Страница 59 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. На рисунке 155 $AB \perp KS$,

$MS \perp CS$. Докажите, что $\angle ASM = \angle KSC$.

Рис. 155

51. На рисунке 155 $AB \perp KS$, $MS \perp CS$. Докажите, что $\angle ASM = \angle KSC$.

Рис. 155

По условию задачи известно, что прямая $AB$ перпендикулярна лучу $KS$ ($AB \perp KS$). Это означает, что угол $\angle ASK$ является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

Угол $\angle ASK$ на рисунке состоит из двух смежных углов: $\angle ASM$ и $\angle MSK$. Сумма этих углов равна углу $\angle ASK$:
$\angle ASM + \angle MSK = \angle ASK = 90^\circ$.
Из этого соотношения мы можем выразить величину угла $\angle ASM$:
$\angle ASM = 90^\circ - \angle MSK$.

Также по условию задачи известно, что луч $MS$ перпендикулярен лучу $CS$ ($MS \perp CS$). Это означает, что угол $\angle MSC$ также является прямым, и его величина составляет $90^\circ$.

Угол $\angle MSC$ на рисунке состоит из двух смежных углов: $\angle MSK$ и $\angle KSC$. Сумма этих углов равна углу $\angle MSC$:
$\angle MSK + \angle KSC = \angle MSC = 90^\circ$.
Из этого соотношения мы можем выразить величину угла $\angle KSC$:
$\angle KSC = 90^\circ - \angle MSK$.

Теперь сравним полученные выражения для углов $\angle ASM$ и $\angle KSC$:
$\angle ASM = 90^\circ - \angle MSK$
$\angle KSC = 90^\circ - \angle MSK$
Так как правые части обоих равенств одинаковы, то равны и их левые части. Следовательно, $\angle ASM = \angle KSC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Углы $\angle ASM$ и $\angle KSC$ равны, так как каждый из них дополняет угол $\angle MSK$ до $90^\circ$.

52. Углы $AOB$ и $AOC$ равны, а точки $B$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой. Докажите, что углы $AOB$ и $AOC$ прямые.

52. Углы $AOB$ и $AOC$ равны, а точки $B$, $O$ и $C$ лежат на одной прямой. Докажите, что углы $AOB$ и $AOC$ прямые.

Поскольку точки B, O и C лежат на одной прямой, угол $\angle BOC$ является развернутым. Величина развернутого угла равна $180^\circ$.

Углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$ являются смежными, так как у них общая вершина O, общая сторона OA, а две другие стороны OB и OC являются дополнительными полупрямыми.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать:

$\angle AOB + \angle AOC = 180^\circ$

Согласно условию задачи, углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$ равны:

$\angle AOB = \angle AOC$

Заменим в уравнении суммы углов $\angle AOC$ на равный ему $\angle AOB$:

$\angle AOB + \angle AOB = 180^\circ$

$2 \cdot \angle AOB = 180^\circ$

Теперь найдем величину угла $\angle AOB$:

$\angle AOB = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Поскольку $\angle AOB = \angle AOC$, то и $\angle AOC = 90^\circ$.

Углы, равные $90^\circ$, называются прямыми. Следовательно, углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$ — прямые. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как точки B, O, C лежат на одной прямой, то смежные углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$ в сумме дают развернутый угол $180^\circ$. По условию эти углы равны, следовательно, каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$, то есть они являются прямыми.

53. Как, используя линейку и шаблон угла $6^\circ$, построить перпендикулярные прямые?

53. Как, используя линейку и шаблон угла $6^\circ$, построить перпендикулярные прямые?

Для построения перпендикулярных прямых необходимо построить прямой угол, то есть угол, равный $90^\circ$. В нашем распоряжении есть линейка для проведения прямых линий и шаблон для построения угла в $6^\circ$.

Основная идея заключается в том, чтобы получить угол $90^\circ$ путем многократного откладывания угла в $6^\circ$. Для этого необходимо найти, сколько раз угол $6^\circ$ содержится в угле $90^\circ$.

Выполним деление: $90^\circ / 6^\circ = 15$.

Это означает, что если 15 раз последовательно отложить угол в $6^\circ$, начиная от одного и того же луча и в одном и том же направлении, то итоговый угол будет равен $15 \times 6^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, алгоритм построения перпендикулярных прямых следующий:

1. С помощью линейки проводим произвольную прямую, назовем ее a.
2. На прямой a отмечаем произвольную точку O.
3. Прикладываем шаблон угла $6^\circ$ так, чтобы его вершина совпала с точкой O, а одна из сторон легла на прямую a (на один из лучей, выходящих из точки O).
4. Проводим второй луч угла. Таким образом, мы построили угол в $6^\circ$.
5. Далее прикладываем шаблон так, чтобы его вершина снова оказалась в точке O, а одна из его сторон совпала с только что построенным лучом.
6. Проводим следующий луч. Теперь у нас есть угол в $6^\circ + 6^\circ = 12^\circ$ относительно исходной прямой a.
7. Повторяем эту операцию последовательно, пока не отложим угол $6^\circ$ в общей сложности 15 раз.
8. После 15-го шага мы получим угол, равный $15 \times 6^\circ = 90^\circ$. Прямая, на которой лежит последняя построенная сторона этого угла, будет перпендикулярна исходной прямой a.

