Страница 74 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

167. На рисунке 197 прямые $MB$, $MC$ и $DE$ касаются окружности в точках $B$, $C$ и $F$ соответственно. Найдите $MC$, если периметр треугольника $MDE$ равен 24 см.

Рис. 197

167. На рисунке 197 прямые $MB$, $MC$ и $DE$ касаются окружности в точках $B$, $C$ и $F$ соответственно. Найдите $MC$, если периметр треугольника $MDE$ равен 24 см.

Рис. 197

Для решения задачи воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этому свойству, длины таких отрезков равны.

В данной задаче у нас есть три точки, из которых проведены касательные к окружности: M, D и E.

1. Касательные, проведенные из точки M, — это MB и MC. Следовательно, их длины равны:
   $MB = MC$
2. Касательные, проведенные из точки D, — это DB и DF. Следовательно, их длины равны:
   $DB = DF$
3. Касательные, проведенные из точки E, — это EC и EF. Следовательно, их длины равны:
   $EC = EF$

Периметр треугольника MDE ($P_{MDE}$) — это сумма длин его сторон:

$P_{MDE} = MD + DE + ME$

Сторона DE состоит из двух отрезков: DF и FE. То есть, $DE = DF + FE$.

Подставим это выражение в формулу периметра:

$P_{MDE} = MD + (DF + FE) + ME$

Теперь заменим отрезки DF и FE на равные им отрезки DB и EC соответственно:

$P_{MDE} = MD + (DB + EC) + ME$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$P_{MDE} = (MD + DB) + (ME + EC)$

Из рисунка видно, что сумма длин отрезков MD и DB равна длине отрезка MB, а сумма длин отрезков ME и EC равна длине отрезка MC:

$MD + DB = MB$

$ME + EC = MC$

Подставим эти значения в формулу периметра:

$P_{MDE} = MB + MC$

Так как мы ранее установили, что $MB = MC$, то можно записать:

$P_{MDE} = MC + MC = 2 \cdot MC$

По условию задачи периметр треугольника MDE равен 24 см:

$2 \cdot MC = 24$ см

Отсюда находим длину MC:

$MC = \frac{24}{2} = 12$ см

Ответ: 12 см.

168. Точка пересечения медиан $AN$ и $CM$ треугольника $ABC$ является центром вписанной в него окружности. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.

168. Точка пересечения медиан $AN$ и $CM$ треугольника $ABC$ является центром вписанной в него окружности. Докажите, что треугольник $ABC$ равносторонний.

Пусть $O$ — точка пересечения медиан $AN$ и $CM$ треугольника $ABC$. По определению, точка пересечения медиан является центроидом треугольника.

По условию задачи, эта же точка $O$ является центром вписанной в $\triangle ABC$ окружности. Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Следовательно, медианы $AN$ и $CM$ являются одновременно и биссектрисами углов $A$ и $C$ соответственно.

Рассмотрим медиану $AN$. Так как она является и биссектрисой угла $\angle A$, то для треугольника $ABC$ справедливо свойство биссектрисы:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BN}{NC}$

Поскольку $AN$ — медиана, она делит сторону $BC$ пополам, то есть $BN = NC$. Следовательно, отношение $\frac{BN}{NC} = 1$.

Из этого следует, что $\frac{AB}{AC} = 1$, что равносильно равенству сторон $AB = AC$. Таким образом, $\triangle ABC$ — равнобедренный.

Теперь рассмотрим медиану $CM$. Так как она является и биссектрисой угла $\angle C$, то для треугольника $ABC$ также справедливо свойство биссектрисы:

$\frac{BC}{AC} = \frac{BM}{AM}$

Поскольку $CM$ — медиана, она делит сторону $AB$ пополам, то есть $BM = AM$. Следовательно, отношение $\frac{BM}{AM} = 1$.

Из этого следует, что $\frac{BC}{AC} = 1$, что равносильно равенству сторон $BC = AC$.

Объединяя полученные результаты $AB = AC$ и $BC = AC$, мы получаем, что все три стороны треугольника равны между собой:

$AB = BC = AC$

Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что треугольник $ABC$ является равносторонним.

169. Из точки $O$, принадлежащей биссектрисе $BM$ треугольника $ABC$, проведены перпендикуляры $OK$ и $OF$ соответственно к сторонам $AB$ и $AC$. Докажите, что если $OK = OF$, то точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

169. Из точки $O$, принадлежащей биссектрисе $BM$ треугольника $ABC$, проведены перпендикуляры $OK$ и $OF$ соответственно к сторонам $AB$ и $AC$. Докажите, что если $OK = OF$, то точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис. Для доказательства того, что точка $O$ является центром вписанной окружности, необходимо показать, что она является точкой пересечения биссектрис треугольника $ABC$.

