Страница 33 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

35. Могут ли два смежных угла быть равными:

1) $48^\circ$ и $132^\circ$;

2) $63^\circ$ и $127^\circ$?

35. Могут ли два смежных угла быть равными:

1) ${48^\circ}$ и ${132^\circ}$;

2) ${63^\circ}$ и ${127^\circ}$?

По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой (являются продолжениями друг друга). Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$, так как вместе они образуют развёрнутый угол. Чтобы определить, могут ли данные пары углов быть смежными, нужно проверить, равна ли их сумма $180^\circ$.

1) 48° и 132°

Проверим сумму этих углов:

$48^\circ + 132^\circ = 180^\circ$

Поскольку сумма углов равна $180^\circ$, эти углы могут быть смежными.

Ответ: да, могут.

2) 63° и 127°

Проверим сумму этих углов:

$63^\circ + 127^\circ = 190^\circ$

Поскольку сумма углов не равна $180^\circ$ ($190^\circ \neq 180^\circ$), эти углы не могут быть смежными.

Ответ: нет, не могут.

36. Найдите угол, смежный с углом:

1) $17^\circ$;

2) $133^\circ$.

36. Найдите угол, смежный с углом: 1) $17^\circ$; 2) $133^\circ$.

Смежные углы — это два угла с общей вершиной и одной общей стороной, две другие стороны которых лежат на одной прямой. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^{\circ}$.

Если один из смежных углов равен $\alpha$, а другой $\beta$, то справедливо равенство:

$\alpha + \beta = 180^{\circ}$

Чтобы найти величину смежного угла, необходимо из $180^{\circ}$ вычесть величину известного угла.

1)

Найдем угол, смежный с углом $17^{\circ}$. Пусть искомый угол равен $\beta$.

$\beta = 180^{\circ} - 17^{\circ} = 163^{\circ}$

Ответ: $163^{\circ}$

2)

Найдем угол, смежный с углом $133^{\circ}$. Пусть искомый угол равен $\beta$.

$\beta = 180^{\circ} - 133^{\circ} = 47^{\circ}$

Ответ: $47^{\circ}$

37. Запишите все пары смежных углов, изображённых на рисунке 81.

Рис. 81

37. Запишите все пары смежных углов, изображённых на рисунке 81.

Рис. 81

Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами, то есть вместе они образуют прямую линию. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

На рисунке 81 изображены две пересекающиеся прямые AB и CD. Они образуют четыре угла с общей вершиной O: $∠AOC$, $∠COB$, $∠BOD$ и $∠AOD$.

Чтобы найти все пары смежных углов, необходимо найти углы, которые имеют общую сторону, а две другие их стороны образуют прямую. Рассмотрим все возможные пары:

1. Углы $∠AOC$ и $∠COB$. У этих углов есть общая сторона OC, а стороны OA и OB являются дополнительными лучами, так как лежат на прямой AB. Следовательно, $∠AOC$ и $∠COB$ — смежные.

2. Углы $∠COB$ и $∠BOD$. У этих углов есть общая сторона OB, а стороны OC и OD являются дополнительными лучами, так как лежат на прямой CD. Следовательно, $∠COB$ и $∠BOD$ — смежные.

3. Углы $∠BOD$ и $∠DOA$. У этих углов есть общая сторона OD, а стороны OB и OA являются дополнительными лучами, так как лежат на прямой AB. Следовательно, $∠BOD$ и $∠DOA$ — смежные.

4. Углы $∠DOA$ и $∠AOC$. У этих углов есть общая сторона OA, а стороны OD и OC являются дополнительными лучами, так как лежат на прямой CD. Следовательно, $∠DOA$ и $∠AOC$ — смежные.

Других пар смежных углов на рисунке нет.

Ответ: ($∠AOC$ и $∠COB$); ($∠COB$ и $∠BOD$); ($∠BOD$ и $∠DOA$); ($∠DOA$ и $∠AOC$).

38. Один из смежных углов на $42^\circ$ меньше другого. Найдите эти углы.

38. Один из смежных углов на $42^{\circ}$ меньше другого. Найдите эти углы.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. Сумма смежных углов всегда равна 180°.

Пусть величина одного (большего) угла равна $x$. По условию, второй угол на 42° меньше, значит, его величина равна $x - 42°$.

Так как сумма смежных углов равна 180°, мы можем составить уравнение:

$x + (x - 42°) = 180°$

Решим полученное уравнение:

$2x - 42° = 180°$

Перенесем 42° в правую часть уравнения, изменив знак:

$2x = 180° + 42°$

$2x = 222°$

Найдем $x$:

$x = \frac{222°}{2}$

$x = 111°$

Таким образом, один из углов равен 111°.

Теперь найдем второй угол:

$111° - 42° = 69°$

Проверим правильность решения: сумма углов должна быть 180°.

$111° + 69° = 180°$

Решение верное.

Ответ: 69° и 111°.

39. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как 4 : 5.

39. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как $4 : 5$.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой и являются продолжениями друг друга. Важнейшее свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

По условию задачи, градусные меры искомых углов относятся как $4:5$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда величину первого угла можно записать как $4x$, а величину второго — как $5x$.