Ответ: Необходимо начертить прямую, выбрать на ней точку и от исходящего из неё луча 15 раз подряд в одну и ту же сторону отложить угол в $6^\circ$ с помощью шаблона. Последний построенный луч образует с исходной прямой угол $90^\circ$, то есть будет лежать на прямой, перпендикулярной исходной.

54. Начертите произвольный треугольник. Обозначьте его вершины буквами $D$, $E$, $F$. Укажите:

1) сторону, противолежащую к углу $E$;

2) углы, прилежащие к стороне $DF$.

3) проведите высоту и биссектрису треугольника $DEF$, выходящие соответственно из вершин $D$ и $F$.

54. Начертите произвольный треугольник. Обозначьте его вершины буквами $D$, $E$, $F$. Укажите:

1) сторону, противолежащую к углу $E$;

2) углы, прилежащие к стороне $DF$.

3) проведите высоту и биссектрису треугольника $DEF$, выходящие соответственно из вершин $D$ и $F$.

Сначала начертим произвольный треугольник и обозначим его вершины буквами D, E, F.

1) сторону, противолежащую к углу E;

В треугольнике $DEF$ угол $E$ образован сторонами $DE$ и $EF$. Сторона, которая не является частью этого угла и лежит напротив него, соединяет две другие вершины — $D$ и $F$. Это сторона $DF$.
Ответ: $DF$.

2) углы, прилежащие к стороне DF.

Углы, прилежащие к стороне, — это углы, которые находятся у концов этой стороны. Сторона $DF$ соединяет вершины $D$ и $F$. Следовательно, прилежащие к ней углы — это угол при вершине $D$ (обозначается $\angle D$ или $\angle FDE$) и угол при вершине $F$ (обозначается $\angle F$ или $\angle DFE$).
Ответ: $\angle D$ и $\angle F$.

3) проведите высоту и биссектрису треугольника DEF, выходящие соответственно из вершин D и F.

Высота треугольника, выходящая из вершины $D$, — это перпендикуляр, опущенный из этой вершины на прямую, содержащую противолежащую сторону $EF$. Обозначим основание этой высоты буквой $H$. Таким образом, отрезок $DH$ является высотой, и по определению $DH \perp EF$.
Биссектриса треугольника, выходящая из вершины $F$, — это отрезок, который соединяет вершину $F$ с точкой на противолежащей стороне $DE$ и делит угол $\angle DFE$ пополам. Обозначим точку пересечения биссектрисы со стороной $DE$ буквой $L$. Таким образом, отрезок $FL$ является биссектрисой, и по определению $\angle DFL = \angle LFE$.

Изобразим эти построения на чертеже:

Ответ: На рисунке выше показан треугольник $DEF$ с проведенной высотой $DH$ из вершины $D$ и биссектрисой $FL$ из вершины $F$.

55. Укажите все треугольники, изображённые на рисунке 156, одной из вершин которых является точка A.

Рис. 156

$\triangle ABD$
$\triangle ACD$
$\triangle ADE$

55. Укажите все треугольники, изображённые на рисунке 156, одной из вершин которых является точка $A$.

Рис. 156

Чтобы найти все треугольники с вершиной в точке A, необходимо составить все возможные комбинации из трёх точек, где одна из них — A, а две другие выбираются из множества {B, C, D, E}. Важным условием для существования треугольника является то, что его три вершины не должны лежать на одной прямой (быть коллинеарными).

Проверим все возможные комбинации:

• Вершины A, B, C: Точки A и B лежат на прямой BE, а точка C не принадлежит этой прямой. Следовательно, точки A, B, C не коллинеарны и образуют треугольник $\triangle ABC$.
• Вершины A, B, D: Точки A и B лежат на прямой BE, а точка D не принадлежит этой прямой. Следовательно, точки A, B, D не коллинеарны и образуют треугольник $\triangle ABD$.
• Вершины A, C, D: Точки C и D лежат на прямой BD, а точка A не принадлежит этой прямой. Следовательно, точки A, C, D не коллинеарны и образуют треугольник $\triangle ACD$.
• Вершины A, C, E: Точки A и E лежат на прямой BE, а точка C не принадлежит этой прямой. Следовательно, точки A, C, E не коллинеарны и образуют треугольник $\triangle ACE$.
• Вершины A, D, E: Точки A и E лежат на прямой BE, а точка D не принадлежит этой прямой. Следовательно, точки A, D, E не коллинеарны и образуют треугольник $\triangle ADE$.
• Вершины A, B, E: Все три точки лежат на одной прямой BE. Следовательно, они не образуют треугольник.

