Страница 87 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. На медиане $BM$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$. Докажите, что если $\angle AKM = \angle CKM$, то треугольник $ABC$ – равнобедренный.

82. На медиане $BM$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$. Докажите, что если $\angle AKM = \angle CKM$, то треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Рассмотрим треугольники $ \triangle AKM $ и $ \triangle CKM $.

По условию задачи, $ BM $ - медиана треугольника $ \triangle ABC $, следовательно, точка $ M $ является серединой стороны $ AC $. Это означает, что отрезки $ AM $ и $ CM $ равны: $ AM = CM $.

Также по условию дано равенство углов $ \angle AKM = \angle CKM $. Сторона $ KM $ является общей для обоих треугольников.

Для доказательства воспользуемся теоремой синусов. Применим ее к треугольнику $ \triangle AKM $:

$ \frac{AK}{\sin(\angle AMK)} = \frac{AM}{\sin(\angle AKM)} $

Теперь применим теорему синусов к треугольнику $ \triangle CKM $:

$ \frac{CK}{\sin(\angle CMK)} = \frac{CM}{\sin(\angle CKM)} $

Углы $ \angle AMK $ и $ \angle CMK $ являются смежными, так как точки $ A, M, C $ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $, то есть $ \angle AMK + \angle CMK = 180^\circ $. Синусы смежных углов равны, поэтому $ \sin(\angle AMK) = \sin(180^\circ - \angle CMK) = \sin(\angle CMK) $.

Из первого уравнения, полученного по теореме синусов, выразим сторону $ AK $: $ AK = \frac{AM \cdot \sin(\angle AMK)}{\sin(\angle AKM)} $.

Из второго уравнения выразим сторону $ CK $: $ CK = \frac{CM \cdot \sin(\angle CMK)}{\sin(\angle CKM)} $.

Сравним правые части этих выражений. Нам известно, что $ AM = CM $, $ \angle AKM = \angle CKM $ (а значит и $ \sin(\angle AKM) = \sin(\angle CKM) $), и мы установили, что $ \sin(\angle AMK) = \sin(\angle CMK) $. Следовательно, правые части выражений для $ AK $ и $ CK $ равны. Это означает, что и левые части должны быть равны, то есть $ AK = CK $.

Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle AKC $. Поскольку две его стороны равны ($ AK = CK $), он является равнобедренным с основанием $ AC $.

Отрезок $ KM $ в этом треугольнике соединяет вершину $ K $ с точкой $ M $, которая является серединой основания $ AC $. Таким образом, $ KM $ является медианой треугольника $ \triangle AKC $. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $ KM \perp AC $.

По условию точка $ K $ лежит на отрезке $ BM $, поэтому отрезок $ KM $ является частью отрезка $ BM $. Если часть отрезка перпендикулярна прямой, то и весь отрезок перпендикулярен этой прямой. Значит, $ BM \perp AC $.

В исходном треугольнике $ \triangle ABC $ отрезок $ BM $ является медианой (по условию) и высотой (как только что было доказано). Если в треугольнике медиана одновременно является высотой, то такой треугольник является равнобедренным.

Следовательно, треугольник $ \triangle ABC $ — равнобедренный, и его боковые стороны $ AB $ и $ BC $ равны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

83. На рисунке 233 $ \angle OME = \angle OEM $, $ \angle PMO = \angle PEO $. Докажите, что $ \triangle MOP = \triangle EOP $.

Рис. 233

83. На рисунке 233 $\angle OME = \angle OEM$, $\angle PMO = \angle PEO$. Докажите, что $\triangle MOP = \triangle EOP$.

Рис. 233

Рассмотрим треугольник $ΔOME$. По условию задачи, $∠OME = ∠OEM$. В треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, треугольник $ΔOME$ является равнобедренным с основанием $ME$, и его боковые стороны равны: $OM = OE$.

Теперь рассмотрим углы $∠PME$ и $∠PEM$. Угол $∠PME$ состоит из суммы двух углов: $∠PME = ∠PMO + ∠OME$. Аналогично, угол $∠PEM$ состоит из суммы углов $∠PEM = ∠PEO + ∠OEM$.

По условию нам даны два равенства:

1) $∠OME = ∠OEM$

2) $∠PMO = ∠PEO$

Сложив левые и правые части этих равенств, получим: $∠PMO + ∠OME = ∠PEO + ∠OEM$. Из этого следует, что $∠PME = ∠PEM$.

