Страница 67 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. Найдите угол треугольника, если два других его угла равны $31^\circ$ и $24^\circ$.

104. Найдите угол треугольника, если два других его угла равны $31^\circ$ и $24^\circ$.

Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. В задаче даны два угла, их значения составляют $31^\circ$ и $24^\circ$. Чтобы найти третий угол, необходимо из общей суммы углов треугольника вычесть сумму двух известных углов.

1. Найдем сумму двух известных углов:
$31^\circ + 24^\circ = 55^\circ$

2. Вычтем полученную сумму из $180^\circ$, чтобы найти величину третьего угла:
$180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$

Таким образом, третий угол треугольника равен $125^\circ$.
Ответ: $125^\circ$.

105. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $29^\circ$. Найдите угол при вершине этого треугольника.

105. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $29^\circ$. Найдите угол при вершине этого треугольника.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. По условию, один из углов при основании равен $29^\circ$. Следовательно, второй угол при основании также равен $29^\circ$.

Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Обозначим искомый угол при вершине как $x$. Тогда мы можем составить уравнение, сложив все три угла треугольника:

$x + 29^\circ + 29^\circ = 180^\circ$

Сначала сложим известные углы:

$29^\circ + 29^\circ = 58^\circ$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

$x + 58^\circ = 180^\circ$

Чтобы найти $x$, вычтем $58^\circ$ из $180^\circ$:

$x = 180^\circ - 58^\circ$

$x = 122^\circ$

Следовательно, угол при вершине данного равнобедренного треугольника равен $122^\circ$.

Ответ: 122°.

106. Найдите на рисунке 183 неизвестные углы треугольника DEF.

Рис. 183

а

В треугольнике DEF: внешний угол при вершине D равен $71^\circ$; угол F равен $17^\circ$.

б

В треугольнике DEF: внешний угол при вершине D равен $152^\circ$; угол E равен $37^\circ$.

в

В треугольнике DEF: угол D равен $134^\circ$; внешний угол при вершине F равен $157^\circ$.

106. Найдите на рисунке 183 неизвестные углы треугольника DEF.

Рис. 183

а

$D: 71^\circ$; $F: 17^\circ$.

б

$D: 152^\circ$; $E: 37^\circ$.

в

$D: 134^\circ$; $F: 157^\circ$.

а

В треугольнике $DEF$ дан внешний угол при вершине $D$, равный $71^\circ$, и внутренний угол при вершине $F$, $\angle F = 17^\circ$. Необходимо найти неизвестные углы $\angle D$ и $\angle E$.

1. Внутренний угол треугольника при вершине $D$ и смежный с ним внешний угол в сумме составляют $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle D$:

$\angle D = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$.

2. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла треугольника, $\angle D = 109^\circ$ и $\angle F = 17^\circ$, мы можем найти третий угол $\angle E$:

$\angle E = 180^\circ - (\angle D + \angle F) = 180^\circ - (109^\circ + 17^\circ) = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$.

Неизвестные углы треугольника: $\angle D = 109^\circ$ и $\angle E = 54^\circ$.

Ответ: $\angle D = 109^\circ$, $\angle E = 54^\circ$.

б

В треугольнике $DEF$ дан внешний угол при вершине $D$, равный $152^\circ$, и внутренний угол при вершине $E$, $\angle E = 37^\circ$. Необходимо найти неизвестные углы $\angle D$ и $\angle F$.

1. Внутренний угол $\angle D$ является смежным с внешним углом при той же вершине. Их сумма равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle D$:

$\angle D = 180^\circ - 152^\circ = 28^\circ$.

2. Сумма углов треугольника $DEF$ равна $180^\circ$. Зная углы $\angle D = 28^\circ$ и $\angle E = 37^\circ$, найдем угол $\angle F$:

$\angle F = 180^\circ - (\angle D + \angle E) = 180^\circ - (28^\circ + 37^\circ) = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$.

Неизвестные углы треугольника: $\angle D = 28^\circ$ и $\angle F = 115^\circ$.

Ответ: $\angle D = 28^\circ$, $\angle F = 115^\circ$.

в

В треугольнике $DEF$ даны внешний угол при вершине $D$, равный $134^\circ$, и внешний угол при вершине $F$, равный $157^\circ$. Необходимо найти все три внутренних угла треугольника: $\angle D$, $\angle E$ и $\angle F$.

