Страница 48 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

152. В окружности проведены радиусы $OM$, $ON$ и $OK$ (рис. 125). Найдите $MN$, если $\angle MON = \angle NOK$ и $NK = 9$ см.

Рис. 125

152. В окружности проведены радиусы $OM$, $ON$ и $OK$ (рис. 125). Найдите $MN$, если $\angle MON = \angle NOK$ и $NK = 9$ см.

Рис. 125

Рассмотрим треугольники $ΔMON$ и $ΔNOK$, образованные радиусами $OM$, $ON$, $OK$ и хордами $MN$, $NK$.

По определению, $OM$, $ON$ и $OK$ являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $O$, поэтому они равны между собой: $OM = ON = OK$.

Сравним треугольники $ΔMON$ и $ΔNOK$. В них:

• сторона $OM$ равна стороне $OK$ (как радиусы одной окружности);
• сторона $ON$ является общей для обоих треугольников;
• угол $∠MON$ равен углу $∠NOK$ (по условию задачи).

Следовательно, треугольник $ΔMON$ равен треугольнику $ΔNOK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

В равных треугольниках соответствующие элементы равны. Сторона $MN$ в треугольнике $ΔMON$ лежит напротив угла $∠MON$. Сторона $NK$ в треугольнике $ΔNOK$ лежит напротив угла $∠NOK$. Поскольку углы $∠MON$ и $∠NOK$ равны, то и противолежащие им стороны $MN$ и $NK$ также равны.

$MN = NK$

По условию задачи длина хорды $NK = 9$ см. Таким образом, длина хорды $MN$ также составляет 9 см.

Ответ: 9 см.

153. На рисунке 126 точка O — центр окружности, $\angle AOC = 42^\circ$. Найдите $\angle ABC$.

Рис. 126

153. На рисунке 126 точка O — центр окружности, $\angle AOC = 42^\circ$. Найдите $\angle ABC$.

Рис. 126

Угол $ \angle AOC $ является центральным углом, так как его вершина совпадает с центром окружности $O$. Этот угол опирается на дугу $AC$. По условию, $ \angle AOC = 42^\circ $.

Угол $ \angle ABC $ является вписанным углом, так как его вершина $B$ лежит на окружности, а его стороны $AB$ и $BC$ являются хордами. Вписанный угол $ \angle ABC $ опирается на ту же дугу $AC$, что и центральный угол $ \angle AOC $.

По теореме о вписанном угле, величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, который опирается на ту же дугу.

Следовательно, мы можем вычислить меру угла $ \angle ABC $ по формуле: $ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \angle AOC $

Подставим известное значение $ \angle AOC $: $ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 42^\circ = 21^\circ $

Ответ: $21^\circ$.

154. В окружности с центром $O$ проведены диаметр $AB$ и хорда $BC$. Найдите $\angle ACO$, если $\angle ABC = 46^\circ$.

154. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорда BC. Найдите $ \angle ACO $, если $ \angle ABC = 46^\circ $.

Рассмотрим треугольник BOC. Так как O является центром окружности, а B и C — точки, лежащие на окружности, отрезки OB и OC являются радиусами. Следовательно, $OB = OC$, и треугольник BOC является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В треугольнике BOC основанием является сторона BC, значит, $\angle OCB = \angle OBC$.

По условию задачи $\angle ABC = 46^\circ$. Угол $\angle OBC$ является тем же углом, что и $\angle ABC$, поэтому $\angle OBC = 46^\circ$.
Следовательно, $\angle OCB = 46^\circ$.

Угол ACB является вписанным углом, который опирается на диаметр AB. По свойству углов, вписанных в окружность, угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Таким образом, $\angle ACB = 90^\circ$.

Угол ACB состоит из двух углов: $\angle ACO$ и $\angle OCB$.
$\angle ACB = \angle ACO + \angle OCB$

Из этого выражения мы можем найти искомый угол $\angle ACO$:

$\angle ACO = \angle ACB - \angle OCB$

Подставим известные значения:

$\angle ACO = 90^\circ - 46^\circ = 44^\circ$

Ответ: $44^\circ$.

155. На рисунке 127 хорда AC пересекает диаметр KP в точке M, $\angle ABM = \angle MEC = 90^\circ$, $\angle CME = 60^\circ$, $AC = 18$ см. Найдите отрезок BE.

