Страница 64 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. Перерисуйте в тетрадь рисунок 171. Проведите через точку $N$ прямые, параллельные прямым $b$ и $m$.

Рис. 171

89. Перерисуйте в тетрадь рисунок 171. Проведите через точку $N$ прямые, параллельные прямым $b$ и $m$.

Рис. 171

Для решения этой задачи нужно воспользоваться свойством параллельных прямых. На клетчатой бумаге две прямые параллельны, если они имеют одинаковый наклон, то есть одинаковое соотношение смещения по вертикали к смещению по горизонтали при переходе от одной точки прямой к другой.

Построение прямой, параллельной прямой b

Сначала определим наклон прямой b. Найдем на прямой b две точки, расположенные в узлах сетки. Например, прямая проходит через точку пересечения с прямой m, и точку в верхнем правом углу прямоугольника, который образуют линии сетки. Чтобы переместиться из первой точки во вторую вдоль прямой b, нужно сместиться на 3 клетки вправо и на 1.5 клетки вверх. Для удобства лучше взять точки, отстоящие друг от друга на целое число клеток. Мы видим, что при смещении на 2 клетки вправо, прямая b поднимается на 1 клетку вверх. Это и есть ее "шаг" или наклон.
Чтобы построить прямую, параллельную b и проходящую через точку N, нужно от точки N откладывать точки с таким же "шагом". То есть, от точки N смещаемся на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх, чтобы получить одну точку, или на 2 клетки влево и 1 клетку вниз, чтобы получить другую. Соединив эти точки, мы получим искомую прямую.
Ответ: Прямая, параллельная b, проводится через точку N так, чтобы при смещении по ней на 2 клетки вправо происходило смещение на 1 клетку вверх.

Построение прямой, параллельной прямой m

Теперь определим наклон прямой m. Аналогично прямой b, найдем её "шаг" по узлам сетки. Мы видим, что при смещении на 2 клетки вправо, прямая m опускается на 1 клетку вниз.
Чтобы построить прямую, параллельную m и проходящую через точку N, нужно от точки N откладывать точки с таким же "шагом". От точки N смещаемся на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз, или на 2 клетки влево и 1 клетку вверх. Соединив полученные точки, мы проведем прямую, параллельную m.
Ответ: Прямая, параллельная m, проводится через точку N так, чтобы при смещении по ней на 2 клетки вправо происходило смещение на 1 клетку вниз.

90. На рисунке 172 $\angle BAM = \angle BCM$, $\angle ABM = \angle CBM$, $DK = FK$, $DE = EF$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 172

90. На рисунке 172 $\angle BAM = \angle BCM, \angle ABM = \angle CBM, DK = FK, DE = EF$. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

Рис. 172

Для доказательства того, что прямые a и b параллельны, мы докажем, что обе они перпендикулярны одной и той же третьей прямой. Обозначим горизонтальную прямую, проходящую через точки A, C, K, E, как прямую c.

1. Докажем, что прямая a перпендикулярна прямой c.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. По условию задачи дано, что $\angle BAM = \angle BCM$ и $\angle ABM = \angle CBM$.

Сумма углов в треугольнике $\triangle ABC$ равна $180^\circ$:$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$.

Поскольку $\angle BAM = \angle BAC$ и $\angle BCM = \angle BCA$, а $\angle ABC = \angle ABM + \angle CBM = 2 \cdot \angle ABM$, мы можем переписать уравнение суммы углов как:$\angle BAC + 2 \cdot \angle ABM + \angle BCA = 180^\circ$.

Так как по условию $\angle BAC = \angle BCA$, получаем:$2 \cdot \angle BAC + 2 \cdot \angle ABM = 180^\circ$.

Разделив обе части уравнения на 2, получим:$\angle BAC + \angle ABM = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. Сумма его углов равна $180^\circ$:$\angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^\circ$.

Подставим в это равенство найденное соотношение $\angle BAM + \angle ABM = 90^\circ$ (так как $\angle BAM = \angle BAC$):$90^\circ + \angle AMB = 180^\circ$.

Отсюда следует, что $\angle AMB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.Это означает, что прямая a, которая содержит отрезок $BM$, перпендикулярна прямой c, которая содержит отрезок $AC$. Таким образом, $a \perp c$.

2. Докажем, что прямая b перпендикулярна прямой c.

Рассмотрим треугольники $\triangle DKE$ и $\triangle FKE$.Из условия задачи нам известно, что $DE = EF$ и $DK = FK$. Сторона $EK$ является общей для обоих треугольников.

Следовательно, $\triangle DKE \cong \triangle FKE$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности: $\angle DKE = \angle FKE$.

Углы $\angle DKE$ и $\angle FKE$ являются смежными, так как точки D, K, F лежат на одной прямой b. Сумма смежных углов равна $180^\circ$:$\angle DKE + \angle FKE = 180^\circ$.

Так как эти углы равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$.Следовательно, $\angle DKE = 90^\circ$.

Это означает, что прямая c, которая содержит отрезок $EK$, перпендикулярна прямой b, которая содержит отрезок $DF$. Таким образом, $b \perp c$.

3. Вывод.

Мы доказали, что $a \perp c$ и $b \perp c$.Согласно свойству: если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны между собой.

