Страница 45 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Существует ли треугольник со сторонами: 1) 7 см, 8 см, 16 см; 2) 7 см, 9 см, 16 см? Ответ обоснуйте.

122. Существует ли треугольник со сторонами:

1) 7 см, 8 см, 16 см?

2) 7 см, 9 см, 16 см? Ответ обоснуйте.

Для того чтобы определить, существует ли треугольник с заданными сторонами, необходимо воспользоваться неравенством треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны. Если $a, b, c$ – это длины сторон треугольника, то должны одновременно выполняться три условия: $a+b > c$, $a+c > b$ и $b+c > a$. На практике достаточно проверить выполнение одного условия: сумма длин двух меньших сторон должна быть больше длины большей стороны.

1) 7 см, 8 см, 16 см
В данном случае две меньшие стороны равны 7 см и 8 см, а большая сторона – 16 см. Проверим, больше ли сумма двух меньших сторон, чем большая сторона:
$7 + 8 > 16$
$15 > 16$
Это неравенство неверно, так как 15 меньше 16. Следовательно, неравенство треугольника не выполняется.
Ответ: треугольник со сторонами 7 см, 8 см и 16 см не существует, потому что сумма двух его сторон (7 + 8 = 15 см) меньше третьей стороны (16 см).

2) 7 см, 9 см, 16 см
Здесь две меньшие стороны – 7 см и 9 см, а большая – 16 см. Снова проверим неравенство треугольника:
$7 + 9 > 16$
$16 > 16$
Это неравенство также неверно, так как 16 не больше 16 (они равны). Если сумма двух сторон равна третьей, то все три вершины лежат на одной прямой, и такой треугольник называется вырожденным. По определению, треугольник – это фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, поэтому в данном случае невырожденный треугольник не существует.
Ответ: треугольник со сторонами 7 см, 9 см и 16 см не существует, потому что сумма двух его сторон (7 + 9 = 16 см) не больше, а равна третьей стороне (16 см).

123. Найдите сторону $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$, если $BC = 7$ см, $AC = 14$ см.

123. Найдите сторону $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$, если $BC = 7$ см, $AC = 14$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным, две его стороны должны быть равны. В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми, а третья — основанием. Рассмотрим два возможных случая, исходя из данных длин сторон $BC = 7$ см и $AC = 14$ см.

Случай 1: Основанием является сторона $AC$.

В этом случае боковые стороны $AB$ и $BC$ должны быть равны, то есть $AB = BC$. Так как по условию $BC = 7$ см, то и $AB$ должно быть равно 7 см. Тогда стороны треугольника имели бы длины 7 см, 7 см и 14 см. Для существования любого треугольника должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны. Проверим это условие: $7 + 7 > 14$. Это неравенство ложно, так как $14$ не больше $14$ ($14 = 14$). Следовательно, треугольник с такими сторонами не существует, и этот случай невозможен.

Случай 2: Основанием является сторона $BC$.

В этом случае боковыми сторонами являются $AB$ и $AC$, то есть $AB = AC$. Так как по условию $AC = 14$ см, то и $AB$ должно быть равно 14 см. Тогда стороны треугольника будут равны 14 см, 14 см и 7 см. Проверим для этих длин неравенство треугольника: $14 + 7 > 14$. Это неравенство истинно, так как $21 > 14$. (Очевидно, что и $14 + 14 > 7$ тоже истинно). Поскольку неравенство треугольника выполняется, такой треугольник существует.

Таким образом, единственно возможным является второй случай, в котором сторона $AB$ равна 14 см.
Ответ: 14 см.

124. Сравните углы треугольника $DEF$, если $DE < EF$ и $EF = DF$.

124. Сравните углы треугольника $DEF$, если $DE < EF$ и $EF = DF$.

Для сравнения углов треугольника $DEF$ воспользуемся свойством соотношения сторон и углов в треугольнике: против большей стороны лежит больший угол, а против равных сторон лежат равные углы.

1. Из условия задачи известно, что $EF = DF$. В треугольнике углы, лежащие напротив равных сторон, равны. Угол, лежащий напротив стороны $EF$, — это $\angle D$. Угол, лежащий напротив стороны $DF$, — это $\angle E$. Следовательно, $\angle D = \angle E$.

2. Также по условию дано, что $DE < EF$. В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол. Угол, лежащий напротив стороны $DE$, — это $\angle F$. Угол, лежащий напротив стороны $EF$, — это $\angle D$. Следовательно, $\angle F < \angle D$.

3. Объединим полученные результаты. Мы установили, что $\angle D = \angle E$ и $\angle F < \angle D$. Таким образом, мы можем записать итоговое соотношение между углами треугольника: $\angle F < \angle D = \angle E$.