Используя свойство смежных углов, составим уравнение:

$4x + 5x = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$9x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{9}$

$x = 20^\circ$

Найдя коэффициент $x$, мы можем вычислить градусные меры каждого из углов:

Первый угол: $4x = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$

Второй угол: $5x = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$

Для проверки убедимся, что сумма углов равна $180^\circ$ ($80^\circ + 100^\circ = 180^\circ$) и их отношение равно $4:5$ ($80:100 = 8:10 = 4:5$). Оба условия выполняются.

Ответ: $80^\circ$ и $100^\circ$.

40. На рисунке 82 угол $MEK$ равен $132^\circ$. Найдите углы $MEF, FEP, PEK$.

Рис. 82

40. На рисунке 82 угол MEK равен $132^\circ$. Найдите углы MEF, FEP, PEK.

Рис. 82

На рисунке изображены две пересекающиеся прямые MP и KF. Точка их пересечения — E. При пересечении двух прямых образуются пары смежных и вертикальных углов. Нам дан угол $\angle MEK = 132^\circ$.

MEF

Углы MEK и MEF являются смежными, так как они имеют общую сторону ME, а стороны EK и EF являются продолжением друг друга и образуют прямую KF. Сумма смежных углов всегда равна 180°.
Таким образом, мы можем записать:
$\angle MEK + \angle MEF = 180^\circ$
Подставим известное значение $\angle MEK$:
$132^\circ + \angle MEF = 180^\circ$
Теперь найдем $\angle MEF$:
$\angle MEF = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$
Ответ: $\angle MEF = 48^\circ$.

FEP

Углы MEK и FEP являются вертикальными. Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых и расположены друг напротив друга. Они всегда равны между собой.
Следовательно:
$\angle FEP = \angle MEK$
Так как нам известно, что $\angle MEK = 132^\circ$, то:
$\angle FEP = 132^\circ$
Ответ: $\angle FEP = 132^\circ$.

PEK

Углы PEK и MEF являются вертикальными, так как они образованы пересечением тех же прямых MP и KF. Поэтому они равны.
$\angle PEK = \angle MEF$
Из первого пункта мы уже знаем, что $\angle MEF = 48^\circ$.
Следовательно, $\angle PEK = 48^\circ$.

Проверка: Углы MEK и PEK являются смежными, так как вместе они образуют прямую MP. Их сумма должна быть равна 180°.
$\angle MEK + \angle PEK = 132^\circ + 48^\circ = 180^\circ$.
Равенство выполняется, значит, угол найден верно.
Ответ: $\angle PEK = 48^\circ$.

41. На рисунке 83 $\angle AOB = 56^\circ$, $\angle COD = 25^\circ$. Найдите угол FOE.

Рис. 83

41. На рисунке 83 $\angle AOB = 56^\circ$, $\angle COD = 25^\circ$. Найдите угол $FOE$.

Рис. 83

На рисунке изображены три прямые (AD, BE и FC), которые пересекаются в точке O. Угол, образованный прямой, является развернутым и его величина составляет $180°$.

Рассмотрим прямую FC. Развернутый угол $∠FOC$ состоит из трех смежных углов: $∠FOE$, $∠EOD$ и $∠DOC$. Таким образом, мы можем записать равенство:

$∠FOE + ∠EOD + ∠DOC = 180°$

Из условия задачи нам известно значение угла $∠COD = 25°$.

Углы $∠EOD$ и $∠AOB$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых AD и BE. По свойству вертикальных углов, они равны. Следовательно:

$∠EOD = ∠AOB = 56°$

Теперь подставим известные значения в наше равенство:

$∠FOE + 56° + 25° = 180°$

Сложим известные углы в левой части уравнения:

$∠FOE + 81° = 180°$

Чтобы найти $∠FOE$, вычтем $81°$ из $180°$:

$∠FOE = 180° - 81°$

$∠FOE = 99°$

Ответ: $99°$.

42. На рисунке 84 $ \angle AOD + \angle AOC + \angle COB = 210^\circ $. Найдите углы AOD и DOB.

Рис. 84

42. На рисунке 84 $\angle AOD + \angle AOC + \angle COB = 210^\circ$. Найдите углы $AOD$ и $DOB$.

Рис. 84

На рисунке изображены две пересекающиеся прямые AB и CD.

Углы $ \angle AOD $ и $ \angle AOC $ являются смежными, так как они лежат на одной прямой CD и имеют общую сторону OA. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $.

$ \angle AOD + \angle AOC = 180^\circ $

По условию задачи известно, что $ \angle AOD + \angle AOC + \angle COB = 210^\circ $.

Мы можем заменить сумму первых двух углов на $ 180^\circ $ в данном выражении:

$ ( \angle AOD + \angle AOC ) + \angle COB = 210^\circ $

$ 180^\circ + \angle COB = 210^\circ $

Отсюда находим величину угла $ \angle COB $:

$ \angle COB = 210^\circ - 180^\circ = 30^\circ $

Углы $ \angle AOD $ и $ \angle COB $ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении двух прямых. Вертикальные углы равны.

Следовательно, $ \angle AOD = \angle COB = 30^\circ $.

Теперь найдем угол $ \angle DOB $. Углы $ \angle AOD $ и $ \angle DOB $ являются смежными, так как они лежат на одной прямой AB. Их сумма равна $ 180^\circ $.

$ \angle AOD + \angle DOB = 180^\circ $

Подставим известное значение $ \angle AOD $:

$ 30^\circ + \angle DOB = 180^\circ $

$ \angle DOB = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $

Ответ: $ \angle AOD = 30^\circ $, $ \angle DOB = 150^\circ $.