Страница 84 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. На рисунке 223 $MF = FP$, $\angle MFK = \angle PFK$. Докажите, что $\triangle MFK = \triangle PFK$.

Рис. 223

61. На рисунке 223 $MF = FP$, $\angle MFK = \angle PFK$. Докажите, что $\Delta MFK = \Delta PFK$.

Рис. 223

Рассмотрим треугольники $ \triangle MFK $ и $ \triangle PFK $. Для того чтобы доказать их равенство, воспользуемся одним из признаков равенства треугольников.

Проанализируем данные из условия задачи и рисунка:
1. Сторона $MF$ треугольника $ \triangle MFK $ равна стороне $FP$ треугольника $ \triangle PFK $ ($MF = FP$) по условию.
2. Угол $ \angle MFK $, образованный сторонами $MF$ и $FK$, равен углу $ \angle PFK $, образованному сторонами $FP$ и $FK$ ($ \angle MFK = \angle PFK $), также по условию.
3. Сторона $FK$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $ \triangle MFK $ (стороны $MF$, $FK$ и угол $ \angle MFK $), которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $ \triangle PFK $ (стороны $FP$, $FK$ и угол $ \angle PFK $).

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, $ \triangle MFK = \triangle PFK $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle MFK $ и $ \triangle PFK $ доказано на основании первого признака равенства треугольников, так как сторона $MF = FP$, угол $ \angle MFK = \angle PFK $ по условию, а сторона $FK$ — общая.

62. На рисунке 224 серединные перпендикуляры $l_1$ и $l_2$ отрезков $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Найдите $OB$, если $OA = OC$ и $OD = 9 \text{ см}$.

Рис. 224

62. На рисунке 224 серединные перпендикуляры $l_1$ и $l_2$ отрезков $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Найдите $OB$, если $OA = OC$ и $OD = 9$ см.

Рис. 224

Решение:

По свойству серединного перпендикуляра, любая точка, лежащая на нем, равноудалена от концов отрезка, к которому он проведен.

1. Точка $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров $l_1$ и $l_2$. Это значит, что точка $O$ принадлежит как перпендикуляру $l_1$, так и перпендикуляру $l_2$.
2. Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $l_1$ к отрезку $AB$, она равноудалена от точек $A$ и $B$. Следовательно, $OA = OB$.
3. Поскольку точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре $l_2$ к отрезку $CD$, она равноудалена от точек $C$ и $D$. Следовательно, $OC = OD$.
4. Из условия задачи известно, что $OD = 9$ см. Исходя из равенства $OC = OD$, получаем, что $OC = 9$ см.
5. Также по условию дано, что $OA = OC$. Так как мы нашли, что $OC = 9$ см, то и $OA = 9$ см.
6. Из пункта 2 мы знаем, что $OA = OB$. Так как $OA = 9$ см, то и $OB = 9$ см.

Таким образом, мы получаем цепочку равенств: $OB = OA = OC = OD = 9$ см.

Ответ: $OB = 9$ см.

63. Серединный перпендикуляр стороны $AC$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Найдите сторону $AB$, если $BC = 4$ см, а периметр треугольника $BEC$ равен 16 см.

63. Серединный перпендикуляр стороны $AC$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Найдите сторону $AB$, если $BC = 4 \text{ см}$, а периметр треугольника $BEC$ равен $16 \text{ см}$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$.

Ключевое свойство серединного перпендикуляра к отрезку заключается в том, что любая точка, лежащая на нем, равноудалена от концов этого отрезка. Поскольку точка $E$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$, она равноудалена от вершин $A$ и $C$. Следовательно, длины отрезков $AE$ и $CE$ равны:

$AE = CE$

Периметр треугольника $BEC$ вычисляется как сумма длин его сторон:

$P_{BEC} = BE + CE + BC$

Из условия задачи известно, что периметр треугольника $BEC$ равен 16 см, а сторона $BC = 4$ см. Подставим эти значения в формулу периметра:

$16 = BE + CE + 4$

Отсюда найдем сумму длин сторон $BE$ и $CE$:

$BE + CE = 16 - 4 = 12$ см

Так как мы установили, что $AE = CE$, мы можем заменить в этом равенстве $CE$ на $AE$:

$BE + AE = 12$ см

Сторона $AB$ треугольника $ABC$ состоит из отрезков $AE$ и $BE$. Таким образом:

$AB = AE + BE$

Следовательно, длина стороны $AB$ равна 12 см.

Ответ: 12 см.

64. На рисунке 225 $BD = FD$, $\angle MBC = \angle KFE$. Докажите, что $\triangle BCD = \triangle FED$.

Рис. 225

64. На рисунке 225 $BD = FD$, $\angle MBC = \angle KFE$. Докажите, что $\triangle BCD = \triangle FED$.