Таким образом, существует 5 треугольников, у которых точка A является одной из вершин.

Ответ: $\triangle ABC, \triangle ABD, \triangle ACD, \triangle ACE, \triangle ADE$.

56. Треугольники $OST$ и $MNP$ равны. Найдите отрезок $MP$ и угол $T$, если $OT = MN$, $\angle O = \angle N$, $ST = 7$ дм, $\angle M = 15^\circ$.

56. Треугольники $OST$ и $MNP$ равны. Найдите отрезок $MP$ и угол $T$, если $OT = MN$, $\angle O = \angle N$, $ST = 7$ дм, $\angle M = 15^\circ$.

По условию задачи треугольники $OST$ и $MNP$ равны. Равенство треугольников означает, что их соответствующие стороны и углы равны. Для решения задачи необходимо сначала установить правильное соответствие между вершинами данных треугольников, используя предоставленные в условии равенства.

Нам известно, что:

• $OT = MN$
• $\angle O = \angle N$

Из равенства углов $\angle O = \angle N$ следует, что вершина $O$ треугольника $OST$ соответствует вершине $N$ треугольника $MNP$.

Рассмотрим равенство сторон $OT = MN$. Так как вершина $O$ соответствует вершине $N$, то для сохранения равенства сторон вершина $T$ должна соответствовать вершине $M$.

Таким образом, для оставшихся вершин также устанавливается соответствие: вершина $S$ треугольника $OST$ соответствует вершине $P$ треугольника $MNP$.

Итак, мы получили полное соответствие вершин двух треугольников:

• $O \leftrightarrow N$
• $S \leftrightarrow P$
• $T \leftrightarrow M$

Это означает, что равенство треугольников можно записать как $\triangle OST \cong \triangle NPM$. Теперь, зная соответствие, мы можем найти искомые величины.

Нахождение отрезка MP

Отрезок $MP$ в треугольнике $MNP$ является стороной, соединяющей вершины $M$ и $P$. Согласно установленному соответствию, вершине $M$ соответствует вершина $T$, а вершине $P$ — вершина $S$. Следовательно, сторона $MP$ соответствует стороне $TS$ (или $ST$) в треугольнике $OST$.

Поскольку треугольники равны, их соответствующие стороны также равны:

$MP = ST$

Из условия задачи известно, что $ST = 7$ дм.

Таким образом, $MP = 7$ дм.

Ответ: $MP = 7$ дм.

Нахождение угла T

Угол $T$ — это угол при вершине $T$ в треугольнике $OST$. Согласно установленному соответствию, вершине $T$ соответствует вершина $M$ в треугольнике $MNP$. Следовательно, угол $T$ соответствует углу $M$.

Поскольку треугольники равны, их соответствующие углы также равны:

$\angle T = \angle M$

Из условия задачи известно, что $\angle M = 15^\circ$.

Таким образом, $\angle T = 15^\circ$.

Ответ: $\angle T = 15^\circ$.

57. Одна из сторон треугольника равна 32 см, вторая сторона в 2 раза меньше первой, а третья сторона на 19 см больше второй. Найдите периметр треугольника.

57. Одна из сторон треугольника равна 32 см, вторая сторона в 2 раза меньше первой, а третья сторона на 19 см больше второй. Найдите периметр треугольника.

Для того чтобы найти периметр треугольника, нужно сначала вычислить длины всех его сторон, а затем сложить их.

1. Вычисление длины второй стороны

По условию, первая сторона равна $32 \text{ см}$. Вторая сторона в 2 раза меньше первой, следовательно, ее длина вычисляется делением:

$32 \text{ см} \div 2 = 16 \text{ см}$

2. Вычисление длины третьей стороны

Третья сторона на $19 \text{ см}$ больше второй. Мы уже знаем, что вторая сторона равна $16 \text{ см}$. Чтобы найти длину третьей стороны, выполним сложение:

$16 \text{ см} + 19 \text{ см} = 35 \text{ см}$

3. Вычисление периметра треугольника

Периметр треугольника ($P$) – это сумма длин всех его сторон. Теперь у нас есть длины всех трех сторон:

• Первая сторона: $32 \text{ см}$
• Вторая сторона: $16 \text{ см}$
• Третья сторона: $35 \text{ см}$

Сложим эти значения:

$P = 32 \text{ см} + 16 \text{ см} + 35 \text{ см} = 83 \text{ см}$

Ответ: $83 \text{ см}$.

