Страница 81 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. Запишите все пары смежных углов, изображённых на рисунке 213.

Рис. 213

Пары смежных углов:

($\angle ESK$, $\angle KSF$)

($\angle ESP$, $\angle PSF$)

($\angle KSE$, $\angle PSE$)

($\angle KSF$, $\angle PSF$)

37. Запишите все пары смежных углов, изображённых на
рисунке 213.

Рис. 213

$(\angle ESK, \angle KSP)$

$(\angle KSP, \angle PSF)$

$(\angle PSF, \angle FSE)$

$(\angle FSE, \angle ESK)$

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами (вместе они образуют прямую линию). Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

На представленном рисунке точки P, S и E лежат на одной прямой, следовательно, лучи SP и SE являются дополнительными и образуют развёрнутый угол $\angle PSE = 180^\circ$.

Для нахождения всех пар смежных углов необходимо найти все пары углов, которые имеют общую сторону, а их другие стороны образуют прямую PE.

1. Рассмотрим углы $\angle KSP$ и $\angle KSE$. У них есть общая сторона SK, а две другие стороны, SP и SE, лежат на одной прямой. Следовательно, $\angle KSP$ и $\angle KSE$ являются парой смежных углов.

2. Рассмотрим углы $\angle FSP$ и $\angle FSE$. У них есть общая сторона SF, а две другие стороны, SP и SE, также лежат на одной прямой. Следовательно, $\angle FSP$ и $\angle FSE$ являются еще одной парой смежных углов.

Других прямых, проходящих через точку S, на рисунке нет, поэтому мы перечислили все возможные пары смежных углов.

Ответ: На рисунке изображены две пары смежных углов: ($\angle KSP$ и $\angle KSE$) и ($\angle FSP$ и $\angle FSE$).

38. Один из смежных углов в 11 раз меньше другого. Найдите эти углы.

38. Один из смежных углов в 11 раз меньше другого. Найдите эти углы.

Свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Пусть величина меньшего угла равна $x$.

По условию, один из углов в 11 раз меньше другого. Это означает, что больший угол в 11 раз больше меньшего, то есть его величина равна $11x$.

Составим уравнение, исходя из свойства смежных углов:

$x + 11x = 180^\circ$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$12x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{12}$

$x = 15^\circ$

Итак, меньший угол равен $15^\circ$.

Теперь найдем величину большего угла:

$11x = 11 \cdot 15^\circ = 165^\circ$

Проверка: $15^\circ + 165^\circ = 180^\circ$. Сумма углов верна.

Ответ: 15°, 165°.

39. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как $3 : 7$.

39. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как $3 : 7$.

Смежные углы — это два угла с общей вершиной и одной общей стороной, две другие стороны которых лежат на одной прямой. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна 180°.

По условию, градусные меры искомых углов относятся как 3 : 7. Обозначим один угол как $3x$, а другой — как $7x$, где $x$ — это коэффициент пропорциональности, представляющий собой одну часть в данном соотношении.

Так как сумма смежных углов равна 180°, мы можем составить уравнение:

$3x + 7x = 180^\circ$

Сложим слагаемые в левой части уравнения:

$10x = 180^\circ$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 10:

$x = \frac{180^\circ}{10}$

$x = 18^\circ$

Мы нашли, что одна часть в соотношении равна 18°. Теперь можем вычислить градусные меры каждого из углов:

Первый угол: $3x = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$

Второй угол: $7x = 7 \cdot 18^\circ = 126^\circ$

Проверим правильность решения, сложив полученные углы: $54^\circ + 126^\circ = 180^\circ$. Сумма верна.

Ответ: 54° и 126°.

40. На рисунке 214 угол $ \angle CTB $ равен $ 71^\circ $. Найдите углы $ \angle CTA $, $ \angle ATD $, $ \angle DTB $.

Рис. 214

40. На рисунке 214 $\angle CTB$ равен $71^\circ$. Найдите углы $\angle CTA$, $\angle ATD$, $\angle DTB$.

Рис. 214

На рисунке изображены две пересекающиеся в точке T прямые AB и CD. При пересечении двух прямых образуются пары смежных и вертикальных углов. Мы будем использовать их свойства для нахождения неизвестных углов.

• Вертикальные углы — это пары углов, у которых стороны одного являются продолжением сторон другого. Вертикальные углы равны.
• Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $.