Рассмотрим треугольник $ΔPME$. Поскольку в этом треугольнике углы при основании $ME$ равны ($∠PME = ∠PEM$), он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит, $PM = PE$.

Наконец, сравним треугольники $ΔMOP$ и $ΔEOP$. Для этого рассмотрим их стороны:

$OM = OE$ (доказано ранее, так как $ΔOME$ — равнобедренный).
$PM = PE$ (доказано ранее, так как $ΔPME$ — равнобедренный).
$OP$ — общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, три стороны треугольника $ΔMOP$ соответственно равны трем сторонам треугольника $ΔEOP$. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $ΔMOP = ΔEOP$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ΔMOP$ и $ΔEOP$ доказано на основании третьего признака равенства треугольников (по трем сторонам).

84. На стороне $QD$ треугольника $TQD$ отметили точку $F$ так, что $DF : FQ = 1 : 4$. Биссектриса $QE$ пересекает отрезок $TF$ в его середине. Найдите $TQ$, если известно, что $DF = 3$ см.

84. На стороне $QD$ треугольника $TQD$ отметили точку $F$ так, что $DF : FQ = 1 : 4$. Биссектриса $QE$ пересекает отрезок $TF$ в его середине. Найдите $TQ$, если известно, что $DF = 3$ см.

По условию задачи, точка $F$ лежит на стороне $QD$ треугольника $TQD$ и делит ее в отношении $DF : FQ = 1 : 4$. Нам известно, что $DF = 3$ см.

Найдем длину отрезка $FQ$. Так как $DF : FQ = 1 : 4$, то $FQ = 4 \cdot DF$.
$FQ = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Теперь найдем длину всей стороны $QD$:
$QD = DF + FQ = 3 + 12 = 15$ см.

Пусть $M$ – точка пересечения биссектрисы $QE$ и отрезка $TF$. По условию, $M$ является серединой отрезка $TF$, то есть $TM = MF$.

Рассмотрим треугольник $TDF$ и секущую $QME$, которая пересекает сторону $TF$ в точке $M$, сторону $TD$ в точке $E$ и продолжение стороны $DF$ в точке $Q$.

По теореме Менелая для треугольника $TDF$ и секущей $QME$ справедливо равенство:
$\frac{DQ}{QF} \cdot \frac{FM}{MT} \cdot \frac{TE}{ED} = 1$

Подставим в это равенство известные нам отношения:
1. Отношение $\frac{DQ}{QF} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
2. Так как $M$ – середина $TF$, то $\frac{FM}{MT} = 1$.

Получаем:
$\frac{5}{4} \cdot 1 \cdot \frac{TE}{ED} = 1$
Отсюда находим отношение, в котором биссектриса делит сторону $TD$:
$\frac{TE}{ED} = \frac{4}{5}$

Теперь применим свойство биссектрисы для треугольника $TQD$. Биссектриса $QE$ делит противолежащую сторону $TD$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам $TQ$ и $QD$:
$\frac{TQ}{QD} = \frac{TE}{ED}$

Мы уже нашли, что $\frac{TE}{ED} = \frac{4}{5}$, следовательно:
$\frac{TQ}{QD} = \frac{4}{5}$

Выразим $TQ$:
$TQ = \frac{4}{5} \cdot QD$
Подставим известное значение $QD = 15$ см:
$TQ = \frac{4}{5} \cdot 15 = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

85. На рисунке 234 $AB = CD$, $BC = AD$. Найдите $\angle ADC$, если $\angle ABC = 118^{\circ}$.

Рис. 234

85. На рисунке 234 $AB = CD$, $BC = AD$. Найдите $\angle ADC$, если $\angle ABC = 118^{\circ}$.

Рис. 234

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Проведем диагональ $AC$, которая разделит его на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Сравним эти треугольники. По условию задачи нам даны равенства сторон: $AB = CD$ и $BC = AD$. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников. Таким образом, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Так как треугольники равны, то равны и их соответственные элементы, в том числе и углы. Угол $\angle ADC$ в треугольнике $\triangle CDA$ и угол $\angle ABC$ в треугольнике $\triangle ABC$ являются соответственными, так как лежат напротив общей стороны $AC$. Следовательно, эти углы равны друг другу: $\angle ADC = \angle ABC$.

По условию $\angle ABC = 118^\circ$, значит, $\angle ADC = 118^\circ$.

Ответ: $118^\circ$.