1. Внутренний угол треугольника и смежный с ним внешний угол в сумме дают $180^\circ$. Найдем внутренний угол $\angle D$:

$\angle D = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ$.

2. Аналогично найдем внутренний угол $\angle F$:

$\angle F = 180^\circ - 157^\circ = 23^\circ$.

3. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Зная углы $\angle D = 46^\circ$ и $\angle F = 23^\circ$, найдем третий угол $\angle E$:

$\angle E = 180^\circ - (\angle D + \angle F) = 180^\circ - (46^\circ + 23^\circ) = 180^\circ - 69^\circ = 111^\circ$.

Неизвестные углы треугольника: $\angle D = 46^\circ$, $\angle E = 111^\circ$, $\angle F = 23^\circ$.

Ответ: $\angle D = 46^\circ$, $\angle E = 111^\circ$, $\angle F = 23^\circ$.

107. Найдите на рисунке 184 неизвестные углы равнобедренного треугольника $DEF (DF=FE)$.

Рис. 184

$DF=FE$, $42^\circ$.

$DE=EF$, $117^\circ$.

107. Найдите на рисунке 184 неизвестные углы равнобедренного треугольника DEF ($DF = FE$).

Рис. 184

а

$42^\circ$

б

$117^\circ$

а

По условию задачи, треугольник $DEF$ является равнобедренным, поскольку стороны $DF$ и $FE$ равны ($DF = FE$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае основанием является сторона $DE$, следовательно, углы при основании $\angle D$ и $\angle E$ равны: $\angle D = \angle E$.

На рисунке угол при вершине $F$, то есть $\angle DFE$, и угол величиной $42^{\circ}$ являются вертикальными. Свойство вертикальных углов заключается в том, что они равны. Таким образом, $\angle DFE = 42^{\circ}$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. Для треугольника $DEF$ это можно записать как: $\angle D + \angle E + \angle F = 180^{\circ}$

Поскольку $\angle D = \angle E$, мы можем заменить $\angle E$ на $\angle D$ в уравнении: $\angle D + \angle D + \angle F = 180^{\circ}$ $2 \cdot \angle D + \angle F = 180^{\circ}$

Теперь подставим известное значение угла $\angle F = 42^{\circ}$: $2 \cdot \angle D + 42^{\circ} = 180^{\circ}$

Найдем величину угла $\angle D$: $2 \cdot \angle D = 180^{\circ} - 42^{\circ}$ $2 \cdot \angle D = 138^{\circ}$ $\angle D = \frac{138^{\circ}}{2} = 69^{\circ}$

Так как $\angle E = \angle D$, то $\angle E = 69^{\circ}$.

Ответ: $\angle D = 69^{\circ}$, $\angle E = 69^{\circ}$, $\angle F = 42^{\circ}$.

б

В данном случае треугольник $DEF$ также является равнобедренным с основанием $DE$, так как $DF = FE$. Следовательно, углы при основании равны: $\angle D = \angle E$.

На рисунке показан внешний угол при вершине $D$, равный $117^{\circ}$. Внутренний угол треугольника $\angle D$ и смежный с ним внешний угол в сумме дают $180^{\circ}$, так как они образуют развернутый угол. $\angle D + 117^{\circ} = 180^{\circ}$

Из этого соотношения находим величину угла $\angle D$: $\angle D = 180^{\circ} - 117^{\circ} = 63^{\circ}$

Поскольку треугольник равнобедренный, $\angle E = \angle D = 63^{\circ}$.

Зная два угла треугольника, мы можем найти третий, используя теорему о сумме углов треугольника: $\angle D + \angle E + \angle F = 180^{\circ}$

Подставим известные значения: $63^{\circ} + 63^{\circ} + \angle F = 180^{\circ}$ $126^{\circ} + \angle F = 180^{\circ}$

Найдем угол $\angle F$: $\angle F = 180^{\circ} - 126^{\circ} = 54^{\circ}$

Ответ: $\angle D = 63^{\circ}$, $\angle E = 63^{\circ}$, $\angle F = 54^{\circ}$.

108. Найдите углы треугольника $ABC$, если $ \angle A + \angle B = 20^{\circ} $, $ \angle A + \angle C = 175^{\circ} $.