Ответ: $\angle F < \angle D = \angle E$.

125. Сравните стороны треугольника $PRS$, если $\angle P > \angle S$ и $\angle R = \angle S$.

125. Сравните стороны треугольника PRS, если $\angle P > \angle S$ и $\angle R = \angle S$.

Для сравнения сторон треугольника PRS воспользуемся теоремой о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Эта теорема гласит, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против равных углов лежат равные стороны.

Рассмотрим заданные условия:

1. $ \angle R = \angle S $

Согласно теореме, стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Углу $ \angle R $ противолежит сторона PS, а углу $ \angle S $ противолежит сторона PR. Следовательно, из равенства углов следует равенство противолежащих им сторон:

$ PS = PR $

2. $ \angle P > \angle S $

Согласно той же теореме, сторона, лежащая напротив большего угла, длиннее стороны, лежащей напротив меньшего угла. Углу $ \angle P $ противолежит сторона RS, а углу $ \angle S $ противолежит сторона PR. Так как $ \angle P > \angle S $, то и соответствующая сторона $ RS > PR $.

3. Итоговое сравнение

Объединим полученные результаты. Мы установили, что $ PS = PR $ и $ RS > PR $. Заменив в неравенстве $ RS > PR $ сторону PR на равную ей сторону PS, мы получаем, что $ RS > PS $.

Таким образом, мы можем записать окончательное соотношение для всех трех сторон треугольника: сторона RS больше стороны PR, которая, в свою очередь, равна стороне PS.

Ответ: $ RS > PR = PS $.

126. Существует ли треугольник $ABC$, в котором $\angle B = 44^{\circ}$, $\angle C = 85^{\circ}$, $AB = 11$ см, $AC = 12$ см?

126. Существует ли треугольник $ABC$, в котором $\angle B = 44^\circ$, $\angle C = 85^\circ$, $AB = 11$ см, $AC = 12$ см?

Для того чтобы определить, существует ли треугольник с заданными параметрами, необходимо проверить, выполняются ли для него основные свойства треугольников. Одно из ключевых свойств связывает величины углов и длины противолежащих им сторон: в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против меньшего угла — меньшая сторона.

В нашем случае даны следующие параметры для треугольника $ABC$:

Угол $\angle B = 44^\circ$
Угол $\angle C = 85^\circ$
Сторона $AB = 11$ см
Сторона $AC = 12$ см

Сторона $AC$ лежит напротив угла $\angle B$, а сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle C$.

Сравним углы $\angle C$ и $\angle B$:

$85^\circ > 44^\circ$, следовательно, $\angle C > \angle B$.

Согласно свойству треугольника, сторона, лежащая напротив большего угла $\angle C$, должна быть длиннее стороны, лежащей напротив меньшего угла $\angle B$. Это означает, что должно выполняться неравенство $AB > AC$.

Теперь сравним длины сторон, данные в условии задачи:

$AB = 11$ см, а $AC = 12$ см.

Получаем, что $11 < 12$, то есть $AB < AC$.

Возникло противоречие: из сравнения углов следует, что $AB$ должна быть больше $AC$, а по условию задачи $AB$ оказывается меньше $AC$. Такое невозможно.

Также можно проверить это с помощью теоремы синусов, которая гласит:

$\frac{AC}{\sin \angle B} = \frac{AB}{\sin \angle C}$

Подставим известные значения:

$\frac{12}{\sin 44^\circ} = \frac{11}{\sin 85^\circ}$

Так как в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$ функция синуса возрастает, то $\sin 85^\circ > \sin 44^\circ$. Мы делим меньшее число (11) на большее число ($\sin 85^\circ$), а большее число (12) на меньшее число ($\sin 44^\circ$). Очевидно, что левая часть равенства будет больше правой, то есть равенство не выполняется.

$\frac{12}{\sin 44^\circ} \approx \frac{12}{0.6947} \approx 17.27$

$\frac{11}{\sin 85^\circ} \approx \frac{11}{0.9962} \approx 11.04$

$17.27 \neq 11.04$

Нарушение теоремы синусов подтверждает, что треугольник с такими параметрами не существует.

Ответ: нет, такой треугольник не существует.

127. Существует ли треугольник $DEF$, в котором $\angle D = 96^\circ$, $DF = 11$ см, $EF = 10$ см?

127. Существует ли треугольник $DEF$, в котором $ \angle D = 96^{\circ}, DF = 11 \text{ см}, EF = 10 \text{ см}? $

Для ответа на этот вопрос воспользуемся свойством соотношения между сторонами и углами треугольника: в любом треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, и наоборот, напротив большей стороны лежит больший угол.

