Страница 47 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. Из точки $P$ к прямой $AB$ проведены наклонные $PA$ и $PB$ и перпендикуляр $PC$ так, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ и $\angle PAB = 48^\circ$. Сравните отрезки $AC$ и $BP$.

142. Из точки $P$ к прямой $AB$ проведены наклонные $PA$ и $PB$ и перпендикуляр $PC$ так, что точка $C$ лежит между точками $A$ и $B$ и $\angle PAB = 48^\circ$. Сравните отрезки $AC$ и $BP$.

По условию задачи, PC является перпендикуляром к прямой AB. Это означает, что треугольники PAC и PBC являются прямоугольными, с прямыми углами при вершине C ($∠PCA = ∠PCB = 90^\circ$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник PAC. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Нам известны два угла в этом треугольнике:

• $∠PCA = 90^\circ$ (так как PC — перпендикуляр)
• $∠PAC = ∠PAB = 48^\circ$ (по условию)

Найдем третий угол, $∠APC$:

$∠APC = 180^\circ - ∠PCA - ∠PAC = 180^\circ - 90^\circ - 48^\circ = 42^\circ$.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике PAC сравним углы, противолежащие катетам AC и PC:

• Катету AC противолежит угол $∠APC = 42^\circ$.
• Катету PC противолежит угол $∠PAC = 48^\circ$.

Поскольку $48^\circ > 42^\circ$, то и сторона, лежащая против большего угла, будет длиннее. Следовательно, $PC > AC$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник PBC. В этом треугольнике BP является гипотенузой, а PC — катетом. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Таким образом, $BP > PC$.

Мы получили систему из двух неравенств:

1. $PC > AC$
2. $BP > PC$

Объединяя эти неравенства, получаем цепочку $BP > PC > AC$. Из этого напрямую следует, что $BP > AC$.

Ответ: Отрезок BP длиннее отрезка AC, то есть $BP > AC$.

143. В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AB$ равна 16 см, $\angle A = 30^\circ$. Найдите катет $BC$.

143. В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AB$ равна 16 см, $\angle A = 30^\circ$. Найдите катет $BC$.

143. По условию, треугольник $ABC$ — прямоугольный, а $AB$ — его гипотенуза. Это означает, что угол, противолежащий гипотенузе, является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В данном треугольнике катет $BC$ лежит напротив угла $\angle A$, который по условию равен $30^\circ$.

Следовательно, для нахождения длины катета $BC$ нужно разделить длину гипотенузы $AB$ на 2:

$BC = \frac{AB}{2}$

Подставим известные значения в формулу ($AB = 16$ см):

$BC = \frac{16}{2} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

144. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$.

На катете $AC$ отметили такую точку $E$, что $\angle BEC = 60^\circ$.

Найдите $AC$, если $EC = 8$ см.

144. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$.

На катете $AC$ отметили такую точку $E$, что $\angle BEC = 60^\circ$.

Найдите $AC$, если $EC = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BEC$. По условию задачи, $\angle C = 90^\circ$ и $\angle BEC = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому третий угол этого треугольника, $\angle EBC$, равен:

$\angle EBC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

В прямоугольном треугольнике $BEC$ известен катет $EC = 8$ см. Мы можем найти гипотенузу $BE$, используя определение косинуса угла, которое гласит, что косинус острого угла в прямоугольном треугольнике есть отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$\cos(\angle BEC) = \frac{EC}{BE}$

Подставим известные значения:

$\cos(60^\circ) = \frac{8}{BE}$

Зная, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} = \frac{8}{BE}$

Из этого уравнения находим длину $BE$:

$BE = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Теперь перейдем к рассмотрению треугольника $ABE$. Найдем его углы. Угол $\angle BAE$ совпадает с углом $\angle A$ исходного треугольника $ABC$, то есть $\angle BAE = 30^\circ$. Угол $\angle AEB$ является смежным с углом $\angle BEC$, так как точки $A, E, C$ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно:

$\angle AEB = 180^\circ - \angle BEC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Зная два угла треугольника $ABE$, найдем третий угол $\angle ABE$:

$\angle ABE = 180^\circ - \angle BAE - \angle AEB = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ$

Мы видим, что в треугольнике $ABE$ два угла равны: $\angle BAE = \angle ABE = 30^\circ$. Это означает, что треугольник $ABE$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, также равны. Таким образом, $AE = BE$.

Поскольку мы ранее вычислили, что $BE = 16$ см, то и $AE = 16$ см.

Искомая длина катета $AC$ состоит из суммы длин отрезков $AE$ и $EC$, так как точка $E$ лежит на $AC$.

$AC = AE + EC$

$AC = 16 \text{ см} + 8 \text{ см} = 24 \text{ см}$

Ответ: 24 см.

145. В прямоугольном треугольнике $DBC$ ($\angle C = 90^\circ$) провели высоту $CK$. Найдите угол $BCK$, если $DB = 14$ см, $BC = 7$ см.

145. В прямоугольном треугольнике DBC $(\angle C = 90^\circ)$ провели высоту CK. Найдите угол BCK, если $DB = 14$ см, $BC = 7$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DBC$, в котором по условию $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $DB = 14$ см, а катет $BC = 7$ см.