108. Найдите углы треугольника ABC, если $\angle A + \angle B = 20^\circ$, $\angle A + \angle C = 175^\circ$.

Для нахождения углов треугольника $ABC$ воспользуемся основной теоремой о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма всех трех углов любого треугольника равна $180^\circ$.
Запишем это в виде формулы:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Нам даны два условия:
1) $\angle A + \angle B = 20^\circ$
2) $\angle A + \angle C = 175^\circ$

Мы можем составить систему из трех уравнений и решить ее.

Шаг 1: Нахождение угла C
Подставим значение суммы $\angle A + \angle B$ из первого условия в формулу суммы углов треугольника:
$(\angle A + \angle B) + \angle C = 180^\circ$
$20^\circ + \angle C = 180^\circ$
Выразим отсюда $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - 20^\circ$
$\angle C = 160^\circ$

Шаг 2: Нахождение угла A
Теперь, когда мы знаем величину угла $C$, подставим ее во второе условие, чтобы найти угол $A$:
$\angle A + \angle C = 175^\circ$
$\angle A + 160^\circ = 175^\circ$
Выразим отсюда $\angle A$:
$\angle A = 175^\circ - 160^\circ$
$\angle A = 15^\circ$

Шаг 3: Нахождение угла B
Зная величину угла $A$, подставим ее в первое условие, чтобы найти угол $B$:
$\angle A + \angle B = 20^\circ$
$15^\circ + \angle B = 20^\circ$
Выразим отсюда $\angle B$:
$\angle B = 20^\circ - 15^\circ$
$\angle B = 5^\circ$

Проверка:
Сложим все найденные углы, чтобы убедиться, что их сумма равна $180^\circ$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 15^\circ + 5^\circ + 160^\circ = 20^\circ + 160^\circ = 180^\circ$.
Расчеты верны.

Ответ: $\angle A = 15^\circ$, $\angle B = 5^\circ$, $\angle C = 160^\circ$.

109. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в 7 раз меньше угла при вершине.

109. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании в 7 раз меньше угла при вершине.

Пусть дан равнобедренный треугольник. По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны.

Обозначим величину угла при основании через $x$. Тогда второй угол при основании также будет равен $x$.

Согласно условию задачи, угол при основании в 7 раз меньше угла при вершине. Это значит, что угол при вершине в 7 раз больше угла при основании. Следовательно, угол при вершине равен $7x$.

Сумма всех углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Составим уравнение, сложив все три угла нашего треугольника:

$x + x + 7x = 180^\circ$

Упростим левую часть уравнения:

$9x = 180^\circ$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 9:

$x = \frac{180^\circ}{9}$

$x = 20^\circ$

Таким образом, мы нашли величину углов при основании. Каждый из них равен $20^\circ$.

Теперь вычислим величину угла при вершине:

$7x = 7 \cdot 20^\circ = 140^\circ$

Проверим правильность решения, сложив все углы: $20^\circ + 20^\circ + 140^\circ = 180^\circ$. Сумма углов равна $180^\circ$, что подтверждает верность расчетов.

Ответ: углы треугольника равны $20^\circ$, $20^\circ$ и $140^\circ$.

110. Найдите углы треугольника, если их градусные меры относятся как $2 : 7 : 9$.

110. Найдите углы треугольника, если их градусные меры относятся как $2:7:9$.

Пусть градусные меры углов треугольника относятся как $2:7:9$. Обозначим одну часть этой пропорции как $x$. Тогда углы треугольника будут равны $2x$, $7x$ и $9x$.

Мы знаем, что сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Используя это свойство, составим и решим уравнение:

$2x + 7x + 9x = 180^\circ$

Сложим коэффициенты при $x$:

$(2 + 7 + 9)x = 180^\circ$

$18x = 180^\circ$

Теперь найдем значение $x$:

$x = \frac{180^\circ}{18}$

$x = 10^\circ$

Зная, что одна часть пропорции равна $10^\circ$, найдем величину каждого угла:

• Первый угол: $2x = 2 \cdot 10^\circ = 20^\circ$
• Второй угол: $7x = 7 \cdot 10^\circ = 70^\circ$
• Третий угол: $9x = 9 \cdot 10^\circ = 90^\circ$

Для проверки сложим полученные углы: $20^\circ + 70^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Сумма верна.

Ответ: $20^\circ$, $70^\circ$, $90^\circ$.