1. Согласно условию задачи, точка $O$ принадлежит биссектрисе $BM$ угла $\angle ABC$. Это означает, что точка $O$ уже лежит на одной из биссектрис треугольника — биссектрисе угла $B$.

2. Теперь рассмотрим угол $A$ (или $\angle BAC$), образованный сторонами $AB$ и $AC$. По условию, из точки $O$ к этим сторонам проведены перпендикуляры $OK$ и $OF$. Длины этих перпендикуляров, $OK$ и $OF$, по определению являются расстояниями от точки $O$ до сторон $AB$ и $AC$ соответственно.

3. В условии задачи дано равенство $OK = OF$. Это означает, что точка $O$ равноудалена (находится на одинаковом расстоянии) от сторон угла $\angle BAC$.

4. Согласно свойству биссектрисы угла, любая точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Так как точка $O$ равноудалена от сторон $AB$ и $AC$, она лежит на биссектрисе угла $A$.

5. Таким образом, мы установили, что точка $O$ является точкой пересечения двух биссектрис треугольника $ABC$: биссектрисы угла $B$ (по условию) и биссектрисы угла $A$ (что было доказано). Точка пересечения биссектрис треугольника и является центром вписанной в него окружности.

Следовательно, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

170. Найдите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 7 см.

170. Найдите радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 7 см.

170. В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. В равностороннем треугольнике медианы также являются и высотами.

Радиус описанной окружности, обозначим его $R$, — это расстояние от центра до вершины треугольника. Он равен 2/3 высоты (медианы).

Радиус вписанной окружности, обозначим его $r$, — это расстояние от центра до стороны треугольника. Он равен 1/3 высоты (медианы).

Из этих соотношений следует, что радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности для любого равностороннего треугольника:
$R = 2r$

По условию задачи радиус вписанной окружности $r = 7$ см. Найдем радиус описанной окружности:
$R = 2 \times 7 = 14$ см.

Ответ: 14 см.

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 6 : 5, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен 68 см.

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $6:5$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен $68$ см.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $L$ и $M$ соответственно.

По условию, точка касания делит боковую сторону в отношении $6:5$, считая от вершины угла при основании. Для стороны $AB$ и вершины $A$ (вершина угла при основании) это означает, что $AK:KB = 6:5$.

Пусть $x$ – коэффициент пропорциональности. Тогда длины отрезков равны $AK = 6x$ и $KB = 5x$. Следовательно, длина боковой стороны $AB$ равна: $AB = AK + KB = 6x + 5x = 11x$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных от этой точки до точек касания равны. Следовательно:

• Из вершины $A$: $AM = AK = 6x$.
• Из вершины $B$: $BL = BK = 5x$.
• Из вершины $C$: $CM = CL$.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB = BC$), то $BC = 11x$. С другой стороны, $BC = BL + CL$. Подставим известные значения: $11x = 5x + CL$, откуда $CL = 11x - 5x = 6x$. Значит, $CM = CL = 6x$.

Теперь найдем длину основания $AC$: $AC = AM + MC = 6x + 6x = 12x$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = AB + BC + AC$. Подставим найденные выражения для сторон через $x$: $P = 11x + 11x + 12x = 34x$.

Из условия задачи известно, что периметр равен $68$ см. Составим и решим уравнение: $34x = 68$ $x = \frac{68}{34}$ $x = 2$.

Теперь можем найти длину боковой стороны: Боковая сторона = $11x = 11 \cdot 2 = 22$ см.

Ответ: 22 см.

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 6 см и 9 см. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 3 см.

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 6 см и 9 см. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 3 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник, катеты которого обозначим как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Вписанная окружность касается гипотенузы в точке, которая делит ее на отрезки $x$ и $y$. Согласно условию задачи, длины этих отрезков равны $x = 6 \text{ см}$ и $y = 9 \text{ см}$.

Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин отрезков, на которые ее делит точка касания:
$c = x + y = 6 + 9 = 15 \text{ см}$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Для прямоугольного треугольника это означает, что катеты делятся точками касания на отрезки, один из которых равен соответствующему отрезку на гипотенузе ($x$ или $y$), а другой — радиусу вписанной окружности ($r$).

Таким образом, длины катетов можно выразить следующим образом:
$a = y + r$
$b = x + r$

По условию, радиус вписанной окружности $r = 3 \text{ см}$. Подставим известные значения и найдем длины катетов:
$a = 9 + 3 = 12 \text{ см}$.
$b = 6 + 3 = 9 \text{ см}$.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:
$P = a + b + c = 12 + 9 + 15 = 36 \text{ см}$.