Сравним длину катета $BC$ с длиной гипотенузы $DB$. Мы видим, что катет $BC$ ровно в два раза короче гипотенузы $DB$, так как $7 \text{ см} = \frac{14 \text{ см}}{2}$.

В геометрии существует свойство: если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен $30^\circ$. В нашем треугольнике напротив катета $BC$ лежит угол $\angle BDC$. Следовательно, $\angle BDC = 30^\circ$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$. Для треугольника $DBC$ это означает, что $\angle BDC + \angle DBC = 90^\circ$.

Теперь мы можем найти величину второго острого угла, $\angle DBC$:

$\angle DBC = 90^\circ - \angle BDC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Далее рассмотрим треугольник $CKB$. По условию, $CK$ — это высота, проведенная к гипотенузе $DB$. Это означает, что $CK$ перпендикулярна $DB$, и, следовательно, $\angle CKB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $CKB$ также является прямоугольным.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике $CKB$ также равна $90^\circ$. Это углы $\angle BCK$ и $\angle KBC$.

$\angle BCK + \angle KBC = 90^\circ$.

Угол $\angle KBC$ является тем же углом, что и $\angle DBC$, поэтому $\angle KBC = 60^\circ$.

Наконец, найдем искомый угол $\angle BCK$:

$\angle BCK = 90^\circ - \angle KBC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

146. В прямоугольном треугольнике $DEP$ ($\angle P = 90^\circ$) провели высоту $PK$. Найдите гипотенузу $DE$, если $PE = 16 \text{ см}$, $KE = 8 \text{ см}$.

146. В прямоугольном треугольнике $DEP (\angle P = 90^\circ)$ провели высоту $PK$. Найдите гипотенузу $DE$, если $PE = 16$ см, $KE = 8$ см.

В прямоугольном треугольнике $DEP$ с прямым углом при вершине $P$ ($\angle P = 90^\circ$), $DE$ является гипотенузой, а $DP$ и $PE$ — катетами. $PK$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла $P$ к гипотенузе $DE$. Точка $K$ лежит на гипотенузе, а отрезок $KE$ является проекцией катета $PE$ на гипотенузу.

По условию задачи даны:

• длина катета $PE = 16$ см;
• длина проекции этого катета на гипотенузу $KE = 8$ см.

Для нахождения длины гипотенузы $DE$ воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Одно из них гласит, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Запишем это соотношение в виде формулы для катета $PE$:

$PE^2 = KE \cdot DE$

Подставим известные значения в эту формулу:

$16^2 = 8 \cdot DE$

Вычислим значение $16^2$:

$256 = 8 \cdot DE$

Теперь выразим $DE$ из полученного уравнения:

$DE = \frac{256}{8}$

$DE = 32$ см.

Ответ: 32 см.

147. На рисунке 123 $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle BAK = 90^\circ$, $\angle CAB = 60^\circ$. Найдите угол $\angle AKB$, если $AC = 8$ см, $BK = 32$ см.

Рис. 123

147. На рисунке 123 $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle BAK = 90^\circ$, $\angle CAB = 60^\circ$. Найдите угол $AKB$, если $AC = 8$ см, $BK = 32$ см.

Рис. 123

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACB$, так как по условию $\angle ACB = 90^\circ$. В этом треугольнике известен катет $AC = 8$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle CAB = 60^\circ$. Мы можем найти гипотенузу $AB$, используя определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle CAB) = \frac{AC}{AB}$

Подставим известные значения:

$\cos(60^\circ) = \frac{8}{AB}$

Так как значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, получаем уравнение:

$\frac{1}{2} = \frac{8}{AB}$

Отсюда выразим $AB$:

$AB = 8 \cdot 2 = 16$ см.

Теперь рассмотрим второй прямоугольный треугольник $BAK$, так как по условию $\angle BAK = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известен катет $AB = 16$ см и гипотенуза $BK = 32$ см. Нам необходимо найти угол $AKB$. Катет $AB$ является противолежащим для угла $AKB$, поэтому мы можем использовать определение синуса угла:

$\sin(\angle AKB) = \frac{AB}{BK}$

Подставим известные длины сторон:

$\sin(\angle AKB) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

Острый угол в прямоугольном треугольнике, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$.

Следовательно, $\angle AKB = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

148. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$. Биссектриса угла $B$ пересекает катет $AC$ в точке $D$. Найдите $AD$, если $BD + CD = 15$ см.

148. В треугольнике ABC известно, что $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$. Биссектриса угла B пересекает катет AC в точке D. Найдите AD, если $BD + CD = 15$ см.

1. Найдем величину угла $B$ в треугольнике $ABC$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, а по условию $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$, то:
$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. По условию, $BD$ — биссектриса угла $B$. Следовательно, она делит угол $B$ на два равных угла:
$\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$ (угол $C$ прямой). В этом треугольнике $\angle DBC = 30^\circ$. Катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В данном случае катет $CD$ лежит напротив угла $\angle DBC$, а гипотенуза — $BD$. Таким образом, мы получаем соотношение:
$CD = \frac{1}{2} BD$.