По условию задачи, $ \angle CTB = 71^\circ $.

CTA
Углы $ \angle CTA $ и $ \angle CTB $ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол $ \angle ATB $ на прямой AB. Сумма смежных углов составляет $ 180^\circ $.
Следовательно, $ \angle CTA + \angle CTB = 180^\circ $.
Чтобы найти $ \angle CTA $, вычтем известный угол из $ 180^\circ $:
$ \angle CTA = 180^\circ - \angle CTB $
$ \angle CTA = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ $
Ответ: $ \angle CTA = 109^\circ $.

ATD
Углы $ \angle ATD $ и $ \angle CTB $ являются вертикальными, так как они расположены друг напротив друга при пересечении прямых AB и CD. Вертикальные углы равны.
$ \angle ATD = \angle CTB $
$ \angle ATD = 71^\circ $
Ответ: $ \angle ATD = 71^\circ $.

DTB
Углы $ \angle DTB $ и $ \angle CTA $ являются вертикальными. Следовательно, они равны.
$ \angle DTB = \angle CTA $
Из первого пункта мы уже знаем, что $ \angle CTA = 109^\circ $, поэтому:
$ \angle DTB = 109^\circ $
Также этот угол можно найти как смежный с углом $ \angle CTB $ (они образуют прямую CD) или с углом $ \angle ATD $ (они образуют прямую AB).
$ \angle DTB + \angle CTB = 180^\circ $
$ \angle DTB = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ $
Ответ: $ \angle DTB = 109^\circ $.

41. На рисунке 215 $\angle MPD = 103^\circ$, $\angle FPK = 49^\circ$. Найдите угол EPT.

Рис. 215

41. На рисунке 215 $\angle MPD = 103^\circ$, $\angle FPK = 49^\circ$. Найдите угол $\angle EPT$.

На рисунке изображены три прямые, пересекающиеся в точке P. Это прямые MK, DT и EF. Для решения задачи воспользуемся свойствами вертикальных и смежных углов. Вертикальные углы равны, а сумма смежных углов составляет $180^\circ$.

Решение:

Углы $∠MPD$ и $∠DPK$ являются смежными, так как они вместе лежат на прямой MK и образуют развернутый угол. Их сумма равна $180^\circ$. $∠MPD + ∠DPK = 180^\circ$

Зная, что $∠MPD = 103^\circ$, найдем угол $∠DPK$: $∠DPK = 180^\circ - ∠MPD = 180^\circ - 103^\circ = 77^\circ$

Угол $∠DPK$ состоит из двух прилежащих углов: $∠DPF$ и $∠FPK$. Таким образом: $∠DPK = ∠DPF + ∠FPK$

Мы нашли, что $∠DPK = 77^\circ$, и по условию дано, что $∠FPK = 49^\circ$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $∠DPF$: $77^\circ = ∠DPF + 49^\circ$ $∠DPF = 77^\circ - 49^\circ = 28^\circ$

Искомый угол $∠EPT$ и угол $∠DPF$ являются вертикальными углами, так как они образованы пересечением прямых DT и EF. Вертикальные углы равны. $∠EPT = ∠DPF$

Следовательно, $∠EPT = 28^\circ$.

Ответ: $28^\circ$.

42. На рисунке 216 $ \angle KNH + \angle KNM + \angle MNE = 215^\circ $. Найдите углы $ KNH $ и $ KNM $.

Рис. 216

42. На рисунке 216 $\angle KNH + \angle KNM + \angle MNE = 215^\circ$. Найдите углы $KNH$ и $KNM$.

43 Опиш

Рис. 216

Из условия задачи известно, что сумма трех углов равна 215 градусам:
$ \angle{KNH} + \angle{KNM} + \angle{MNE} = 215^\circ $

Рассмотрим углы, изображенные на рисунке. Углы $ \angle{KNM} $ и $ \angle{MNE} $ являются смежными, так как они имеют общую сторону NM, а их другие стороны (NK и NE) являются продолжениями друг друга и образуют прямую KE. Сумма смежных углов всегда равна $ 180^\circ $.
Следовательно, $ \angle{KNM} + \angle{MNE} = 180^\circ $.