Следовательно, $a \parallel b$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $a$ и $b$ параллельны.

91. Докажите, что прямые a и b параллельны (рис. 173).

Рис. 173

$a \perp n$

$b \perp m$

$c \perp m$

$c \perp n$

91. Докажите, что прямые $a$ и $b$ параллельны (рис. 173).

Рис. 173

$a \perp n$

$b \perp m$

$c \perp m$

$c \perp n$

Для доказательства параллельности прямых a и b воспользуемся свойствами перпендикулярных прямых.

1. Рассмотрим прямые a и c, которые пересекает прямая n. Согласно рисунку, прямая a перпендикулярна прямой n ($a \perp n$), и прямая c также перпендикулярна прямой n ($c \perp n$). Существует теорема: если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, мы можем сделать вывод, что $a \parallel c$.

2. Теперь рассмотрим прямые b и c, которые пересекает прямая m. Из рисунка видно, что прямая b перпендикулярна прямой m ($b \perp m$), и прямая c также перпендикулярна прямой m ($c \perp m$). Применяя ту же самую теорему, мы заключаем, что $b \parallel c$.

3. В результате мы получили, что прямая a параллельна прямой c ($a \parallel c$), и прямая b также параллельна прямой c ($b \parallel c$). Согласно следствию из аксиомы параллельных прямых (также известному как теорема о трех параллельных прямых): если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу. Таким образом, из того, что $a \parallel c$ и $b \parallel c$, следует, что $a \parallel b$.

Ответ: Прямые a и b параллельны, так как обе они параллельны одной и той же прямой c.

92. На рисунке 174 укажите все пары разносторонних, односторонних и соответственных углов.

Рис. 174

92. На рисунке 174 укажите все пары разносторонних, односторонних и соответственных углов.

Рис. 174

На рисунке изображены две прямые AN и CM, пересеченные третьей прямой (секущей) KP. Точка F — пересечение прямых AN и KP, а точка E — пересечение прямых CM и KP. При этом образуются различные пары углов.

Разносторонние углы

Разносторонними (или внутренними накрест лежащими) углами называют пары углов, которые находятся во внутренней области (между прямыми AN и CM) и по разные стороны от секущей KP.
На рисунке это следующие две пары углов:
1) $\angle KFN$ и $\angle CEP$
2) $\angle NFP$ и $\angle KEC$
Ответ: Пары разносторонних углов: $(\angle KFN, \angle CEP)$ и $(\angle NFP, \angle KEC)$.

Односторонние углы

Односторонними (или внутренними односторонними) углами называют пары углов, которые находятся во внутренней области (между прямыми AN и CM) и по одну сторону от секущей KP.
На рисунке это следующие две пары углов:
1) $\angle KFN$ и $\angle KEC$ (расположены слева от секущей)
2) $\angle NFP$ и $\angle CEP$ (расположены справа от секущей)
Ответ: Пары односторонних углов: $(\angle KFN, \angle KEC)$ и $(\angle NFP, \angle CEP)$.

Соответственные углы

Соответственными углами называют пары углов, которые находятся по одну сторону от секущей KP, причем один угол лежит во внутренней области, а другой — во внешней, и они занимают одинаковое относительное положение при каждом пересечении.
На рисунке это следующие четыре пары углов:
1) $\angle AFK$ и $\angle KEC$ (верхние левые)
2) $\angle PFA$ и $\angle CEP$ (верхние правые)
3) $\angle KFN$ и $\angle MEK$ (нижние левые)
4) $\angle NFP$ и $\angle PEM$ (нижние правые)
Ответ: Пары соответственных углов: $(\angle AFK, \angle KEC)$, $(\angle PFA, \angle CEP)$, $(\angle KFN, \angle MEK)$ и $(\angle NFP, \angle PEM)$.

93. Параллельны ли прямые c и d на рисунке 175? Ответ обоснуйте.

Рис. 175

c

d

$108^\circ$

$72^\circ$

93. Параллельны ли прямые c и d на рисунке 175? Ответ обоснуйте.

Рис. 175

c

$108^\circ$

d

$72^\circ$

Для того чтобы определить, параллельны ли прямые c и d, необходимо проверить выполнение одного из признаков параллельности прямых. Воспользуемся признаком, связанным с равенством внутренних накрест лежащих углов.

На рисунке нам даны два угла: внешний угол при прямой c, равный $108°$, и внутренний угол при прямой d, равный $72°$.

1. Найдем внутренний угол при прямой c, который является смежным с данным внешним углом $108°$. Сумма смежных углов составляет $180°$. Обозначим этот внутренний угол как $∠1$.
$∠1 = 180° - 108° = 72°$.

2. Теперь у нас есть два внутренних угла:

• Угол $∠1 = 72°$, который мы вычислили. Он расположен слева от секущей.
• Угол, данный в условии при прямой d, равный $72°$. Он расположен справа от секущей.

Эти два угла ($∠1$ и данный угол $72°$) являются внутренними накрест лежащими углами.

3. Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

В нашем случае оба внутренних накрест лежащих угла равны $72°$. Так как они равны, то прямые c и d параллельны.

Ответ: Да, прямые c и d параллельны, так как внутренние накрест лежащие углы равны $72°$.