Рис. 127

155. На рисунке 127 хорда AC пересекает диаметр KP в точке M, $\angle ABM = \angle MEC = 90^\circ$, $\angle CME = 60^\circ$, $AC = 18 \text{ см}$. Найдите отрезок BE.

Рис. 127

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ΔABM$ и $ΔCEM$ (углы $∠ABM$ и $∠MEC$ прямые по условию).

Углы $∠AMB$ и $∠CME$ являются вертикальными, поэтому они равны. Из условия известно, что $∠CME = 60°$, следовательно, $∠AMB = 60°$.

В прямоугольном треугольнике $ΔCEM$ катет $ME$ прилежит к углу $∠CME$. По определению косинуса:$cos(∠CME) = \frac{ME}{CM}$Отсюда получаем выражение для $ME$:$ME = CM \cdot cos(∠CME) = CM \cdot cos(60°)$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $ΔABM$ катет $BM$ прилежит к углу $∠AMB$. По определению косинуса:$cos(∠AMB) = \frac{BM}{AM}$Отсюда получаем выражение для $BM$:$BM = AM \cdot cos(∠AMB) = AM \cdot cos(60°)$

Длина искомого отрезка $BE$ равна сумме длин отрезков $BM$ и $ME$:$BE = BM + ME$Подставим полученные выражения для $BM$ и $ME$:$BE = AM \cdot cos(60°) + CM \cdot cos(60°)$

Вынесем общий множитель $cos(60°)$ за скобки:$BE = (AM + CM) \cdot cos(60°)$

Так как точка $M$ лежит на отрезке $AC$, то сумма $AM + CM$ равна длине всего отрезка $AC$. По условию $AC = 18$ см.$BE = AC \cdot cos(60°)$

Подставим числовые значения. Мы знаем, что $cos(60°) = \frac{1}{2}$.$BE = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ см.

Ответ: 9 см.

156. Дан отрезок $CD$ длиной 2 см. Найдите ГМТ, равноудаленных от точек $C$ и $D$ и находящихся на расстоянии 3 см от прямой $CD$.

156. Дан отрезок $CD$ длиной 2 см. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $C$ и $D$ и находящихся на расстоянии 3 см от прямой $CD$.

Для нахождения искомого геометрического места точек (ГМТ) необходимо определить множество точек, удовлетворяющих одновременно двум заданным условиям.

Первое условие: точки равноудалены от точек $C$ и $D$. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Таким образом, все искомые точки лежат на прямой, которая перпендикулярна отрезку $CD$ и проходит через его середину. Обозначим эту прямую как $m$.

Второе условие: точки находятся на расстоянии 3 см от прямой $CD$. Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии от прямой, — это две прямые, параллельные данной прямой и расположенные на этом расстоянии от неё по разные стороны. Обозначим эти две прямые как $p_1$ и $p_2$. Каждая из них параллельна прямой $CD$ и находится на расстоянии 3 см от неё.

Искомое ГМТ является пересечением множеств точек, найденных для каждого из условий. То есть, это точки, которые одновременно лежат и на серединном перпендикуляре $m$, и на одной из двух параллельных прямых ($p_1$ или $p_2$).

Поскольку прямая $m$ перпендикулярна прямой $CD$, а прямые $p_1$ и $p_2$ параллельны прямой $CD$, то прямая $m$ перпендикулярна каждой из прямых $p_1$ и $p_2$. Перпендикулярные прямые пересекаются в одной единственной точке. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $p_1$ в одной точке и прямую $p_2$ в другой точке.

Таким образом, существует ровно две точки, удовлетворяющие обоим условиям.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две точки, которые лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$ и удалены от прямой $CD$ на расстояние 3 см.

157. На одной из сторон тупого угла отмечены точки $C$ и $D$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $C$ и $D$ и находящихся на расстоянии $2,5$ см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

157. На одной из сторон тупого угла отмечены точки $C$ и $D$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $C$ и $D$ и находящихся на расстоянии 2,5 см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

Для решения задачи необходимо найти пересечение двух геометрических мест точек (ГМТ).

Первое условие: точки должны быть равноудалены от точек C и D. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Обозначим этот серединный перпендикуляр к отрезку CD как прямую $m$.

Второе условие: точки должны находиться на расстоянии 2,5 см от прямой, содержащей вторую сторону угла. Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии от прямой, — это две параллельные прямые, расположенные по обе стороны от данной прямой на этом расстоянии. Обозначим сторону угла, на которой лежат точки C и D, как луч $a$, а вторую сторону — как луч $b$. Пусть прямая, содержащая луч $b$, будет прямой $l_b$. Тогда искомые точки лежат на одной из двух прямых, $p_1$ или $p_2$, таких что $p_1 \parallel l_b$ и $p_2 \parallel l_b$, и расстояние от каждой из этих прямых до $l_b$ равно 2,5 см.

