Страница 85 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. На рисунке 229 $AO = OC, MO = OK, AD = BC$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Рис. 229

68. На рисунке 229 $AO = OC$, $MO = OK$, $AD = BC$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Рис. 229

Рассмотрим четырехугольник AMCK. Его диагонали AC и MK пересекаются в точке O. По условию, $AO = OC$ и $MO = OK$. Так как диагонали четырехугольника AMCK в точке пересечения делятся пополам, то, по признаку параллелограмма, четырехугольник AMCK является параллелограммом.

Из свойства параллелограмма следует, что его противолежащие стороны параллельны, то есть $AM \parallel CK$. Поскольку, согласно рисунку, точки M и K лежат на прямых, содержащих стороны AD и BC соответственно, то и прямые, содержащие эти стороны, параллельны: $AD \parallel BC$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. В них:

• Сторона $BC = AD$ (по условию задачи).
• Сторона AC является общей для обоих треугольников.
• Угол $\angle BCA = \angle DAC$, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей AC.

Таким образом, две стороны и угол между ними одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($\triangle CDA$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle CDA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\triangle ABC = \triangle CDA$.

69. На рисунке 230 $BD = BE$, $\angle BDC = \angle BEA$, $\angle ABE = \angle CBD$. Найдите угол BAD, если $\angle BCE = 27^\circ$.

Рис. 230

69. На рисунке 230 $BD = BE, \angle BDC = \angle BEA, \angle ABE = \angle CBD.$ Найдите угол BAD, если $\angle BCE = 27^\circ.$

Рис. 230

Решение

Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CBD$. Из условия задачи нам известно, что:
1) $\angle ABE = \angle CBD$
2) $BE = BD$
3) $\angle BEA = \angle BDC$
В треугольнике $\triangle ABE$ сторона $BE$ является прилежащей к углам $\angle ABE$ и $\angle BEA$. Аналогично, в треугольнике $\triangle CBD$ сторона $BD$ является прилежащей к углам $\angle CBD$ и $\angle BDC$. Таким образом, треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CBD$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA).

Из равенства треугольников $\triangle ABE \cong \triangle CBD$ следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в $\triangle ABE$ лежит напротив угла $\angle BEA$, а сторона $CB$ в $\triangle CBD$ лежит напротив угла $\angle BDC$. Так как по условию $\angle BEA = \angle BDC$, то и противолежащие им стороны равны, то есть $AB = CB$.

Далее рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$.
Угол $\angle ABD$ можно представить как сумму углов: $\angle ABD = \angle ABE + \angle EBD$.
Угол $\angle CBE$ можно представить как сумму углов: $\angle CBE = \angle CBD + \angle EBD$.
Поскольку из условия известно, что $\angle ABE = \angle CBD$, то получаем, что $\angle ABD = \angle CBE$.

Теперь сравним элементы треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$:
1) $AB = CB$ (как было доказано ранее).
2) $\angle ABD = \angle CBE$ (как было доказано ранее).
3) $BD = BE$ (согласно условию).
Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS).

Из равенства треугольников $\triangle ABD \cong \triangle CBE$ следует равенство их соответствующих углов. В $\triangle ABD$ угол $\angle BAD$ лежит напротив стороны $BD$. В $\triangle CBE$ угол $\angle BCE$ лежит напротив стороны $BE$. Так как стороны $BD$ и $BE$ равны ($BD = BE$), то и противолежащие им углы также равны: $\angle BAD = \angle BCE$.

По условию задачи $\angle BCE = 27^\circ$. Отсюда следует, что искомый угол $\angle BAD$ также равен $27^\circ$.

Ответ: $27^\circ$.

70. Основание равнобедренного треугольника равно 11 см, а боковая сторона — 8 см. Найдите периметр треугольника.

70. Основание равнобедренного треугольника равно 11 см, а боковая сторона — 8 см. Найдите периметр треугольника.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием. В условии задачи дано, что основание равно 11 см, а боковая сторона — 8 см. Следовательно, у треугольника есть две боковые стороны по 8 см и одно основание длиной 11 см.

Периметр треугольника ($P$) равен сумме длин всех его сторон. Формула для нахождения периметра в данном случае будет выглядеть так:
$P = a + a + b$
где $a$ — длина боковой стороны, а $b$ — длина основания.

Подставим известные значения в формулу:
$P = 8 \text{ см} + 8 \text{ см} + 11 \text{ см}$

Выполним вычисление:
$P = 16 \text{ см} + 11 \text{ см} = 27 \text{ см}$

Ответ: 27 см.

71. Периметр равнобедренного треугольника равен 29 см, а боковая сторона — 9 см. Найдите основание треугольника.

71. Периметр равнобедренного треугольника равен 29 см, а боковая сторона — 9 см. Найдите основание треугольника.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны.

Пусть $a$ — длина боковой стороны, а $c$ — длина основания.
По условию, $a = 9$ см, а периметр $P = 29$ см.

Формула периметра для равнобедренного треугольника:
$P = a + a + c = 2a + c$

Подставим известные значения в формулу и найдем основание $c$:
$29 = 2 \cdot 9 + c$
$29 = 18 + c$
$c = 29 - 18$
$c = 11$ см.

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше третьей.
$9 + 9 > 11$, то есть $18 > 11$ (верно).
$9 + 11 > 9$, то есть $20 > 9$ (верно).

Ответ: 11 см.

72. Периметр равностороннего треугольника равен 24 см. Одна из его сторон является боковой стороной равнобедренного треугольника, периметр которого равен 20 см. Найдите стороны равнобедренного треугольника.

72. Периметр равностороннего треугольника равен 24 см. Одна из его сторон является боковой стороной равнобедренного треугольника, периметр которого равен 20 см. Найдите стороны равнобедренного треугольника.

1. Найдем длину стороны равностороннего треугольника. Равносторонний треугольник имеет три одинаковые стороны. Пусть длина стороны равна $a$. Периметр $P_{равн}$ такого треугольника вычисляется по формуле: $P_{равн} = 3 \cdot a$ По условию, периметр равен 24 см. Подставим это значение в формулу: $3 \cdot a = 24$ $a = 24 / 3$ $a = 8$ см. Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 8 см.

2. Найдем стороны равнобедренного треугольника. По условию, одна из сторон равностороннего треугольника является боковой стороной равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике две боковые стороны равны. Следовательно, длина каждой боковой стороны $b$ равнобедренного треугольника равна 8 см. $b = 8$ см.

Периметр равнобедренного треугольника $P_{равноб}$ равен сумме длин двух боковых сторон и основания $c$: $P_{равноб} = 2 \cdot b + c$ По условию, периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Подставим известные значения в формулу: $20 = 2 \cdot 8 + c$ $20 = 16 + c$ $c = 20 - 16$ $c = 4$ см. Итак, основание равнобедренного треугольника равно 4 см.

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника для найденных сторон (8 см, 8 см, 4 см): сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны. $8 + 8 > 4$ (16 > 4, верно) $8 + 4 > 8$ (12 > 8, верно) Все условия выполняются, такой треугольник существует.

Ответ: стороны равнобедренного треугольника равны 8 см, 8 см и 4 см.