Страница 73 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. Прямая касается окружности с центром $O$ в точке $M$. На касательной по разные стороны от точки $M$ отметили точки $K$ и $P$ такие, что $ \angle MOK = \angle MOP $. Найдите угол $OKM$, если $ \angle OPM = 48^\circ $.

163. Прямая касается окружности с центром $O$ в точке $M$. На касательной по разные стороны от точки $M$ отметили точки $K$ и $P$ такие, что $\angle MOK = \angle MOP$. Найдите угол $OKM$, если $\angle OPM = 48^\circ$.

Рассмотрим треугольники $ΔOMK$ и $ΔOMP$.

1. По условию, прямая касается окружности с центром в точке $O$ в точке $M$. $OM$ является радиусом, проведенным в точку касания. Согласно свойству касательной, радиус перпендикулярен касательной в точке касания. Следовательно, $OM ⊥ KP$, из чего следует, что $∠OMK = ∠OMP = 90°$. Таким образом, оба треугольника $ΔOMK$ и $ΔOMP$ являются прямоугольными.

2. Сравним эти два треугольника:

• Сторона $OM$ является общей для обоих треугольников.
• Угол $∠OMK = ∠OMP = 90°$ (как доказано выше).
• Угол $∠MOK = ∠MOP$ (согласно условию задачи).

Таким образом, треугольник $ΔOMK$ равен треугольнику $ΔOMP$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам - ASA). В данном случае сторона — это катет $OM$, а прилежащие углы — $∠MOK$ и $∠OMK$.

3. Так как треугольники равны, то их соответствующие элементы также равны. Угол $∠OKM$ в треугольнике $ΔOMK$ соответствует углу $∠OPM$ в треугольнике $ΔOMP$ (они лежат напротив равных сторон $OM$ и являются третьими углами в равных треугольниках). Следовательно, $∠OKM = ∠OPM$.

4. По условию задачи дано, что $∠OPM = 48°$.

Из этого следует, что $∠OKM = 48°$.

Другой способ решения (через сумму углов в треугольнике):

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔOMP$ ($∠OMP = 90°$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$. Таким образом, $∠MOP + ∠OPM = 90°$.

2. Зная, что $∠OPM = 48°$, найдем угол $∠MOP$:
$∠MOP = 90° - ∠OPM = 90° - 48° = 42°$.

3. По условию $∠MOK = ∠MOP$, следовательно, $∠MOK = 42°$.

4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔOMK$ ($∠OMK = 90°$). Сумма его острых углов также равна $90°$: $∠MOK + ∠OKM = 90°$.

5. Найдем искомый угол $∠OKM$:
$∠OKM = 90° - ∠MOK = 90° - 42° = 48°$.

Ответ: 48°

164. На рисунке 194 прямая $KE$ касается окружности с центром $O$ в точке $E$. Найдите $\angle COE$, если $\angle KEP = 136^\circ$.

Рис. 194

164. На рисунке 194 прямая KE касается окружности с центром O в точке E. Найдите $\angle COE$, если $\angle KEP = 136^\circ$.

Рис. 194

Решение:

1. Углы $∠KEP$ и $∠KEC$ являются смежными, так как они лежат на одной прямой $CP$ и имеют общую сторону $KE$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Найдем величину угла $∠KEC$:
$∠KEC = 180^\circ - ∠KEP = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ$.

2. Прямая $KE$ является касательной к окружности в точке $E$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OE$ перпендикулярен прямой $KE$, и угол между ними составляет $90^\circ$:$∠OEK = 90^\circ$.

3. Угол $∠OEK$ состоит из двух углов: $∠OEC$ и $∠KEC$. Из рисунка видно, что $∠OEK = ∠OEC + ∠KEC$. Отсюда мы можем найти угол $∠OEC$:
$∠OEC = ∠OEK - ∠KEC = 90^\circ - 44^\circ = 46^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $COE$. Отрезки $OC$ и $OE$ являются радиусами одной и той же окружности, поэтому их длины равны: $OC = OE$. Это означает, что треугольник $COE$ — равнобедренный с основанием $CE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно:
$∠OCE = ∠OEC = 46^\circ$.

5. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $COE$ справедливо равенство: $∠COE + ∠OCE + ∠OEC = 180^\circ$. Найдем искомый угол $∠COE$:
$∠COE = 180^\circ - (∠OCE + ∠OEC) = 180^\circ - (46^\circ + 46^\circ) = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$.

Ответ: $88^\circ$.

165. На рисунке 195 две окружности имеют общий центр $O$.

К меньшей из них провели перпендикулярные касательные $DE$ и $KP$, пересекающиеся в точке $N$. Найдите $DN$, если $DE = 10$ см, а радиус меньшей окружности равен 3 см.

