Страница 58 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 22 раза больше суммы смежных с ним углов. Найдите этот угол.

43. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 22 раза больше суммы смежных с ним углов. Найдите этот угол.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Пусть искомый угол равен $\alpha$. Углы, смежные с ним, являются вертикальными, а значит, равны друг другу. Обозначим каждый из этих смежных углов как $\beta$.

Сумма смежных с углом $\alpha$ углов будет равна $\beta + \beta = 2\beta$.

Согласно условию задачи, искомый угол $\alpha$ в 22 раза больше суммы смежных с ним углов. Мы можем записать это в виде уравнения:
$\alpha = 22 \cdot (\beta + \beta)$
$\alpha = 22 \cdot 2\beta$
$\alpha = 44\beta$

Также известно, что сумма смежных углов составляет 180°. Следовательно, для углов $\alpha$ и $\beta$ выполняется соотношение:
$\alpha + \beta = 180°$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $\alpha = 44\beta$
2) $\alpha + \beta = 180°$

Подставим выражение для $\alpha$ из первого уравнения во второе:
$44\beta + \beta = 180°$
$45\beta = 180°$
$\beta = \frac{180°}{45}$
$\beta = 4°$

Теперь, зная величину угла $\beta$, найдем искомый угол $\alpha$ из первого уравнения:
$\alpha = 44 \cdot 4°$
$\alpha = 176°$

Проверка: сумма смежных углов равна $4° + 4° = 8°$. Искомый угол равен $176°$. Отношение $176° / 8° = 22$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 176°

44. Три прямые пересекаются в одной точке (рис. 151). Найдите угол 2, если $\angle 1 + \angle 3 = 126^\circ$.

Рис. 151

44. Три прямые пересекаются в одной точке (рис. 151). Найдите угол 2, если $\angle 1 + \angle 3 = 126^{\circ}$.

Рис. 151

На рисунке 151 мы видим, что углы $∠1$, $∠2$ и $∠3$ вместе образуют развернутый угол, так как они лежат на одной прямой. Величина развернутого угла составляет $180°$.

Таким образом, мы можем записать равенство:
$∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°$

Из условия задачи нам известна сумма углов $∠1$ и $∠3$:
$∠1 + ∠3 = 126°$

Теперь подставим известное значение суммы в первое уравнение. Для удобства сгруппируем слагаемые:
$(∠1 + ∠3) + ∠2 = 180°$

Выполним подстановку:
$126° + ∠2 = 180°$

Чтобы найти величину угла $∠2$, необходимо вычесть $126°$ из $180°$:
$∠2 = 180° - 126°$
$∠2 = 54°$

Ответ: $54°$.

45. На рисунке 152 $\angle CDE = \angle CED$. Докажите, что $\angle ADE = \angle DEF$.

Рис. 152

45. На рисунке 152 $ \angle CDE = \angle CED $. Докажите, что $ \angle ADE = \angle DEF $.

Рис. 152

Углы $\angle ADE$ и $\angle CDE$ являются смежными, поскольку точки A, D и C лежат на одной прямой, образуя развернутый угол $\angle ADC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, можно записать: $\angle ADE + \angle CDE = 180^\circ$. Из этого уравнения выразим $\angle ADE$: $\angle ADE = 180^\circ - \angle CDE$.

Аналогично, углы $\angle DEF$ и $\angle CED$ являются смежными, так как точки F, E и C лежат на одной прямой, образуя развернутый угол $\angle FEC$. Следовательно, их сумма также равна $180^\circ$: $\angle DEF + \angle CED = 180^\circ$. Выразим $\angle DEF$: $\angle DEF = 180^\circ - \angle CED$.

По условию задачи нам дано, что $\angle CDE = \angle CED$.

Сравним выражения для углов $\angle ADE$ и $\angle DEF$. Поскольку $\angle CDE = \angle CED$, то и вычитаемые в правых частях наших равенств равны. Следовательно, равны и сами выражения: $180^\circ - \angle CDE = 180^\circ - \angle CED$. Отсюда следует, что $\angle ADE = \angle DEF$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle ADE = \angle DEF$ доказано.

46. Угол между биссектрисой угла $POK$ и лучом, дополнительным к стороне $OK$, равен $116^\circ$. Найдите угол $POK$.

46. Угол между биссектрисой угла $ROK$ и лучом, дополнительным к стороне $OK$, равен $116^\circ$. Найдите угол $ROK$.

Пусть $OM$ — биссектриса угла $ \angle POK $, а $OL$ — луч, дополнительный к стороне $OK$.

Лучи $OK$ и $OL$ лежат на одной прямой, образуя развернутый угол $180^\circ$. Углы $ \angle LOM $ и $ \angle MOK $ являются смежными, так как у них общая сторона $OM$, а стороны $OL$ и $OK$ являются дополнительными лучами.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Следовательно:

$ \angle LOM + \angle MOK = 180^\circ $

По условию задачи, угол между биссектрисой $OM$ и лучом $OL$ равен $116^\circ$, то есть $ \angle LOM = 116^\circ $. Подставим это значение в равенство:

$ 116^\circ + \angle MOK = 180^\circ $

Выразим и найдем величину угла $ \angle MOK $:

$ \angle MOK = 180^\circ - 116^\circ $

$ \angle MOK = 64^\circ $

Так как $OM$ является биссектрисой угла $ \angle POK $, она делит этот угол на два равных угла. Это означает, что угол $ \angle POK $ в два раза больше своей половины, угла $ \angle MOK $.