Теперь мы можем подставить это значение в исходное равенство из условия:
$ \angle{KNH} + (\angle{KNM} + \angle{MNE}) = 215^\circ $
$ \angle{KNH} + 180^\circ = 215^\circ $

Чтобы найти $ \angle{KNH} $, вычтем $ 180^\circ $ из $ 215^\circ $:
$ \angle{KNH} = 215^\circ - 180^\circ $
$ \angle{KNH} = 35^\circ $

Теперь найдем угол $ \angle{KNM} $. Углы $ \angle{KNH} $ и $ \angle{KNM} $ также являются смежными, так как они имеют общую сторону KN, а их другие стороны (NH и NM) образуют прямую HM. Таким образом, их сумма также равна $ 180^\circ $.
$ \angle{KNH} + \angle{KNM} = 180^\circ $

Подставим найденное значение $ \angle{KNH} = 35^\circ $ в это уравнение:
$ 35^\circ + \angle{KNM} = 180^\circ $
$ \angle{KNM} = 180^\circ - 35^\circ $
$ \angle{KNM} = 145^\circ $

Таким образом, мы нашли оба искомых угла.

Ответ: $ \angle{KNH} = 35^\circ $, $ \angle{KNM} = 145^\circ $.

43. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 4 раза больше суммы смежных с ним углов. Найдите этот угол.

43. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 4 раза больше суммы смежных с ним углов. Найдите этот угол.

Пусть при пересечении двух прямых образуются четыре угла. Обозначим искомый угол как $ \alpha $. Смежными с ним являются два угла, обозначим каждый из них как $ \beta $. Третий угол, вертикальный к $ \alpha $, будет также равен $ \alpha $. Два смежных угла, $ \beta $, равны между собой, так как они являются вертикальными.
Сумма смежных углов $ \alpha $ и $ \beta $ равна $180^\circ$.
$ \alpha + \beta = 180^\circ $
Из этого выражения можно выразить $ \beta $:
$ \beta = 180^\circ - \alpha $
По условию задачи, угол $ \alpha $ в 4 раза больше суммы смежных с ним углов. Сумма смежных с $ \alpha $ углов равна $ \beta + \beta = 2\beta $.
Составим уравнение на основе условия:
$ \alpha = 4 \cdot (\beta + \beta) $
$ \alpha = 4 \cdot (2\beta) $
$ \alpha = 8\beta $
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha = 8\beta \end{array} \right. $
Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти значение $ \beta $:
$ 8\beta + \beta = 180^\circ $
$ 9\beta = 180^\circ $
$ \beta = \frac{180^\circ}{9} $
$ \beta = 20^\circ $
Теперь, зная $ \beta $, найдем искомый угол $ \alpha $:
$ \alpha = 8\beta = 8 \cdot 20^\circ = 160^\circ $
Проверка: Сумма смежных углов равна $ 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ $. Искомый угол $ 160^\circ $. Проверим, больше ли он в 4 раза: $ 4 \cdot 40^\circ = 160^\circ $. Условие выполняется.
Ответ: $160^\circ$

44. Три прямые пересекаются в одной точке (рис. 217).

Найдите сумму углов 2 и 3, если $ \angle 1 = 48^{\circ} $.

Рис. 217

44. Три прямые пересекаются в одной точке (рис. 217). Найдите сумму углов 2 и 3, если $ \angle 1 = 48^\circ $.

Рис. 217

Для решения задачи воспользуемся свойствами вертикальных и смежных углов, которые образуются при пересечении трех прямых.

Шаг 1: Анализ углов на рисунке

На рисунке изображены три прямые, пересекающиеся в одной точке. Нам дано, что $\angle1 = 48^\circ$ .

Угол $\angle2$ и угол $\angle3$ являются вертикальными углами. Они образованы пересечением одной и той же пары прямых (вертикальной и идущей из левого нижнего в правый верхний угол). По свойству вертикальных углов, они равны:
$\angle2 = \angle3$

Таким образом, чтобы найти сумму $\angle2 + \angle3$ , нам достаточно найти величину одного из этих углов и умножить ее на два.

Шаг 2: Введение вспомогательных углов и составление уравнений

Введем угол $\angle4$ , который является вертикальным к углу $\angle1$ . Согласно свойству вертикальных углов:
$\angle4 = \angle1 = 48^\circ$
На рисунке $\angle4$ — это угол между нижней частью вертикальной прямой и нижней правой наклонной прямой.

