Страница 71 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. В прямоугольном треугольнике $DBC$ ($\angle C = 90^\circ$) провели высоту $CK$. Найдите отрезок $BK$, если $DB = 20$ см, $BC = 10$ см.

146. В прямоугольном треугольнике $DBC$ ($\angle C = 90^\circ$) провели высоту $CK$. Найдите отрезок $BK$, если $DB = 20$ см, $BC = 10$ см.

По условию задачи дан прямоугольный треугольник DBC ($\angle C = 90^\circ$). DB — это гипотенуза, а BC и DC — катеты. Из вершины прямого угла C на гипотенузу DB проведена высота CK.

Известны следующие длины:
Гипотенуза $DB = 20$ см.
Катет $BC = 10$ см.

Требуется найти длину отрезка BK. Отрезок BK является проекцией катета BC на гипотенузу DB.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством прямоугольного треугольника (метрическим соотношением), которое гласит: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

В данном случае для катета BC и его проекции BK формула выглядит так:
$BC^2 = DB \cdot BK$

Из этой формулы выразим искомую длину отрезка BK:
$BK = \frac{BC^2}{DB}$

Подставим известные значения в формулу:
$BK = \frac{10^2}{20}$

Выполним вычисления:
$BK = \frac{100}{20} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

147. На рисунке 189 $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle AMC = 90^\circ$, $\angle MAC = 30^\circ$. Найдите угол $BAC$, если $AB = 40$ см, $MC = 10$ см.

Рис. 189

147. На рисунке 189 $ \angle ACB = 90^\circ $, $ \angle AMC = 90^\circ $, $ \angle MAC = 30^\circ $. Найдите угол BAC, если $ AB = 40 \text{ см} $, $ MC = 10 \text{ см} $.

Рис. 189

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMC$ ($\angle AMC = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $MC$, равный 10 см, лежит напротив угла $\angle MAC$, равного $30^\circ$.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Следовательно:

$\sin(\angle MAC) = \frac{MC}{AC}$

Подставим известные значения. Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} = \frac{10}{AC}$

Отсюда найдем длину гипотенузы $AC$:

$AC = 10 \cdot 2 = 20$ см.

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACB$ ($\angle ACB = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны катет $AC = 20$ см и гипотенуза $AB = 40$ см.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $\angle BAC$ катет $AC$ является прилежащим. Следовательно:

$\cos(\angle BAC) = \frac{AC}{AB}$

Подставим известные значения:

$\cos(\angle BAC) = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Таким образом, $\angle BAC = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

148. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$. Биссектриса угла $B$ пересекает катет $AC$ в точке $M$. Найдите $BM$, если $AM - CM = 4$ см.

148. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$. Биссектриса угла $B$ пересекает катет $AC$ в точке $M$. Найдите $BM$, если $AM - CM = 4$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, это прямоугольный треугольник с $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому найдем угол $B$:
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

$BM$ является биссектрисой угла $B$, следовательно, она делит этот угол пополам:
$\angle CBM = \angle ABM = \frac{\angle B}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. В нем $\angle A = 30^\circ$ и $\angle ABM = 30^\circ$. Так как два угла в треугольнике равны, то треугольник $ABM$ является равнобедренным, а его боковые стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $AM = BM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CBM$ ($\angle C = 90^\circ$). В этом треугольнике катет $CM$ лежит напротив угла $\angle CBM = 30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника с углом $30^\circ$, катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы. В данном случае гипотенузой является $BM$. Следовательно, $CM = \frac{1}{2} BM$.

Теперь воспользуемся условием задачи: $AM - CM = 4$ см. Подставим в это уравнение найденные выражения для $AM$ и $CM$ через $BM$:
$BM - \frac{1}{2} BM = 4$
$\frac{1}{2} BM = 4$
$BM = 4 \cdot 2 = 8$ см.

Ответ: 8 см.

149. Какие из точек на рисунке 190 принадлежат окружности с центром $O$; кругу с центром $O$?

Рис. 190

Точки на рисунке: $M$, $K$, $O$, $F$, $P$, $E$, $B$.

149. Какие из точек на рисунке 190 принадлежат окружности с центром $O$; кругу с центром $O$?

Рис. 190

Окружности с центром O

Окружность — это линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра O. Чтобы точка принадлежала окружности, она должна лежать непосредственно на этой линии.

Рассмотрим точки на рисунке 190:

• Точки M и P лежат на линии окружности.
• Точки K, F, E и центр O находятся внутри окружности.
• Точка B находится вне окружности.

Следовательно, окружности принадлежат только те точки, которые лежат на ее линии.

Ответ: M, P.

Кругу с центром O

Круг — это часть плоскости, которая включает в себя окружность и все точки, находящиеся внутри нее. То есть, это все точки, расстояние от которых до центра O меньше или равно радиусу окружности.

