Страница 32 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

29. На рисунке 76 $\angle ABD = 85^\circ$, $\angle CBE = 45^\circ$, $\angle DBE = 12^\circ$. Найдите угол $\angle ABC$.

Рис. 76

29. На рисунке 76 $\angle ABD = 85^\circ$, $\angle CBE = 45^\circ$, $\angle DBE = 12^\circ$.

Найдите угол $ABC$.

Рис. 76

Для решения данной задачи воспользуемся аксиомой измерения углов. Из рисунка следует, что угол $ \angle ABE $ можно составить из других углов двумя способами.

1. Угол $ \angle ABE $ можно представить как сумму смежных углов $ \angle ABD $ и $ \angle DBE $. $ \angle ABE = \angle ABD + \angle DBE $ Подставив известные значения, найдем величину угла $ \angle ABE $: $ \angle ABE = 85^\circ + 12^\circ = 97^\circ $

2. С другой стороны, тот же угол $ \angle ABE $ можно представить как сумму смежных углов $ \angle ABC $ и $ \angle CBE $. $ \angle ABE = \angle ABC + \angle CBE $

3. Теперь у нас есть уравнение, в котором известны $ \angle ABE $ и $ \angle CBE $, и неизвестен искомый угол $ \angle ABC $: $ 97^\circ = \angle ABC + 45^\circ $ Выразим из этого уравнения $ \angle ABC $: $ \angle ABC = 97^\circ - 45^\circ $ $ \angle ABC = 52^\circ $

Ответ: $ 52^\circ $

30. На рисунке 77 $\angle ABK = \angle FBM$. Луч $BP$ — биссектриса угла $KBF$. Докажите, что луч $BP$ — биссектриса угла $ABM$.

30. На рисунке 77 $\angle ABK = \angle FBM$. Луч $BP$ — биссектриса угла $KBF$. Докажите, что луч $BP$ — биссектриса угла $ABM$.

Рис. 77

Чтобы доказать, что луч BP является биссектрисой угла ABM, необходимо показать, что он делит этот угол на два равных угла, то есть что $\angle ABP = \angle MBP$.

Согласно условию задачи, луч BP является биссектрисой угла KBF. По определению биссектрисы, это означает, что луч BP делит угол KBF на два равных угла:

$\angle KBP = \angle FBP$ (1)

Также, по условию, нам дано равенство:

$\angle ABK = \angle FBM$ (2)

Из рисунка видно, что угол $\angle ABP$ можно представить как сумму двух углов: $\angle ABK$ и $\angle KBP$.

$\angle ABP = \angle ABK + \angle KBP$

Аналогично, угол $\angle MBP$ можно представить как сумму углов $\angle FBM$ и $\angle FBP$.

$\angle MBP = \angle FBM + \angle FBP$

Теперь сравним полученные выражения для углов $\angle ABP$ и $\angle MBP$. Мы можем сложить левые и правые части равенств (1) и (2):

$\angle ABK + \angle KBP = \angle FBM + \angle FBP$

Левая часть этого нового равенства представляет собой угол $\angle ABP$, а правая часть — угол $\angle MBP$. Таким образом, мы получаем:

$\angle ABP = \angle MBP$

Так как луч BP делит угол ABM на два равных угла ($\angle ABP$ и $\angle MBP$), то по определению он является биссектрисой угла ABM. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Луч BP является биссектрисой угла ABM.

31. Луч $OC$ проходит между сторонами угла $AOE$. Луч $OB$ — биссектриса угла $AOC$, луч $OD$ — биссектриса угла $COE$. Найдите угол $BOD$, если $\angle AOE = 144^\circ$.

31. Луч $OC$ проходит между сторонами угла $AOE$. Луч $OB$ – биссектриса угла $AOC$, луч $OD$ – биссектриса угла $COE$. Найдите угол $BOD$, если $\angle AOE = 144^\circ$.

По условию задачи, луч OC проходит между сторонами угла AOE. Это значит, что угол AOE складывается из двух смежных углов AOC и COE. Математически это можно записать так: $∠AOE = ∠AOC + ∠COE$

Луч OB является биссектрисой угла AOC. По определению биссектрисы, она делит угол пополам. Следовательно, угол BOC составляет половину угла AOC: $∠BOC = \frac{1}{2} ∠AOC$

Аналогично, луч OD является биссектрисой угла COE. Это означает, что угол COD составляет половину угла COE: $∠COD = \frac{1}{2} ∠COE$

Угол BOD, который нам нужно найти, состоит из суммы углов BOC и COD, так как луч OC лежит между лучами OB и OD. $∠BOD = ∠BOC + ∠COD$

Теперь подставим в это равенство выражения для ∠BOC и ∠COD, которые мы получили ранее: $∠BOD = \frac{1}{2} ∠AOC + \frac{1}{2} ∠COE$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $∠BOD = \frac{1}{2} (∠AOC + ∠COE)$

Мы знаем, что сумма углов $∠AOC + ∠COE$ равна углу $∠AOE$. Заменим выражение в скобках: $∠BOD = \frac{1}{2} ∠AOE$

По условию задачи дано, что $∠AOE = 144°$. Подставим это значение в нашу формулу и вычислим искомый угол: $∠BOD = \frac{1}{2} \cdot 144° = 72°$

Ответ: $72°$

32. На рисунке 78 $\angle BAD = \angle CAE$ и $\angle CAD = \angle EAF$. Найдите угол $DAF$, если $\angle BAD = 52^{\circ}$.