Рассмотрим предполагаемый треугольник $DEF$. По условию, один из его углов, $\angle D$, равен $96^{\circ}$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. Следовательно, сумма двух других углов, $\angle E$ и $\angle F$, будет равна:
$\angle E + \angle F = 180^{\circ} - \angle D = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$.

Поскольку сумма углов $\angle E$ и $\angle F$ равна $84^{\circ}$, то каждый из этих углов в отдельности должен быть меньше $84^{\circ}$ (так как углы в треугольнике не могут быть нулевыми или отрицательными). Таким образом, оба угла, $\angle E$ и $\angle F$, меньше чем $\angle D$. Это означает, что $\angle D$ — самый большой угол в треугольнике $DEF$.

Согласно свойству треугольника, напротив самого большого угла должна лежать самая большая сторона. В нашем случае напротив угла $\angle D$ лежит сторона $EF$. Следовательно, сторона $EF$ должна быть самой длинной стороной этого треугольника.

Теперь сравним длины сторон, указанные в условии: $EF = 10$ см и $DF = 11$ см.

Мы видим, что $DF > EF$ ($11 \text{ см} > 10 \text{ см}$). Это противоречит выводу, что $EF$ должна быть самой длинной стороной. Напротив большей стороны $DF$ должен лежать больший угол ($\angle E$), чем напротив меньшей стороны $EF$ (угол $\angle D$), что привело бы к неравенству $\angle E > \angle D$. Но мы уже установили, что $\angle D$ — наибольший угол.

Таким образом, треугольник с заданными параметрами не может существовать.

Ответ: нет, не существует.

128. Может ли наименьшая сторона треугольника лежать против угла $63^\circ$?

128. Может ли наименьшая сторона треугольника лежать против угла $63^\circ$?

Для решения этой задачи воспользуемся свойством соотношения сторон и углов в треугольнике, которое гласит: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против меньшей стороны лежит меньший угол.

Предположим, что наименьшая сторона треугольника лежит против угла, равного $63°$. Обозначим углы треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Пусть $\alpha = 63°$ и является наименьшим углом, так как он лежит против наименьшей стороны.

Если $\alpha$ — наименьший угол, то два других угла, $\beta$ и $\gamma$, должны быть не меньше, чем $\alpha$. То есть, должны выполняться неравенства:

$\beta \ge 63°$

$\gamma \ge 63°$

Теперь воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника, согласно которой сумма всех углов равна $180°$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180°$

Исходя из нашего предположения, найдем минимально возможную сумму углов в таком треугольнике:

$\alpha + \beta + \gamma \ge 63° + 63° + 63°$

$\alpha + \beta + \gamma \ge 189°$

Полученное неравенство ($189° \ge 189°$) противоречит теореме о сумме углов треугольника ($180°$). Сумма углов в таком треугольнике оказывается больше $180°$, что невозможно.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: нет, не может.

129. В треугольнике $DEF$ известно, что $DE = 0,8$ см, $EF = 3,4$ см. Найдите третью сторону этого треугольника, если её длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу. Сколько решений имеет задача?

129. В треугольнике $DEF$ известно, что $DE = 0,8$ см, $EF = 3,4$ см. Найдите третью сторону этого треугольника, если её длина, выраженная в сантиметрах, равна целому числу. Сколько решений имеет задача?

Для решения этой задачи необходимо использовать неравенство треугольника. Согласно этому свойству, любая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон и больше модуля их разности.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Тогда для стороны $c$ справедливо следующее двойное неравенство:

$|a - b| < c < a + b$

В треугольнике $DEF$ нам известны две стороны: $DE = 0,8$ см и $EF = 3,4$ см. Обозначим неизвестную третью сторону как $DF$. Применим к ней неравенство треугольника:

$|DE - EF| < DF < DE + EF$

Подставим числовые значения длин известных сторон:

$|0,8 - 3,4| < DF < 0,8 + 3,4$

Выполним вычисления:

$|-2,6| < DF < 4,2$

$2,6 < DF < 4,2$

Таким образом, длина третьей стороны $DF$ должна быть строго больше 2,6 см и строго меньше 4,2 см.

По условию задачи, длина третьей стороны выражена в сантиметрах и является целым числом. Найдем все целые числа, которые находятся в интервале $(2,6; 4,2)$. Такими числами являются 3 и 4.

Следовательно, третья сторона треугольника $DF$ может быть равна 3 см или 4 см.

Поскольку существует два возможных значения для длины третьей стороны, задача имеет два решения.

Ответ: третья сторона треугольника может быть равна 3 см или 4 см; задача имеет 2 решения.

130. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $47^\circ$. Найдите другой острый угол.

130. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $47^\circ$. Найдите другой острый угол.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол, равный $90^\circ$, и два острых угла.