К кругу с центром O относятся:

• Точки, лежащие на окружности: M, P.
• Точки, лежащие внутри окружности: K, F, E, а также сам центр O.

Точка B находится за пределами круга.

Ответ: M, P, K, F, E, O.

150. Найдите диаметр окружности, если её радиус равен:

1) 15 см;

2) $a$ см.

150. Найдите диаметр окружности, если её радиус равен:

1) $15 \text{ см}$;

2) $a \text{ см}$.

Диаметр окружности ($d$) связан с ее радиусом ($r$) следующей формулой:

$d = 2r$

То есть, чтобы найти диаметр, нужно умножить радиус на 2.

1)
Если радиус окружности равен 15 см, то ее диаметр будет:
$d = 2 \times 15 \text{ см} = 30 \text{ см}$.
Ответ: 30 см.

2)
Если радиус окружности равен a см, то ее диаметр будет:
$d = 2 \times a \text{ см} = 2a \text{ см}$.
Ответ: 2a см.

151. Начертите окружность, радиус которой равен 2,5 см. Проведите в этой окружности радиус, диаметр и хорду, не являющуюся диаметром.

151. Начертите окружность, радиус которой равен 2,5 см. Проведите в этой окружности радиус, диаметр и хорду, не являющуюся диаметром.

Для выполнения этого задания потребуются циркуль и линейка. Сначала определим ключевые понятия:

• Окружность — геометрическое место точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром.
• Радиус (r) — отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней. По условию задачи, $r = 2,5$ см.
• Хорда — отрезок, соединяющий две любые точки на окружности.
• Диаметр (d) — это хорда, проходящая через центр окружности. Длина диаметра равна двум радиусам, то есть $d = 2r$.

Теперь выполним построение по шагам:

1. Построение окружности. С помощью линейки установим расстояние между иглой и грифелем циркуля равным 2,5 см. Отметим на листе бумаги точку О — это будет центр нашей окружности. Поставим иглу циркуля в точку О и аккуратно проведём замкнутую линию.
2. Проведение радиуса. Выберем на построенной окружности любую точку и назовём её А. Соединим точку А с центром О с помощью линейки. Полученный отрезок ОА является радиусом окружности. Его длина составляет 2,5 см.
3. Проведение диаметра. Выберем на окружности любую точку и назовём её В. Проведём через точку В и центр О прямую линию до её пересечения с окружностью в другой точке, которую назовём С. Отрезок ВС является диаметром. Его длина равна $d = 2 \times 2,5 \text{ см} = 5 \text{ см}$.
4. Проведение хорды, не являющейся диаметром. Выберем на окружности две произвольные точки, например, D и E. Соединим их отрезком. Важно, чтобы этот отрезок не проходил через центр окружности О. Полученный отрезок DE — это хорда, которая не является диаметром.

В результате на чертеже будет изображена окружность с центром О. Внутри неё будут проведены: отрезок ОА (радиус), отрезок ВС (диаметр) и отрезок DE (хорда, не являющаяся диаметром).

Ответ: Для выполнения задания необходимо с помощью циркуля и линейки начертить окружность с радиусом 2,5 см. Затем в этой окружности нужно провести: радиус (отрезок от центра до любой точки на окружности), диаметр (отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр) и хорду, которая не является диаметром (отрезок, соединяющий две любые точки на окружности, но не проходящий через центр).

152. В окружности проведены радиусы OA, OB и OC (рис. 191). Найдите $ \angle OCB $, если $ \angle AOB = \angle BOC $ и $ \angle OAB = 58^\circ $.

Рис. 191

152. В окружности проведены радиусы OA, OB и OC (рис. 191). Найдите $\angle OCB$, если $\angle AOB = \angle BOC$ и $\angle OAB = 58^\circ$.

Рис. 191

Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OBC$.

1. Стороны $OA$, $OB$ и $OC$ являются радиусами окружности с центром в точке $O$. Следовательно, они равны между собой: $OA = OB = OC$.

2. Сравним треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OBC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):
- Сторона $OA$ треугольника $\triangle OAB$ равна стороне $OC$ треугольника $\triangle OBC$, так как обе являются радиусами ($OA = OC$).
- Сторона $OB$ является общей для обоих треугольников.
- Угол $\angle AOB$ (угол между сторонами $OA$ и $OB$) равен углу $\angle BOC$ (углу между сторонами $OC$ и $OB$) согласно условию задачи.

3. Из вышеперечисленного следует, что треугольники равны: $\triangle OAB \cong \triangle OBC$.

4. В равных треугольниках соответствующие элементы (углы и стороны) равны. В частности, угол $\angle OCB$ в треугольнике $\triangle OBC$ соответствует углу $\angle OAB$ в треугольнике $\triangle OAB$.

5. По условию задачи нам дано, что $\angle OAB = 58^{\circ}$.

6. Следовательно, искомый угол $\angle OCB$ также равен $58^{\circ}$.

Ответ: $58^{\circ}$.