

Пусть длина отрезка BC равна $x$ см. Тогда, согласно условию, длина отрезка AC равна $(x + 4)$ см. Подставим эти значения в основное уравнение:

$(x + 4) + x = 48$

$2x + 4 = 48$

$2x = 48 - 4$

$2x = 44$

$x = 22$

Таким образом, длина отрезка $BC = 22$ см. Найдем длину отрезка AC:

$AC = x + 4 = 22 + 4 = 26$ см.

Проверка: $26 + 22 = 48$ см. Условие выполняется.

Ответ: $AC = 26$ см, $BC = 22$ см.

2) длина отрезка AC в 5 раз меньше длины отрезка BC;

Пусть длина отрезка AC равна $x$ см. Тогда, согласно условию, длина отрезка BC в 5 раз больше и равна $5x$ см. Подставим эти значения в основное уравнение:

$x + 5x = 48$

$6x = 48$

$x = 48 / 6$

$x = 8$

Таким образом, длина отрезка $AC = 8$ см. Найдем длину отрезка BC:

$BC = 5x = 5 \cdot 8 = 40$ см.

Проверка: $8 + 40 = 48$ см. Условие выполняется.

Ответ: $AC = 8$ см, $BC = 40$ см.

3) AC : BC = 7 : 5.

Данное соотношение означает, что отрезок AC состоит из 7 равных частей, а отрезок BC — из 5 таких же частей. Весь отрезок AB состоит из $7 + 5 = 12$ таких частей.

Пусть длина одной части равна $x$ см. Тогда длина отрезка AC равна $7x$ см, а длина отрезка BC равна $5x$ см. Подставим эти значения в основное уравнение:

$7x + 5x = 48$

$12x = 48$

$x = 48 / 12$

$x = 4$

Теперь найдем длины отрезков AC и BC:

$AC = 7x = 7 \cdot 4 = 28$ см.

$BC = 5x = 5 \cdot 4 = 20$ см.

Проверка: $28 + 20 = 48$ см. Условие выполняется.

Ответ: $AC = 28$ см, $BC = 20$ см.

9. На прямой последовательно отмечены точки K, O, M и N так, что $KM = 9 \text{ см}$, $ON = 8 \text{ см}$, $KN = 12 \text{ см}$. Найдите $OM$.

9. На прямой последовательно отмечены точки $K$, $O$, $M$ и $N$ так, что $KM = 9$ см, $ON = 8$ см, $KN = 12$ см. Найдите $OM$.

Поскольку точки K, O, M и N расположены на прямой последовательно в указанном порядке, мы можем использовать свойство сложения длин отрезков. Это означает, что длина большего отрезка равна сумме длин составляющих его меньших отрезков.

1. Рассмотрим отрезок KN. Он состоит из отрезков KM и MN. Мы можем записать это в виде формулы:

$KN = KM + MN$

Из условия задачи мы знаем, что $KN = 12$ см и $KM = 9$ см. Подставив эти значения в формулу, мы можем найти длину отрезка MN:

$12 = 9 + MN$

$MN = 12 - 9 = 3$ см.

2. Теперь рассмотрим отрезок ON. Он состоит из отрезков OM и MN. Запишем это в виде формулы:

$ON = OM + MN$

Из условия мы знаем, что $ON = 8$ см, а длину MN мы только что нашли, она равна 3 см. Подставим эти значения, чтобы найти искомую длину отрезка OM:

$8 = OM + 3$

$OM = 8 - 3 = 5$ см.

Ответ: 5 см.

10. Точка C лежит между точками A и B, точки D и E – середины отрезков AC и CB соответственно. Найдите длину отрезка $DE$, если $AB = 8,4 \text{ см}$.

10. Точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$, точки $D$ и $E$ — середины отрезков $AC$ и $CB$ соответственно. Найдите длину отрезка $DE$, если $AB = 8,4$ см.

По условию задачи, точка C лежит на отрезке AB. Это означает, что длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и CB.

$AB = AC + CB$

Точка D является серединой отрезка AC. Следовательно, длина отрезка DC равна половине длины отрезка AC.