Рис. 225

Чтобы доказать, что $ \triangle BCD = \triangle FED $, мы воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Для этого нам нужно найти в этих треугольниках равную сторону и два равных прилежащих к ней угла.

Доказательство:

1. Рассмотрим углы $ \angle MBC $ и $ \angle CBF $. Они являются смежными, так как их стороны $ MB $ и $ BF $ образуют прямую. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $, поэтому $ \angle CBF = 180^\circ - \angle MBC $.

2. Аналогично, углы $ \angle KFE $ и $ \angle EFB $ являются смежными, так как их стороны $ KF $ и $ FB $ образуют прямую. Поэтому $ \angle EFB = 180^\circ - \angle KFE $.

3. По условию задачи $ \angle MBC = \angle KFE $. Из этого следует, что и смежные с ними углы равны:
$ \angle CBF = 180^\circ - \angle MBC = 180^\circ - \angle KFE = \angle EFB $.

4. Углы $ \angle CBF $ и $ \angle EFB $ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $ BC $ и $ FE $ секущей $ BF $. Поскольку эти накрест лежащие углы равны ($ \angle CBF = \angle EFB $), то по признаку параллельности прямых, прямые $ BC $ и $ FE $ параллельны ($ BC \parallel FE $).

5. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle BCD $ и $ \triangle FED $. Сравним их соответствующие элементы:

• $ BD = FD $ — по условию.
• $ \angle BDC = \angle FDE $ — как вертикальные углы при пересечении прямых $ BF $ и $ CE $.
• $ \angle CBD = \angle EFD $ — как накрест лежащие углы при параллельных прямых $ BC $ и $ FE $ и секущей $ BF $. (Угол $ \angle EFD $ является частью прямой $ BF $, поэтому он совпадает с углом $ \angle EFB $).

Таким образом, сторона $ BD $ и два прилежащих к ней угла ($ \angle CBD $ и $ \angle BDC $) треугольника $ \triangle BCD $ соответственно равны стороне $ FD $ и двум прилежащим к ней углам ($ \angle EFD $ и $ \angle FDE $) треугольника $ \triangle FED $.

Следовательно, $ \triangle BCD = \triangle FED $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle BCD $ и $ \triangle FED $ доказано на основе второго признака равенства треугольников (ASA).

65. На рисунке 226 $\angle EDK = \angle PMK$, $DK = KM$. Докажите, что $KE = KP$.

Рис. 226

65. На рисунке 226 $\angle EDK = \angle PMK$, $DK = KM$. Докажите, что $KE = KP$.

Рис. 226

Для доказательства равенства отрезков $KE$ и $KP$ рассмотрим треугольники $ \triangle DEK $ и $ \triangle MPK $.

Проанализируем известные нам данные:
1. $ \angle EDK = \angle PMK $ (по условию задачи).
2. $ DK = KM $ (по условию задачи).
3. $ \angle DKE = \angle PKM $ (как вертикальные углы, образованные пересечением прямых $DM$ и $EP$).

Мы видим, что сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($ \triangle DEK $) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($ \triangle MPK $).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), треугольники $ \triangle DEK $ и $ \triangle MPK $ равны.

$ \triangle DEK = \triangle MPK $

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных элементов. Сторона $KE$ в треугольнике $ \triangle DEK $ лежит напротив угла $ \angle EDK $. Сторона $KP$ в треугольнике $ \triangle MPK $ лежит напротив угла $ \angle PMK $. Поскольку по условию $ \angle EDK = \angle PMK $, то стороны $KE$ и $KP$ являются соответственными и, следовательно, равными.

Таким образом, $KE = KP$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $KE = KP$ доказано.

66. На рисунке 227 $DP = KE$, $\angle FDP = \angle KEH$, $\angle MKD = \angle NPE$. Докажите, что $MD = NE$.

Рис. 227

66. На рисунке 227 $DP = KE$, $\angle FDP = \angle KEH$, $\angle MKD = \angle NPE$. Докажите, что $MD = NE$.

Для доказательства того, что $MD = NE$, мы рассмотрим несколько пар треугольников и воспользуемся их свойствами, вытекающими из условий задачи.

Дано:

• $DP = KE$
• $\angle FDP = \angle KEH$
• $\angle MKD = \angle NPE$

Доказать:

• $MD = NE$

Доказательство:

1. Пусть прямые $ME$ и $DN$ пересекаются в точке $O$.

2. Рассмотрим углы, смежные с данными в условии. Угол $\angle MDK$ смежный с углом $\angle FDP$, следовательно, $\angle MDK = 180^\circ - \angle FDP$. Угол $\angle NEP$ (который является частью угла $\angle NEH$) смежный с углом $\angle KEH$, следовательно, $\angle NEP = 180^\circ - \angle KEH$. Так как по условию $\angle FDP = \angle KEH$, то и смежные с ними углы равны: $\angle MDK = \angle NEP$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle ODP$ и $\triangle OKE$.