Следовательно, сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна:

$180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

По условию задачи, один из острых углов равен $47^\circ$. Чтобы найти второй острый угол, необходимо вычесть известный угол из $90^\circ$:

$90^\circ - 47^\circ = 43^\circ$

Ответ: $43^\circ$

131. На рисунке 119 $\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ$, $AB = CD$. Докажите, что $AC = BD$.

Рис. 119

131. На рисунке 119 $\angle ABC = \angle DCB = 90^\circ$, $AB = CD$. Докажите, что $AC = BD$.

Рис. 119

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ΔABC$ и $ΔDCB$.

В этих треугольниках:

1. $AB = CD$ (по условию задачи).
2. $∠ABC = ∠DCB = 90°$ (по условию задачи).
3. Сторона $BC$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, треугольник $ΔABC$ равен треугольнику $ΔDCB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники равны, то их соответствующие элементы также равны. В данном случае, гипотенуза $AC$ треугольника $ΔABC$ соответствует гипотенузе $BD$ треугольника $ΔDCB$.

Таким образом, $AC = BD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AC = BD$ доказано на основе равенства треугольников $ΔABC$ и $ΔDCB$ по двум катетам (или по двум сторонам и углу между ними).

132. На рисунке 120 $\angle ABO = \angle DCO = 90^\circ$, $AB = CD$. Найдите $AO$, если $DO = 11$ см.

Рис. 120

132. На рисунке 120 $\angle ABO = \angle DCO = 90^\circ$, $AB = CD$. Найдите $AO$, если $DO = 11$ см.

Рис. 120

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABO $ и $ \triangle DCO $.

Согласно условию задачи, $ \angle ABO = 90^\circ $ и $ \angle DCO = 90^\circ $. Это означает, что оба треугольника являются прямоугольными.

Для доказательства равенства этих треугольников сравним их известные элементы:

1. $ AB = CD $ (по условию задачи). В данных треугольниках это катеты.

2. $ \angle AOB = \angle DOC $ (так как эти углы являются вертикальными, образованными при пересечении прямых AC и BD).

Таким образом, прямоугольный треугольник $ \triangle ABO $ равен прямоугольному треугольнику $ \triangle DCO $ по признаку равенства по катету и противолежащему острому углу.

Поскольку треугольники равны ($ \triangle ABO = \triangle DCO $), их соответствующие стороны также равны. Сторона $ AO $ является гипотенузой в треугольнике $ \triangle ABO $ (лежит напротив прямого угла $ \angle ABO $), а сторона $ DO $ является гипотенузой в треугольнике $ \triangle DCO $ (лежит напротив прямого угла $ \angle DCO $). Следовательно, эти стороны являются соответствующими.

Отсюда следует, что $ AO = DO $.

По условию задачи дано, что $ DO = 11 $ см. Значит, длина стороны $ AO $ также составляет 11 см.

Ответ: 11 см.

133. Из точки $O$, принадлежащей углу $ACB$, проведены перпендикуляры $OD$ и $OE$ к его сторонам. Найдите угол $ACB$, если $\angle OCB = 38^\circ$ и $OD = OE$.

133. Из точки $O$, принадлежащей углу $\angle ACB$, проведены перпендикуляры $OD$ и $OE$ к его сторонам. Найдите угол $\angle ACB$, если $\angle OCB = 38^{\circ}$ и $OD = OE$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ΔODC$ и $ΔOEC$. В этих треугольниках:

• $∠ODC = 90°$ и $∠OEC = 90°$, так как по условию $OD$ и $OE$ — перпендикуляры к сторонам угла $AC$ и $BC$ соответственно.
• $OC$ — общая гипотенуза.
• $OD = OE$ — по условию.

Следовательно, прямоугольные треугольники $ΔODC$ и $ΔOEC$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы равны, то есть $∠OCD = ∠OCE$.

По условию задачи $∠OCB = 38°$, что соответствует углу $∠OCE$. Таким образом, $∠OCE = 38°$.

Так как $∠OCD = ∠OCE$, то $∠OCD = 38°$.

Угол $∠ACB$ состоит из двух углов: $∠OCD$ и $∠OCE$.

$∠ACB = ∠OCD + ∠OCE = 38° + 38° = 76°$.

Также можно воспользоваться свойством биссектрисы угла: точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Так как $OD = OE$ (расстояния от точки $O$ до сторон угла), то луч $CO$ является биссектрисой угла $∠ACB$.

По определению биссектрисы, $∠ACO = ∠BCO$.

Нам дано, что $∠OCB = 38°$, следовательно $∠ACO$ также равен $38°$.

Тогда весь угол $∠ACB = ∠ACO + ∠OCB = 38° + 38° = 76°$.

Ответ: $76°$.