$DC = \frac{1}{2}AC$

Точка E является серединой отрезка CB. Следовательно, длина отрезка CE равна половине длины отрезка CB.

$CE = \frac{1}{2}CB$

Отрезок DE состоит из двух смежных отрезков: DC и CE. Его длина равна сумме их длин.

$DE = DC + CE$

Подставим в это равенство выражения для DC и CE:

$DE = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}CB$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$DE = \frac{1}{2}(AC + CB)$

Поскольку $AC + CB = AB$, мы можем заменить выражение в скобках на AB:

$DE = \frac{1}{2}AB$

Из условия задачи известно, что $AB = 8,4$ см. Теперь мы можем вычислить длину DE:

$DE = \frac{1}{2} \times 8,4 \text{ см} = 4,2 \text{ см}$

Ответ: 4,2 см.

11. Отрезок длиной 8 см разделили на четыре отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 5 см. Найдите расстояние между серединами средних отрезков.

11. Отрезок длиной 8 см разделили на четыре отрезка. Расстояние между серединами крайних отрезков равно 5 см. Найдите расстояние между серединами средних отрезков.

Обозначим длины четырех последовательных отрезков, на которые разделили исходный отрезок, как $l_1$, $l_2$, $l_3$ и $l_4$.

Общая длина исходного отрезка составляет 8 см, следовательно, сумма длин этих четырех отрезков равна:

$l_1 + l_2 + l_3 + l_4 = 8$

Крайними отрезками являются первый ($l_1$) и четвертый ($l_4$). Средними отрезками — второй ($l_2$) и третий ($l_3$).

Чтобы найти расстояния, расположим отрезки на числовой оси, начиная с точки 0.
Середина первого отрезка будет находиться в точке $M_1 = \frac{l_1}{2}$.
Середина четвертого отрезка будет находиться в точке $M_4 = l_1 + l_2 + l_3 + \frac{l_4}{2}$.

По условию, расстояние между серединами крайних отрезков равно 5 см. Запишем это в виде уравнения:

$M_4 - M_1 = (l_1 + l_2 + l_3 + \frac{l_4}{2}) - \frac{l_1}{2} = 5$

Упростив выражение, получим:

$\frac{l_1}{2} + l_2 + l_3 + \frac{l_4}{2} = 5$

Теперь рассмотрим разницу между общей длиной всех отрезков и расстоянием между серединами крайних отрезков:

$(l_1 + l_2 + l_3 + l_4) - (\frac{l_1}{2} + l_2 + l_3 + \frac{l_4}{2}) = 8 - 5$

После вычитания и упрощения получим:

$\frac{l_1}{2} + \frac{l_4}{2} = 3$

Отсюда находим сумму длин крайних отрезков, умножив обе части на 2:

$l_1 + l_4 = 6$ см.

Зная общую длину и сумму длин крайних отрезков, мы можем найти сумму длин средних отрезков:

$l_2 + l_3 = (l_1 + l_2 + l_3 + l_4) - (l_1 + l_4) = 8 - 6 = 2$ см.

Теперь найдем искомое расстояние — расстояние между серединами средних отрезков ($l_2$ и $l_3$).
Середина второго отрезка находится в точке $M_2 = l_1 + \frac{l_2}{2}$.
Середина третьего отрезка находится в точке $M_3 = l_1 + l_2 + \frac{l_3}{2}$.

Расстояние между ними равно:

$M_3 - M_2 = (l_1 + l_2 + \frac{l_3}{2}) - (l_1 + \frac{l_2}{2}) = l_2 - \frac{l_2}{2} + \frac{l_3}{2} = \frac{l_2}{2} + \frac{l_3}{2} = \frac{l_2 + l_3}{2}$

Подставим найденное значение суммы $l_2 + l_3 = 2$ см в эту формулу:

Расстояние $= \frac{2}{2} = 1$ см.

Ответ: 1 см.

12. На прямой последовательно отметили точки A, D, E, F и K так, что $AE = DF$ и $DE = FK$. Найдите AE, если $EK = 12$ см.

12. На прямой последовательно отметили точки A, D, E, F и K так, что $AE = DF$ и $DE = FK$. Найдите AE, если $EK = 12 \text{ см}$.