$ \angle POK = 2 \cdot \angle MOK $

Подставим найденное значение $ \angle MOK $:

$ \angle POK = 2 \cdot 64^\circ $

$ \angle POK = 128^\circ $

Ответ: $128^\circ$

47. Какой угол образует биссектриса угла, равного $106^\circ$, с лучом, дополнительным к одной из его сторон?

47. Какой угол образует биссектриса угла, равного $106^\circ$, с лучом, дополнительным к одной из его сторон?

Пусть дан угол, назовем его $\angle AOB$, который по условию равен $106°$. Проведем биссектрису $OC$ этого угла. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла:

$\angle AOC = \angle COB = \frac{106°}{2} = 53°$.

Рассмотрим луч, дополнительный к одной из сторон угла, например, к стороне $OA$. Назовем этот дополнительный луч $OD$. Лучи $OA$ и $OD$ лежат на одной прямой и образуют развернутый угол, равный $180°$.

Требуется найти угол между биссектрисой $OC$ и дополнительным лучом $OD$, то есть $\angle COD$. Угол $\angle COD$ и угол $\angle AOC$ являются смежными, так как их стороны $OA$ и $OD$ являются дополнительными лучами, а сторона $OC$ — общая. Сумма смежных углов равна $180°$.

Следовательно, искомый угол можно найти следующим образом:

$\angle COD = 180° - \angle AOC$

Подставим значение угла $\angle AOC$:

$\angle COD = 180° - 53° = 127°$.

Заметим, что если бы мы выбрали луч, дополнительный к стороне $OB$, результат был бы таким же, так как $\angle COB$ также равен $53°$.

Ответ: $127°$.

48. На рисунке 153 прямые $MD, PE$ и $KF$ пересекаются в точке $O$. Луч $OP$ — биссектриса угла $MOF$. Найдите угол $EOF$, если $\angle MOP = 58^\circ$.

Рис. 153

48. На рисунке 153 прямые $MD$, $PE$ и $KF$ пересекаются в точке $O$. Луч $OP$ — биссектриса угла $MOF$. Найдите угол $EOF$, если $\angle MOP = 58^\circ$.

Рис. 153

Поскольку луч OP является биссектрисой угла MOF, он делит этот угол на два равных угла: $∠MOP$ и $∠POF$.

Из условия известно, что $∠MOP = 58°$. Следовательно, $∠POF$ также равен $58°$.

Найдем величину угла MOF, который состоит из двух этих углов:
$∠MOF = ∠MOP + ∠POF = 58° + 58° = 116°$.

Углы MOK и MOF являются смежными, так как их стороны OK и OF образуют прямую KF. Сумма смежных углов равна $180°$.
$∠MOK + ∠MOF = 180°$.

Выразим отсюда угол MOK:
$∠MOK = 180° - ∠MOF = 180° - 116° = 64°$.

Углы EOF и MOK являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых MD и KF. Вертикальные углы равны.
$∠EOF = ∠MOK$.

Таким образом, $∠EOF = 64°$.

Ответ: $64°$.

49. Проведите прямую $l$ и отметьте точку $N$, не принадлежащую ей. С помощью угольника проведите через точку $N$ прямую, перпендикулярную прямой $l$.

49. Проведите прямую $l$ и отметьте точку $N$, не принадлежащую ей. С помощью угольника проведите через точку $N$ прямую, перпендикулярную прямой $l$.

Для того чтобы провести прямую через точку $N$, перпендикулярную прямой $l$, с помощью угольника, необходимо выполнить следующие шаги:

1. С помощью линейки начертите произвольную прямую и обозначьте её $l$.

2. Отметьте точку $N$, которая не лежит на прямой $l$.

3. Возьмите чертёжный угольник. У него есть прямой угол ($90^\circ$), образованный двумя сторонами (катетами).

4. Приложите угольник к прямой $l$ так, чтобы один из его катетов лежал точно на прямой $l$.

5. Теперь, не отрывая этот катет от прямой $l$, передвигайте угольник вдоль прямой до тех пор, пока второй катет не коснётся точки $N$.

6. Когда второй катет пройдёт через точку $N$, крепко зафиксируйте угольник и проведите вдоль этого катета прямую линию.

Полученная прямая пройдёт через точку $N$ и будет перпендикулярна прямой $l$, так как угол между построенной прямой и прямой $l$ равен углу угольника, то есть $90^\circ$.

Ответ: Прямая, построенная согласно вышеописанным шагам, проходит через точку $N$ и перпендикулярна прямой $l$.

50. Прямые $m$ и $n$ перпендикулярны (рис. 154). Укажите пары перпендикулярных отрезков, изображённых на рисунке.

Рис. 154

50. Прямые $m$ и $n$ перпендикулярны (рис. 154). Укажите пары перпендикулярных отрезков, изображённых на рисунке.

Рис. 154

По условию задачи, прямые $m$ и $n$ перпендикулярны, что записывается как $m \perp n$. Это означает, что угол между этими прямыми в точке их пересечения $K$ равен $90^\circ$.

Два отрезка называются перпендикулярными, если они лежат на перпендикулярных прямых.

На рисунке на прямой $m$ изображен отрезок $CK$. На прямой $n$ изображены отрезки, которые можно составить из точек $D$, $E$, $K$: это отрезки $DE$, $EK$ и $DK$.

Поскольку отрезок $CK$ лежит на прямой $m$, а отрезки $DE$, $EK$ и $DK$ лежат на прямой $n$, то каждая пара, состоящая из отрезка $CK$ и одного из отрезков на прямой $n$, будет являться парой перпендикулярных отрезков.

Таким образом, перпендикулярными являются следующие пары отрезков: $CK$ и $DE$; $CK$ и $EK$; $CK$ и $DK$.

Ответ: $CK \perp DE$, $CK \perp EK$, $CK \perp DK$.