• $DP = KE$ (по условию).
• $\angle DOP = \angle KOE$ (как вертикальные углы).
• Углы $\angle OPD$ и $\angle NPE$ являются смежными, поэтому $\angle OPD = 180^\circ - \angle NPE$.
• Углы $\angle OKE$ и $\angle MKD$ являются смежными, поэтому $\angle OKE = 180^\circ - \angle MKD$.
• По условию $\angle MKD = \angle NPE$, следовательно, $\angle OPD = \angle OKE$.

4. Применим теорему синусов к треугольникам $\triangle ODP$ и $\triangle OKE$.
Для $\triangle ODP$: $\frac{OD}{\sin(\angle OPD)} = \frac{DP}{\sin(\angle DOP)}$
Для $\triangle OKE$: $\frac{OE}{\sin(\angle OKE)} = \frac{KE}{\sin(\angle KOE)}$

5. Из этих равенств выразим $OD$ и $OE$:
$OD = \frac{DP \cdot \sin(\angle OPD)}{\sin(\angle DOP)}$
$OE = \frac{KE \cdot \sin(\angle OKE)}{\sin(\angle KOE)}$
Мы знаем, что $DP = KE$, $\angle OPD = \angle OKE$ и $\angle DOP = \angle KOE$. Подставляя эти равенства, получаем, что правые части выражений для $OD$ и $OE$ равны. Следовательно, $OD = OE$.

6. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle OMD$ и $\triangle ONE$.

• $\angle MOD = \angle NOE$ (как вертикальные углы).
• $\angle MDO = \angle MDK$ и $\angle NEO = \angle NEP$. Из пункта 2 мы знаем, что $\angle MDK = \angle NEP$, следовательно, $\angle MDO = \angle NEO$.
• Поскольку два угла треугольника $\triangle OMD$ соответственно равны двум углам треугольника $\triangle ONE$, то и третьи углы равны: $\angle DMO = \angle ENO$.

Таким образом, треугольники $\triangle OMD$ и $\triangle ONE$ подобны по трем углам ($\triangle OMD \sim \triangle ONE$).

7. Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению соответствующих сторон. Возьмем стороны $OD$ и $OE$: $k = \frac{OD}{OE}$
Из пункта 5 мы доказали, что $OD = OE$. Значит, коэффициент подобия $k=1$.

8. Если коэффициент подобия двух треугольников равен 1, то эти треугольники равны. Следовательно, $\triangle OMD \cong \triangle ONE$.

9. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Таким образом, $MD = NE$.

Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $MD=NE$ доказано на основе равенства треугольников $\triangle OMD$ и $\triangle ONE$, которое, в свою очередь, следует из равенства сторон $OD$ и $OE$, доказанного с помощью теоремы синусов для треугольников $\triangle ODP$ и $\triangle OKE$.

67. На рисунке 228 $EO = OF$, $\angle E = \angle F$. Докажите, что $\triangle COD = \triangle AOB$.

Рис. 228

67. На рисунке 228 $EO = OF$, $\angle E = \angle F$. Докажите, что $\triangle COD = \triangle AOB$.

Рис. 228

Доказательство:

Для доказательства равенства треугольников $\triangle COD$ и $\triangle AOB$ мы сначала докажем равенство двух других пар треугольников, используя данные из условия задачи.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle EOD$ и $\triangle FOB$.
Согласно условию задачи, нам дано:

• $EO = OF$
• $\angle E = \angle F$, что в контексте этих треугольников означает $\angle OED = \angle OFB$.

Кроме того, углы $\angle EOD$ и $\angle FOB$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $BD$ и $EF$. Следовательно, $\angle EOD = \angle FOB$.
Таким образом, $\triangle EOD = \triangle FOB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в частности: $OD = OB$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle EOC$ и $\triangle FOA$.
Согласно условию задачи, нам дано:

• $EO = OF$
• $\angle E = \angle F$, что в контексте этих треугольников означает $\angle OEC = \angle OFA$.

Углы $\angle EOC$ и $\angle FOA$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AC$ и $EF$. Следовательно, $\angle EOC = \angle FOA$.
Таким образом, $\triangle EOC = \triangle FOA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в частности: $OC = OA$.

3. Теперь докажем равенство треугольников $\triangle COD$ и $\triangle AOB$.
Из предыдущих шагов мы установили, что:

• $OD = OB$ (из пункта 1)
• $OC = OA$ (из пункта 2)

Угол $\angle COD$ и угол $\angle AOB$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AC$ и $BD$. Следовательно, $\angle COD = \angle AOB$.
Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в $\triangle COD$, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в $\triangle AOB$.
Следовательно, $\triangle COD = \triangle AOB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle COD$ и $\triangle AOB$ доказано на основе признаков равенства треугольников, исходя из предоставленных в условии данных.