Искомое ГМТ — это множество точек, удовлетворяющих обоим условиям одновременно, то есть это точки пересечения прямой $m$ с парой прямых $p_1$ и $p_2$.

Проанализируем количество точек пересечения. Прямая $m$ является серединным перпендикуляром к отрезку CD, который лежит на прямой, содержащей сторону $a$. Следовательно, прямая $m$ перпендикулярна прямой, содержащей сторону $a$. Прямые $p_1$ и $p_2$ параллельны прямой, содержащей сторону $b$. Поскольку по условию угол является тупым, его стороны не параллельны и не перпендикулярны. Это означает, что прямая $m$ не параллельна прямым $p_1$ и $p_2$. Любая прямая, не параллельная другой прямой, пересекает ее в одной точке. Следовательно, прямая $m$ пересечет прямую $p_1$ в одной точке и прямую $p_2$ в другой точке.

Таким образом, искомое ГМТ состоит из двух точек.

Ответ: искомое геометрическое место точек — это две точки, которые являются точками пересечения серединного перпендикуляра к отрезку CD с двумя прямыми, параллельными второй стороне угла и отстоящими от нее на 2,5 см.

158. Найдите ГМТ, расстояние от которых до центра данной окружности в 2 раза больше её радиуса.

158. Найдите ГМТ, расстояние от которых до центра данной окружности в 2 раза больше её радиуса.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ). Обозначим произвольную точку, принадлежащую искомому ГМТ, буквой $M$.

Согласно условию задачи, расстояние от точки $M$ до центра $O$ данной окружности должно быть в 2 раза больше её радиуса $R$. Это можно выразить математическим равенством, где $|OM|$ — это расстояние между точками $O$ и $M$:
$|OM| = 2R$

По определению, геометрическое место точек на плоскости, находящихся на одинаковом (постоянном) расстоянии от заданной точки, является окружностью. В данном случае, все искомые точки $M$ находятся на фиксированном расстоянии, равном $2R$, от фиксированной точки $O$.

Следовательно, искомое ГМТ — это окружность, у которой центр совпадает с центром данной окружности (точка $O$), а радиус равен удвоенному радиусу данной окружности, то есть $2R$. Такие окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.

Ответ: окружность, концентрическая данной, радиус которой в 2 раза больше радиуса данной окружности.

159. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Найдите ГМТ, находящихся на расстоянии 2 см от прямой $a$ и 3 см от прямой $b$.

159. Прямые $a$ и $b$ пересекаются. Найдите ГМТ, находящихся на расстоянии 2 см от прямой $a$ и 3 см от прямой $b$.

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть геометрическое место точек (ГМТ), удовлетворяющее каждому из условий по отдельности, а затем найти их пересечение.

1. Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии 2 см от прямой $a$, представляет собой две прямые, назовем их $a_1$ и $a_2$, которые параллельны прямой $a$ и расположены по обе стороны от нее на расстоянии 2 см.

2. Аналогично, геометрическое место точек, находящихся на расстоянии 3 см от прямой $b$, представляет собой две прямые, $b_1$ и $b_2$, которые параллельны прямой $b$ и расположены по обе стороны от нее на расстоянии 3 см.

Искомое ГМТ — это точки, которые принадлежат обоим множествам одновременно. То есть, это точки пересечения прямых из первого множества ($\{a_1, a_2\}$) с прямыми из второго множества ($\{b_1, b_2\}$).

Поскольку исходные прямые $a$ и $b$ пересекаются, любая прямая, параллельная $a$, будет пересекать любую прямую, параллельную $b$. Таким образом, мы получим следующие точки пересечения:

• точка пересечения прямых $a_1$ и $b_1$;
• точка пересечения прямых $a_1$ и $b_2$;
• точка пересечения прямых $a_2$ и $b_1$;
• точка пересечения прямых $a_2$ и $b_2$.

Всего получается четыре точки. Каждая из этих точек находится на расстоянии 2 см от прямой $a$ и 3 см от прямой $b$. Эти четыре точки являются вершинами параллелограмма, центр которого находится в точке пересечения прямых $a$ и $b$.