Рис. 78

32. На рисунке 78 $\angle BAD = \angle CAE$ и $\angle CAD = \angle EAF$. Найдите угол $\angle DAF$, если $\angle BAD = 52^\circ$.

Рис. 78

Угол $ \angle DAF $ состоит из двух смежных углов: $ \angle DAE $ и $ \angle EAF $. Таким образом, мы можем записать следующее равенство: $ \angle DAF = \angle DAE + \angle EAF $.

Согласно условию задачи, $ \angle EAF = \angle CAD $. Подставим это значение в наше первое равенство: $ \angle DAF = \angle DAE + \angle CAD $.

Как видно из рисунка, сумма углов $ \angle DAE $ и $ \angle CAD $ образует угол $ \angle CAE $. Следовательно: $ \angle DAF = \angle CAE $.

В условии также дано, что $ \angle CAE = \angle BAD $. Из этого следует, что: $ \angle DAF = \angle BAD $.

Поскольку по условию $ \angle BAD = 52^\circ $, то искомый угол $ \angle DAF $ также равен $52^\circ$.

Ответ: $52^\circ$.

33. На рисунке 79 луч BC — биссектриса угла KBD. Найдите угол ABC, если $\angle KBD = 68^\circ$.

Рис. 79

33. На рисунке 79 луч $BC$ — биссектриса угла $KBD$. Найдите угол $ABC$, если $\angle KBD = 68^\circ$.

Рис. 79

По условию задачи, луч BC является биссектрисой угла KBD. Биссектриса делит угол на две равные части. Следовательно, углы $∠KBC$ и $∠CBD$ равны, и каждый из них равен половине угла $∠KBD$.

$∠KBC = ∠CBD = \frac{∠KBD}{2}$

Так как $∠KBD = 68°$, найдем величину угла $∠KBC$:

$∠KBC = \frac{68°}{2} = 34°$

Из рисунка видно, что точки A, B и D лежат на одной прямой, следовательно, угол $∠ABD$ является развернутым, и его градусная мера составляет $180°$.

Углы $∠ABK$ и $∠KBD$ являются смежными, так как вместе они образуют развернутый угол $∠ABD$. Сумма смежных углов равна $180°$.

$∠ABK + ∠KBD = 180°$

Теперь мы можем найти величину угла $∠ABK$:

$∠ABK = 180° - ∠KBD = 180° - 68° = 112°$

Искомый угол $∠ABC$ состоит из двух прилежащих углов: $∠ABK$ и $∠KBC$. Чтобы найти его величину, нужно сложить градусные меры этих углов.

$∠ABC = ∠ABK + ∠KBC$

Подставим найденные значения:

$∠ABC = 112° + 34° = 146°$

Ответ: $146°$.

34. На рисунке 80 луч $QD$ — биссектриса угла $PQN$. Найдите угол $PQN$, если $\angle DQK = 158^\circ$.

Рис. 80

34. На рисунке 80 луч $QD$ — биссектриса угла $\angle PQN$. Найдите угол $\angle PQN$, если $\angle DQK = 158^\circ$.

Рис. 80

Углы $\angle PQK$ и $\angle DQK$ являются смежными, так как они лежат на одной прямой $PK$ и имеют общую вершину $Q$ и общую сторону $QD$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Из этого следует, что $\angle PQD + \angle DQK = 180^\circ$.

По условию задачи известно, что $\angle DQK = 158^\circ$. Подставим это значение в уравнение:

$\angle PQD + 158^\circ = 180^\circ$

Теперь найдем величину угла $\angle PQD$:

$\angle PQD = 180^\circ - 158^\circ = 22^\circ$

Согласно условию, луч $QD$ является биссектрисой угла $\angle PQN$. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла. Таким образом:

$\angle PQD = \angle DQN = 22^\circ$

Угол $\angle PQN$ состоит из двух углов: $\angle PQD$ и $\angle DQN$.

$\angle PQN = \angle PQD + \angle DQN$

Следовательно, мы можем найти искомый угол $\angle PQN$:

$\angle PQN = 22^\circ + 22^\circ = 44^\circ$

Также можно было найти его, умножив $\angle PQD$ на 2:

$\angle PQN = 2 \cdot \angle PQD = 2 \cdot 22^\circ = 44^\circ$

Ответ: $44^\circ$.