По условию задачи, точки A, D, E, F, K расположены на одной прямой последовательно. Это значит, что мы можем выражать длину одних отрезков через сумму длин других.

Из расположения точек следует:
1. Длина отрезка $AE$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DE$: $AE = AD + DE$.
2. Длина отрезка $DF$ равна сумме длин отрезков $DE$ и $EF$: $DF = DE + EF$.

В условии сказано, что $AE = DF$. Приравняем полученные выражения:
$AD + DE = DE + EF$
Вычитая $DE$ из обеих частей равенства, получаем:
$AD = EF$

Рассмотрим отрезок $EK$. Его длина равна сумме длин отрезков $EF$ и $FK$:$EK = EF + FK$.
Нам известно, что $EK = 12$ см.

Теперь подставим в выражение для $EK$ известные нам равенства:
1. Мы выяснили, что $EF = AD$.
2. По условию, $FK = DE$.

Получаем:
$EK = EF + FK = AD + DE$

С другой стороны, мы знаем, что $AE = AD + DE$. Сравнивая два последних выражения, приходим к выводу, что:
$AE = EK$

Поскольку $EK = 12$ см, то и $AE$ тоже равно 12 см.

Ответ: 12 см.

13. Начертите прямую и отметьте на ней точки $A$ и $B$ так, чтобы длина отрезка $AB$ была равной 5 см. Отметьте на прямой $AB$ такую точку $C$, что $AC - BC = 2$ см.

13. Начертите прямую и отметьте на ней точки $A$ и $B$ так, чтобы длина отрезка $AB$ была равной $5\text{ см}$. Отметьте на прямой $AB$ такую точку $C$, что $AC - BC = 2\text{ см}$.

По условию задачи, на прямой отмечены точки А и В так, что длина отрезка $AB = 5$ см. На этой же прямой нужно отметить точку С, для которой выполняется равенство $AC - BC = 2$ см. Рассмотрим возможные варианты расположения точки С относительно точек А и В.

Случай 1: Точка С лежит на отрезке АВ (между точками А и В).

В этом случае длина отрезка АВ является суммой длин отрезков АС и ВС, то есть $AC + BC = AB$. Подставляя известное значение, получаем $AC + BC = 5$ см. Вместе с условием из задачи $AC - BC = 2$ см, мы получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} AC + BC = 5 \\ AC - BC = 2 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения: $(AC + BC) + (AC - BC) = 5 + 2$. Это дает $2AC = 7$, откуда находим $AC = 3,5$ см.

Теперь подставим найденное значение AC в первое уравнение: $3,5 + BC = 5$. Отсюда $BC = 5 - 3,5 = 1,5$ см.

Проверим, выполняется ли исходное условие: $AC - BC = 3,5 - 1,5 = 2$ см. Условие выполнено. Значит, такое расположение точки С возможно.

Случай 2: Точка С не лежит на отрезке АВ.

Это означает, что либо точка В лежит между А и С, либо точка А лежит между С и В.

а) Точка В лежит между А и С.

В этом случае $AC = AB + BC$. Тогда разность длин отрезков AC и BC равна: $AC - BC = (AB + BC) - BC = AB$.

Поскольку $AB = 5$ см, мы получаем $AC - BC = 5$ см. Это противоречит условию задачи, где $AC - BC = 2$ см. Следовательно, этот случай невозможен.

б) Точка А лежит между С и В.

В этом случае $BC = BA + AC$. Тогда разность длин отрезков AC и BC равна: $AC - BC = AC - (BA + AC) = -BA = -AB$.

Поскольку $AB = 5$ см, мы получаем $AC - BC = -5$ см. Это также противоречит условию задачи, где $AC - BC = 2$ см. Следовательно, и этот случай невозможен.

Единственный возможный вариант — это когда точка С расположена между точками А и В. Чтобы отметить точку С, нужно начертить прямую, отметить на ней точки А и В на расстоянии 5 см друг от друга, а затем от точки А отложить в сторону точки В отрезок длиной 3,5 см и в этом месте поставить точку С.

Ответ: Точка С должна быть расположена на отрезке АВ на расстоянии 3,5 см от точки А и 1,5 см от точки В.