Страница 53 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Точка $P$ принадлежит отрезку $SM$, длина которого равна 20 см. Найдите длины отрезков $SP$ и $PM$, если:

1) длина отрезка $SP$ на 12 см меньше длины отрезка $PM$;

2) длина отрезка $PM$ в 4 раза больше длины отрезка $SP$;

3) $SP : PM = 2 : 3$.

8. Точка P принадлежит отрезку $SM$, длина которого равна 20 см. Найдите длины отрезков $SP$ и $PM$, если:

1) длина отрезка $SP$ на 12 см меньше длины отрезка $PM$;

2) длина отрезка $PM$ в 4 раза больше длины отрезка $SP$;

3) $SP : PM = 2 : 3$.

Поскольку точка P принадлежит отрезку SM, то сумма длин отрезков SP и PM равна длине отрезка SM. Это можно записать в виде формулы: $SM = SP + PM$. По условию задачи, длина отрезка SM равна 20 см, следовательно, для всех последующих пунктов будет верным равенство: $SP + PM = 20$.

1) длина отрезка SP на 12 см меньше длины отрезка PM;

Обозначим длину отрезка PM как $x$ см. Исходя из условия, длина отрезка SP будет равна $(x - 12)$ см. Составим уравнение, используя основное равенство:
$SP + PM = 20$
$(x - 12) + x = 20$
Решим полученное уравнение:
$2x - 12 = 20$
$2x = 20 + 12$
$2x = 32$
$x = 16$
Таким образом, длина отрезка $PM = 16$ см.
Теперь найдем длину отрезка SP:
$SP = x - 12 = 16 - 12 = 4$ см.
Ответ: $SP = 4$ см, $PM = 16$ см.

2) длина отрезка PM в 4 раза больше длины отрезка SP;

Обозначим длину отрезка SP как $y$ см. Тогда, по условию, длина отрезка PM будет равна $4y$ см. Составим и решим уравнение:
$SP + PM = 20$
$y + 4y = 20$
$5y = 20$
$y = 4$
Следовательно, длина отрезка $SP = 4$ см.
Найдем длину отрезка PM:
$PM = 4y = 4 \cdot 4 = 16$ см.
Ответ: $SP = 4$ см, $PM = 16$ см.

3) SP : PM = 2 : 3.

Данное соотношение означает, что отрезок SP составляет 2 части, а отрезок PM — 3 такие же части от общей длины. Весь отрезок SM состоит из $2 + 3 = 5$ равных частей. Обозначим длину одной части как $z$ см. Тогда $SP = 2z$ см, а $PM = 3z$ см. Составим и решим уравнение:
$SP + PM = 20$
$2z + 3z = 20$
$5z = 20$
$z = 4$
Таким образом, длина одной части равна 4 см.
Найдем длины искомых отрезков:
$SP = 2z = 2 \cdot 4 = 8$ см.
$PM = 3z = 3 \cdot 4 = 12$ см.
Ответ: $SP = 8$ см, $PM = 12$ см.