86. На сторонах $BC$ и $B_1C_1$ треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $D$ и $D_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AD = A_1D_1$, $BD = B_1D_1$, $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$.

86. На сторонах $BC$ и $B_1C_1$ треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $D$ и $D_1$. Докажите равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$, если $AD = A_1D_1$, $BD = B_1D_1$, $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$.

Для доказательства равенства треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ воспользуемся данными из условия задачи.

Шаг 1: Докажем равенство треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $. По условию нам известно, что:
1. $ AB = A_1B_1 $ (сторона)
2. $ BD = B_1D_1 $ (сторона)
3. $ AD = A_1D_1 $ (сторона)

Поскольку три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то $ \triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1 $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Шаг 2: Используем результат равенства $ \triangle ABD $ и $ \triangle A_1B_1D_1 $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Следовательно, угол $ \angle ABD $ равен углу $ \angle A_1B_1D_1 $.

Поскольку точка $ D $ лежит на стороне $ BC $, то угол $ \angle ABD $ совпадает с углом $ \angle ABC $. Аналогично, точка $ D_1 $ лежит на стороне $ B_1C_1 $, поэтому угол $ \angle A_1B_1D_1 $ совпадает с углом $ \angle A_1B_1C_1 $. Таким образом, мы доказали, что $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $.

Шаг 3: Докажем равенство треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $.

Теперь рассмотрим исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. У них:
1. $ AB = A_1B_1 $ (по условию)
2. $ BC = B_1C_1 $ (по условию)
3. $ \angle ABC = \angle A_1B_1C_1 $ (доказано в шаге 2)

Таким образом, треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: Равенство треугольников $ ABC $ и $ A_1B_1C_1 $ доказано, что и требовалось сделать.

87. На рисунке 235 $AB = BC$ и $AD = DC$. Докажите, что $AE = EC$.

Рис. 235

87. На рисунке 235 $AB = BC$ и $AD = DC$. Докажите, что $AE = EC$.

Рис. 235

Для доказательства равенства отрезков $AE$ и $EC$ необходимо доказать равенство треугольников, в которые они входят в качестве сторон, например, $\triangle ABE$ и $\triangle CBE$.

1. Сначала рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

У них:
- $AB = BC$ по условию,
- $AD = DC$ по условию,
- $BD$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABD = \triangle CBD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

2. Из равенства треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ следует равенство их соответствующих углов. Нас интересуют углы $\angle ABD$ и $\angle CBD$. Таким образом, $\angle ABD = \angle CBD$. Поскольку точка $E$ лежит на отрезке $BD$, то $\angle ABE = \angle CBE$.

3. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CBE$.

У них:
- $AB = BC$ по условию,
- $BE$ — общая сторона,
- $\angle ABE = \angle CBE$ из предыдущего пункта.

Следовательно, $\triangle ABE = \triangle CBE$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Так как треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CBE$ равны, то их соответствующие стороны также равны. Отсюда следует, что $AE = EC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AE = EC$.

88. На рисунке 236 $AB = CD$, $BC = AD$, $\angle BAF = \angle DCE$. Найдите $CE$, если $AF = 8$ см.

Рис. 236

88. На рисунке 236 $AB = CD$, $BC = AD$, $\angle BAF = \angle DCE$. Найдите CE, если $AF = 8$ см.

Рис. 236

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи его противолежащие стороны попарно равны: $AB = CD$ и $BC = AD$. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Одним из свойств параллелограмма является то, что его противолежащие стороны параллельны. Таким образом, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ ($AB \parallel CD$).

Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $BD$. Углы $\angle ABD$ и $\angle CDB$ являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, такие углы равны, то есть $\angle ABD = \angle CDB$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABF$ и $\triangle CDE$. Сравним их:
1. $AB = CD$ (по условию задачи).
2. $\angle BAF = \angle DCE$ (по условию задачи).
3. $\angle ABF = \angle CDE$ (поскольку это те же углы, что и $\angle ABD$ и $\angle CDB$, равенство которых было доказано выше).

Таким образом, треугольник $\triangle ABF$ равен треугольнику $\triangle CDE$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что их соответственные стороны равны. Сторона $CE$ в треугольнике $\triangle CDE$ соответствует стороне $AF$ в треугольнике $\triangle ABF$. Следовательно, $CE = AF$.

По условию $AF = 8$ см, значит, и $CE$ также равно 8 см.

Ответ: 8 см.