Ответ: искомое геометрическое место точек состоит из четырех точек.

160. Даны точки $M$ и $N$. Найдите ГМТ вершин $K$ треугольников $MNK$ таких, что медиана $KA$ равна 3 см.

160. Даны точки $M$ и $N$. Найдите ГМТ вершин $K$ треугольников $MNK$ таких, что медиана $KA$ равна 3 см.

Пусть даны две фиксированные точки $M$ и $N$. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ) для вершины $K$ треугольника $MNK$.

По условию, $KA$ — это медиана треугольника $MNK$, и ее длина составляет 3 см.

По определению, медиана треугольника, проведенная из некоторой вершины, соединяет эту вершину с серединой противолежащей стороны. В данном случае медиана $KA$ проведена из вершины $K$ к стороне $MN$. Это означает, что точка $A$ является серединой отрезка $MN$.

Так как точки $M$ и $N$ являются фиксированными, то и их середина, точка $A$, также имеет постоянное положение, то есть является фиксированной точкой.

Условие задачи $KA = 3$ см означает, что расстояние от искомой точки $K$ до фиксированной точки $A$ всегда постоянно и равно 3 см.

Геометрическое место точек на плоскости, находящихся на заданном постоянном расстоянии от некоторой фиксированной точки, является окружностью. Центром этой окружности служит фиксированная точка, а радиусом — заданное расстояние.

Следовательно, искомое ГМТ вершин $K$ представляет собой окружность с центром в точке $A$ (середине отрезка $MN$) и радиусом $R = 3$ см.

Ответ: Окружность с центром в середине отрезка $MN$ и радиусом 3 см.

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 3 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 5 см.

161. Даны две параллельные прямые, расстояние между которыми равно 3 см. Найдите ГМТ, сумма расстояний от которых до этих прямых равна 5 см.

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, расстояние между которыми $h = 3$ см. Мы ищем геометрическое место точек (ГМТ), для каждой из которых сумма расстояний до этих прямых равна 5 см. Обозначим произвольную точку искомого ГМТ как $M$, расстояние от $M$ до $l_1$ как $d_1$, и расстояние от $M$ до $l_2$ как $d_2$. По условию задачи, $d_1 + d_2 = 5$ см.

Рассмотрим все возможные положения точки $M$ на плоскости.

1. Точка $M$ находится в полосе между прямыми $l_1$ и $l_2$. В этом случае, для любой такой точки сумма расстояний до ограничивающих полосу прямых постоянна и равна ширине полосы, то есть расстоянию между прямыми: $d_1 + d_2 = h = 3$ см. Так как по условию сумма должна быть равна 5 см, а $3 \neq 5$, то в области между прямыми искомых точек нет.

2. Точка $M$ находится вне полосы, образованной прямыми $l_1$ и $l_2$. Это означает, что точка $M$ и одна из прямых (например, $l_2$) лежат по одну сторону от другой прямой ($l_1$).Пусть $M$ лежит со стороны от прямой $l_1$, противоположной той, где лежит $l_2$. Тогда расстояние от $M$ до дальней прямой $l_2$ равно сумме расстояния до ближней прямой $l_1$ и расстояния между прямыми: $d_2 = d_1 + h = d_1 + 3$.Подставим это выражение в условие задачи:$d_1 + (d_1 + 3) = 5$$2d_1 + 3 = 5$$2d_1 = 2$$d_1 = 1$ см.Это означает, что точка $M$ должна находиться на расстоянии 1 см от прямой $l_1$ (с внешней стороны полосы). Множество всех таких точек образует прямую, параллельную $l_1$.Аналогично, если точка $M$ лежит со стороны от прямой $l_2$, противоположной той, где лежит $l_1$, то $d_1 = d_2 + h = d_2 + 3$.Подставляя в условие:$(d_2 + 3) + d_2 = 5$$2d_2 + 3 = 5$$2d_2 = 2$$d_2 = 1$ см.Это означает, что точка $M$ должна находиться на расстоянии 1 см от прямой $l_2$ (с внешней стороны полосы). Множество всех таких точек также образует прямую, параллельную $l_2$.

Таким образом, искомое ГМТ состоит из двух прямых, которые параллельны данным и расположены по разные стороны от полосы, образованной данными прямыми, на расстоянии 1 см от ближайшей из них.

Ответ: Искомое ГМТ — это две прямые, параллельные данным, расположенные вне полосы между ними на расстоянии 1 см от каждой из данных прямых.