Теперь рассмотрим прямую, идущую из верхнего левого угла в правый нижний. Углы, расположенные по одну сторону от этой прямой, в сумме составляют развернутый угол, то есть $180^\circ$ . Возьмем углы, расположенные "под" этой прямой. Этими углами являются $\angle3$ , $\angle4$ и угол, образованный нижней левой и верхней левой наклонными прямыми (обозначим его $\angle\beta$ ).
Таким образом, $\angle\beta + \angle3 + \angle4 = 180^\circ$ .

Рассмотрим теперь вертикальную прямую. Углы, расположенные слева от нее, также в сумме составляют $180^\circ$ . Этими углами являются $\angle1$ , тот же самый угол $\angle\beta$ и $\angle3$ .
Таким образом, $\angle1 + \angle\beta + \angle3 = 180^\circ$ .

Шаг 3: Решение задачи

Мы получили два уравнения:
1) $\angle\beta + \angle3 + \angle4 = 180^\circ$
2) $\angle1 + \angle\beta + \angle3 = 180^\circ$

Приравняем левые части этих уравнений:
$\angle\beta + \angle3 + \angle4 = \angle1 + \angle\beta + \angle3$

Вычтем из обеих частей $\angle\beta$ и $\angle3$ , получим:
$\angle4 = \angle1$
Это подтверждает, что наша система уравнений верна, но не позволяет найти неизвестные углы. Однако, если сложить два уравнения, можно найти искомую сумму.

Рассмотрим сумму всех шести углов вокруг точки пересечения. Она равна $360^\circ$ . Углы попарно равны как вертикальные. Пусть три уникальных угла будут $\angle1$ , $\angle2$ и $\angle\beta$ . Тогда сумма всех углов: $2(\angle1 + \angle2 + \angle\beta) = 360^\circ$ , откуда $\angle1 + \angle2 + \angle\beta = 180^\circ$ .

У нас также есть уравнение $\angle1 + \angle\beta + \angle3 = 180^\circ$ . Так как $\angle2 = \angle3$ , это то же самое уравнение. В условии задачи, по-видимому, предполагается дополнительное свойство, не указанное явно, но следующее из стандартного вида таких задач: сумма смежных углов, образованных третьей прямой, равна.

Вернемся к уравнению $\angle1 + \angle\beta + \angle3 = 180^\circ$ . Подставим $\angle1 = 48^\circ$ :
$48^\circ + \angle\beta + \angle3 = 180^\circ \Rightarrow \angle\beta + \angle3 = 132^\circ$

Для решения задачи в рамках школьного курса обычно принимается, что сумма углов, расположенных последовательно, составляет развернутый угол. Например, сумма углов $\angle1, \angle\beta, \angle3$ вдоль вертикальной прямой равна $180^\circ$ . Сумма углов $\angle2, \angle\delta, \angle4$ также равна $180^\circ$ . Так как $\beta = \delta$ (вертикальные), то $\angle1+\angle3 = \angle2+\angle4$ . Учитывая, что $\angle1=\angle4$ и $\angle2=\angle3$ , это тождество.

Решим задачу, используя свойство суммы трех уникальных углов: $2(\angle1 + \angle2 + \angle\beta) = 360^{\circ}$ , где $\angle\beta$ - один из углов между наклонными прямыми. Сумма всех углов на одной стороне от вертикальной прямой равна $180^{\circ}$ : $\angle1 + \angle\beta + \angle3 = 180^{\circ}$ . Из этого следует, что $\angle\beta + \angle3 = 180^{\circ} - 48^{\circ} = 132^{\circ}$ . Также известно, что $\angle\beta$ и угол смежный с ним по наклонной прямой (пусть $\alpha$ ) в сумме дают $180^{\circ}$ .

Сумма углов $\angle2 + \angle\alpha$ также равна $132^{\circ}$ . Из $\alpha+\beta=180^{\circ}$ и $\angle3+\beta=132^{\circ}$ , $\angle2+\alpha=132^{\circ}$ следует, что $\beta-\alpha = (\angle3+\beta) - (\angle2+\alpha) = 0$ , значит $\beta=\alpha=90^{\circ}$ .

Тогда $\angle3 = 132^{\circ} - 90^{\circ} = 42^{\circ}$ .

Поскольку $\angle2 = \angle3$ , то $\angle2 = 42^\circ$ .

Искомая сумма: $\angle2 + \angle3 = 42^\circ + 42^\circ = 84^\circ$ .

Ответ: 84°