4. В условии задачи дано, что $BD + CD = 15$ см. Используя соотношение из предыдущего пункта, подставим $\frac{1}{2} BD$ вместо $CD$:
$BD + \frac{1}{2} BD = 15$
$\frac{3}{2} BD = 15$
$BD = 15 \cdot \frac{2}{3} = 10$ см.

5. Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Мы знаем, что $\angle A = 30^\circ$ и $\angle ABD = 30^\circ$. Поскольку два угла в этом треугольнике равны, треугольник $ABD$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $AD = BD$.

6. Так как $AD = BD$ и мы нашли, что $BD = 10$ см, то и $AD$ равно 10 см.
Ответ: 10 см.

149. Какие из точек на рисунке 124 принадлежат окружности с центром $O$; кругу с центром $O$?

Рис. 124

149. Какие из точек на рисунке 124 принадлежат окружности с центром $O$; кругу с центром $O$?

Рис. 124

окружности с центром O
Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой её центром. В данном случае центром является точка O. Окружность представляет собой только линию (границу).
На рисунке 124 мы видим, что непосредственно на линии окружности лежат точки F и K. Расстояние от центра O до этих точек равно радиусу окружности ($R$).
Точка A находится вне окружности, а точки M, E, P и O — внутри.
Ответ: F, K.

кругу с центром O
Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг включает в себя и саму окружность (границу), и все точки, находящиеся внутри неё. Расстояние от любой точки круга до его центра не превышает радиус ($d \le R$).
Таким образом, кругу с центром O принадлежат:
1. Точки, лежащие на окружности: F, K.
2. Точки, лежащие внутри окружности: M, E, P и сам центр O.
Следовательно, все указанные точки, кроме точки А, принадлежат кругу.
Ответ: M, O, P, E, F, K.

150. Найдите радиус окружности, если её диаметр равен:

1) 8 см;

2) $k$ см.

150. Найдите радиус окружности, если её диаметр равен:

1) 8 см;

2) $k$ см.

Радиус окружности (обозначается как $r$) равен половине ее диаметра (обозначается как $d$). Эта зависимость выражается формулой: $r = \frac{d}{2}$.

1)

По условию, диаметр окружности $d = 8$ см. Чтобы найти радиус, подставим это значение в формулу:

$r = \frac{8 \text{ см}}{2} = 4 \text{ см}$.

Ответ: 4 см.

2)

В этом случае диаметр окружности $d = k$ см. Аналогично, чтобы найти радиус, подставим значение диаметра в формулу:

$r = \frac{k \text{ см}}{2}$.

Ответ: $\frac{k}{2}$ см.

151. Начертите окружность, радиус которой равен 2 см. Проведите в этой окружности радиус, диаметр и хорду, не являющуюся диаметром.

151. Начертите окружность, радиус которой равен 2 см. Проведите в этой окружности радиус, диаметр и хорду, не являющуюся диаметром.

Для решения задачи выполним последовательность шагов, используя циркуль и линейку.

1. Построение окружности.

Сначала необходимо начертить окружность с заданным радиусом. Для этого:

• Отмечаем на листе точку $O$ — это будет центр нашей окружности.
• С помощью линейки устанавливаем раствор циркуля равным 2 см.
• Ставим иглу циркуля в точку $O$ и проводим замкнутую линию. Полученная фигура — это окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = 2$ см.

2. Проведение радиуса.

Радиус окружности — это отрезок, который соединяет её центр с любой точкой на самой окружности.

• Выбираем на окружности произвольную точку и обозначаем её, например, буквой $A$.
• Соединяем отрезком точки $O$ и $A$.
• Отрезок $OA$ является радиусом данной окружности. Его длина равна 2 см.

3. Проведение диаметра.

Диаметр окружности — это хорда (отрезок, соединяющий две точки окружности), которая проходит через её центр. Длина диаметра $d$ равна удвоенному радиусу: $d = 2r$.

• Проводим через центр $O$ прямую линию так, чтобы она пересекла окружность в двух точках. Обозначим эти точки буквами $B$ и $C$.
• Отрезок $BC$ является диаметром. Его длина составляет $2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

4. Проведение хорды, не являющейся диаметром.

Хорда — это любой отрезок, соединяющий две точки на окружности. Чтобы хорда не была диаметром, она не должна проходить через центр окружности.

• Выбираем на окружности две любые точки, которые не являются концами одного диаметра. Обозначим их буквами $D$ и $E$.
• Соединяем точки $D$ и $E$ отрезком.
• Отрезок $DE$ — это хорда, не являющаяся диаметром.

Итоговый чертёж, на котором выполнены все требуемые построения, представлен ниже.

На рисунке:

• Синий отрезок $OA$ — радиус.
• Красный отрезок $BC$ — диаметр.
• Зелёный отрезок $DE$ — хорда, не являющаяся диаметром.

Ответ: Чертёж, удовлетворяющий всем условиям задачи, представлен выше. На нём изображена окружность с радиусом 2 см, в которой проведены радиус $OA$, диаметр $BC$ и хорда $DE$, не проходящая через центр окружности.