Рис. 195

165. На рисунке 195 две окружности имеют общий центр $O$. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные $DE$ и $KP$, пересекающиеся в точке $N$. Найдите $DN$, если $DE = 10$ см, а радиус меньшей окружности равен 3 см.

Для решения задачи проведем радиусы меньшей окружности в точки касания. Пусть M — точка касания прямой DE, а L — точка касания прямой KP. Соединим центр окружности O с точками M и L.

1. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OM \perp DE$ и $OL \perp KP$. Это означает, что углы $\angle OMN$ и $\angle OLN$ равны $90^\circ$.

2. По условию задачи, касательные DE и KP перпендикулярны друг другу, значит, угол $\angle MNL$ в точке их пересечения N также равен $90^\circ$.

3. Рассмотрим четырехугольник OMNL. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Три его угла ($\angle OMN$, $\angle OLN$, $\angle MNL$) являются прямыми, следовательно, четвертый угол $\angle MOL$ также равен $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, OMNL — прямоугольник.

4. Стороны OM и OL этого прямоугольника являются радиусами меньшей окружности, поэтому $OM = OL = r = 3$ см. Прямоугольник, у которого смежные стороны равны, является квадратом. Значит, OMNL — квадрат со стороной 3 см. Отсюда следует, что $NM = OM = 3$ см.

5. Прямая DE является хордой большей окружности. Отрезок OM, перпендикулярный прямой DE, является расстоянием от центра O до этой хорды. По свойству хорды, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит ее пополам. Следовательно, точка M является серединой хорды DE.

6. Длина хорды DE по условию равна 10 см. Так как M — ее середина, то $DM = ME = \frac{DE}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

7. Точки D, N и M лежат на одной прямой. Отрезок DM состоит из двух отрезков: DN и NM. Таким образом, $DM = DN + NM$.

8. Подставим известные нам значения в это равенство: $5 \text{ см} = DN + 3 \text{ см}$.

9. Выразим из этого уравнения искомую длину DN: $DN = 5 - 3 = 2$ см.

Ответ: 2 см.

166. На рисунке 196 две окружности имеют общий центр $O$. Через точку $M$ большей окружности проведены касательные $MB$ и $MC$ к меньшей окружности. Найдите радиус большей окружности, если $MD = 14$ см, а $\angle BMC = 120^\circ$.

Рис. 196

166. На рисунке 196 две окружности имеют общий центр O. Через точку M большей окружности проведены касательные MB и MC к меньшей окружности. Найдите радиус большей окружности, если $MD = 14 \text{ см}$, а $\angle BMC = 120^\circ$.

Рис. 196

Пусть $R$ – радиус большей окружности, а $r$ – радиус меньшей окружности. Центр обеих окружностей – точка $O$.

Поскольку точка $M$ лежит на большей окружности, расстояние от центра до этой точки равно радиусу большей окружности, то есть $OM = R$.

$MB$ и $MC$ – касательные к меньшей окружности, проведенные из одной точки $M$. По свойству касательных, отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Следовательно, $MB = MC$.

Отрезок $OM$ соединяет центр окружности $O$ с точкой $M$, из которой проведены касательные. По свойству касательных, $OM$ является биссектрисой угла $\angle BMC$.

Так как по условию $\angle BMC = 120^\circ$, то $\angle BMO = \frac{\angle BMC}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Проведем радиус $OB$ к точке касания $B$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OB \perp MB$, и треугольник $\triangle OBM$ является прямоугольным с прямым углом $\angle OBM = 90^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OBM$:

• Гипотенуза $OM = R$.
• Катет $OB = r$.
• Угол $\angle BMO = 60^\circ$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:$\sin(\angle BMO) = \frac{OB}{OM}$$\sin(60^\circ) = \frac{r}{R}$

Поскольку $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем связь между радиусами:$\frac{r}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $r = R \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Точки $O$, $D$ и $M$ лежат на одной прямой. Длина отрезка $MD$ равна разности расстояний от центра $O$ до точек $M$ и $D$. $OM = R$, а $OD = r$ (так как $D$ лежит на меньшей окружности). Следовательно:$MD = OM - OD = R - r$.

По условию $MD = 14$ см, значит, $R - r = 14$.

Получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} r = R \frac{\sqrt{3}}{2} \\ R - r = 14 \end{cases}$

Подставим выражение для $r$ из первого уравнения во второе:$R - R \frac{\sqrt{3}}{2} = 14$

Вынесем $R$ за скобки:$R(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 14$

$R(\frac{2 - \sqrt{3}}{2}) = 14$

Найдем $R$:$R = \frac{14 \cdot 2}{2 - \sqrt{3}} = \frac{28}{2 - \sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{3})$:$R = \frac{28(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{28(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 28(2 + \sqrt{3})$

Таким образом, радиус большей окружности равен $28(2 + \sqrt{3})$ см.

Ответ: $28(2 + \sqrt{3})$ см.