Ответ: 36 см.

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боковые стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$, если периметр треугольника $BPK$ равен 8 см и $AC = 12$ см.

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боковые стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите боковую сторону треугольника $ABC$, если периметр треугольника $BPK$ равен 8 см и $AC = 12$ см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$ и основание $AC = 12$ см. В этот треугольник вписана окружность. Обозначим точки касания окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ как $M$, $N$ и $L$ соответственно.

К вписанной окружности проведена касательная $PK$, где точка $P$ лежит на стороне $AB$, а точка $K$ — на стороне $BC$. Пусть $T$ — точка касания прямой $PK$ с окружностью.

Рассмотрим периметр треугольника $BPK$. Он равен сумме длин его сторон:$P_{BPK} = BP + BK + PK$.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны. Применим это свойство для точек $P$ и $K$:

• Для точки $P$: $PM = PT$.
• Для точки $K$: $KN = KT$.

Длину отрезка $PK$ можно представить как сумму длин отрезков $PT$ и $TK$:$PK = PT + TK$.

Подставим это выражение в формулу периметра треугольника $BPK$ и используем равенства для касательных:$P_{BPK} = BP + BK + (PT + TK) = BP + BK + PM + KN$.

Сгруппируем слагаемые в полученном выражении:$P_{BPK} = (BP + PM) + (BK + KN)$.Поскольку точки $P$ и $M$ лежат на стороне $AB$, а $K$ и $N$ — на $BC$, то суммы в скобках представляют собой длины отрезков $BM$ и $BN$:$BP + PM = BM$$BK + KN = BN$Следовательно, $P_{BPK} = BM + BN$.

Отрезки $BM$ и $BN$ также являются касательными к вписанной окружности, проведенными из одной точки $B$. Значит, их длины равны: $BM = BN$.Тогда периметр треугольника $BPK$ можно выразить как $P_{BPK} = BM + BM = 2 \cdot BM$.

Из условия задачи известно, что $P_{BPK} = 8$ см. Отсюда находим длину отрезка $BM$:$2 \cdot BM = 8 \text{ см}$$BM = 4 \text{ см}$.

Теперь найдем длину отрезка $AM$. Отрезки $AM$ и $AL$ являются касательными, проведенными из вершины $A$, следовательно, $AM = AL$.В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, а центр вписанной окружности лежит на этой высоте. Точка касания $L$ вписанной окружности с основанием $AC$ является его серединой.$AL = \frac{AC}{2} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см}$.Отсюда следует, что $AM = 6$ см.

Боковая сторона $AB$ состоит из отрезков $AM$ и $MB$. Найдем ее длину:$AB = AM + MB = 6 \text{ см} + 4 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

Ответ: 10 см.

174. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AC$ в точке $E$. Найдите $AE$, если $BC = 8$ см, а периметр треугольника $ABC$ равен 20 см.

174. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $AC$ в точке $E$. Найдите $AE$, если $BC = 8$ см, а периметр треугольника $ABC$ равен $20$ см.

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ как $F$, $D$ и $E$ соответственно.

Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков от вершины треугольника до точек касания равны. Таким образом, мы имеем следующие равенства:
$AE = AF$
$BD = BF$
$CE = CD$

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.
По условию задачи, $P_{ABC} = 20$ см и $BC = 8$ см.

Выразим стороны треугольника через отрезки касательных:
$AB = AF + FB$
$BC = BD + DC$
$AC = AE + EC$

Подставим эти выражения в формулу периметра:
$P_{ABC} = (AF + FB) + (BD + DC) + (AE + EC)$
Используя равенства $AF = AE$, $FB = BD$, $DC = CE$, сгруппируем слагаемые:
$P_{ABC} = (AE + AF) + (BD + BF) + (CE + CD) = 2 \cdot AE + 2 \cdot BD + 2 \cdot CE = 2(AE + BD + CE)$

Полупериметр треугольника $p$ равен половине его периметра:
$p = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Из формулы для периметра $P_{ABC} = 2(AE + BD + CE)$ следует, что полупериметр $p = AE + BD + CE$.

Рассмотрим сторону $BC$. Её длина равна $BC = BD + DC$. Так как $DC = CE$, мы можем записать: $BC = BD + CE$.
По условию $BC = 8$ см, следовательно, $BD + CE = 8$ см.

Теперь подставим известное значение суммы $BD + CE$ в выражение для полупериметра:
$p = AE + (BD + CE)$
$10 = AE + 8$

Отсюда находим искомую длину отрезка $AE$:
$AE = 10 - 8 = 2$ см.

Ответ: 2 см.