58. Одна из сторон треугольника на 39 см меньше второй и в 3 раза меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 189 см.

58. Одна из сторон треугольника на 39 см меньше второй и в 3 раза меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 189 см.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ см — длина первой стороны треугольника.

Из условия известно, что первая сторона на 39 см меньше второй. Это значит, что вторая сторона на 39 см больше первой. Тогда длина второй стороны равна $(x + 39)$ см.

Также известно, что первая сторона в 3 раза меньше третьей. Это означает, что третья сторона в 3 раза больше первой. Следовательно, длина третьей стороны равна $3x$ см.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию, периметр равен 189 см. Можем составить уравнение:

$x + (x + 39) + 3x = 189$

Теперь решим это уравнение. Сначала сложим все слагаемые, содержащие $x$:

$5x + 39 = 189$

Перенесем 39 в правую часть уравнения, поменяв знак на противоположный:

$5x = 189 - 39$

$5x = 150$

Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$x = 150 / 5$

$x = 30$

Итак, мы нашли длину первой стороны — она равна 30 см.

Теперь найдем длины двух других сторон:

Длина второй стороны: $x + 39 = 30 + 39 = 69$ см.

Длина третьей стороны: $3x = 3 \cdot 30 = 90$ см.

Проверим, что сумма найденных сторон равна заданному периметру:

$30 + 69 + 90 = 99 + 90 = 189$ см.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: стороны треугольника равны 30 см, 69 см и 90 см.

59. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $BD$ и $CE$. Периметры треугольников $ACE$ и $BCE$ равны, а периметр треугольника $BCD$ меньше периметра треугольника $ABD$ на 4 см. Найдите стороны треугольника $ABC$, если его периметр равен 34 см.

59. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $BD$ и $CE$. Периметры треугольников $ACE$ и $BCE$ равны, а периметр треугольника $BCD$ меньше периметра треугольника $ABD$ на 4 см. Найдите стороны треугольника $ABC$, если его периметр равен 34 см.

Обозначим стороны треугольника $ABC$ как $AB = c$, $BC = a$ и $AC = b$.

По условию, в треугольнике проведены медианы $BD$ и $CE$.

• Медиана $CE$ проведена к стороне $AB$, следовательно, она делит эту сторону пополам: $AE = EB = \frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$.
• Медиана $BD$ проведена к стороне $AC$, следовательно, она делит эту сторону пополам: $AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{b}{2}$.

Рассмотрим условия, данные в задаче, и составим на их основе уравнения.

1. Периметры треугольников $ACE$ и $BCE$ равны ($P_{ACE} = P_{BCE}$).

Периметр треугольника $ACE$ складывается из сторон $AC$, $AE$ и $CE$: $P_{ACE} = AC + AE + CE = b + \frac{c}{2} + CE$.

Периметр треугольника $BCE$ складывается из сторон $BC$, $BE$ и $CE$: $P_{BCE} = BC + BE + CE = a + \frac{c}{2} + CE$.

Приравнивая периметры, получаем:

$b + \frac{c}{2} + CE = a + \frac{c}{2} + CE$

Вычитая из обеих частей равенства $(\frac{c}{2} + CE)$, приходим к выводу, что $b = a$. Это означает, что стороны $AC$ и $BC$ равны, и треугольник $ABC$ является равнобедренным.

2. Периметр треугольника $BCD$ меньше периметра треугольника $ABD$ на 4 см ($P_{ABD} - P_{BCD} = 4$).

Периметр треугольника $ABD$ равен: $P_{ABD} = AB + AD + BD = c + \frac{b}{2} + BD$.

Периметр треугольника $BCD$ равен: $P_{BCD} = BC + CD + BD = a + \frac{b}{2} + BD$.

Подставляем эти выражения в разность:

$(c + \frac{b}{2} + BD) - (a + \frac{b}{2} + BD) = 4$

$c + \frac{b}{2} + BD - a - \frac{b}{2} - BD = 4$

После упрощения получаем $c - a = 4$.

3. Периметр треугольника $ABC$ равен 34 см.

$P_{ABC} = AB + BC + AC = c + a + b = 34$.

Теперь у нас есть система из трех уравнений для нахождения сторон $a, b, c$:

$\begin{cases} b = a \\ c - a = 4 \\ a + b + c = 34\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $c$ через $a$: $c = a + 4$.

Подставим выражения для $b$ и $c$ в третье уравнение:

$a + a + (a + 4) = 34$

$3a + 4 = 34$

$3a = 34 - 4$

$3a = 30$

$a = 10$ см.

Теперь, зная $a$, находим длины двух других сторон:

$b = a = 10$ см.

$c = a + 4 = 10 + 4 = 14$ см.

Итак, стороны треугольника $ABC$ равны: $BC = 10$ см, $AC = 10$ см, $AB = 14$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 14 см.