Страница 89 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. На рисунке 242 $ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $, $ \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ $. Докажите, что прямые a и c параллельны.

Рис. 242

94. На рисунке 242 $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$, $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. Докажите, что прямые $a$ и $c$ параллельны.

Рис. 242

По условию задачи нам даны два равенства:

$∠1 + ∠2 = 180°$

$∠2 + ∠3 = 180°$

Поскольку правые части обоих равенств равны (180°), мы можем приравнять их левые части:

$∠1 + ∠2 = ∠2 + ∠3$

Вычтем из обеих частей этого равенства величину угла $∠2$:

$∠1 + ∠2 - ∠2 = ∠2 + ∠3 - ∠2$

$∠1 = ∠3$

Теперь рассмотрим прямые a и c, пересеченные секущей m. Углы $∠1$ и $∠3$ являются накрест лежащими углами при этих прямых и секущей.

Согласно признаку параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Так как мы доказали, что $∠1 = ∠3$, то прямые a и c параллельны ($a \parallel c$), что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых a и c доказана.

95. На рисунке 243 $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$. Докажите, что прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны.

Рис. 243

95. На рисунке 243 $AB = A_1 B_1$, $AC = A_1 C_1$, $\angle BAC = \angle B_1 A_1 C_1$. Докажите, что прямые $BC$ и $B_1 C_1$ параллельны.

Для доказательства параллельности прямых $BC$ и $B_1C_1$ рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

По условию задачи нам дано:

1. $AB = A_1B_1$ (равные стороны)
2. $AC = A_1C_1$ (равные стороны)
3. $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (равные углы между этими сторонами)

На основании этих данных, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), мы можем заключить, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Из равенства треугольников следует, что все их соответствующие элементы равны, включая углы. Следовательно, угол $\angle BCA$ треугольника $ABC$ равен соответствующему углу $\angle B_1C_1A_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. То есть, $\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$.

Теперь рассмотрим прямые $BC$ и $B_1C_1$ и прямую $AA_1$, которая их пересекает и является секущей. Углы $\angle BCA$ и $\angle B_1C_1A_1$ являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых $BC$ и $B_1C_1$ секущей $AA_1$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Так как мы доказали, что $\angle BCA = \angle B_1C_1A_1$, то прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны ($BC \parallel B_1C_1$).

Ответ: Прямые $BC$ и $B_1C_1$ параллельны.

96. На рисунке 244 $KP = FP$, $\angle MFK = \angle EFK$, $FK \perp ME$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Рис. 244

96. На рисунке 244 $KP = FP$, $\angle MFK = \angle EFK$, $FK \perp ME$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\Delta KPE$ и $\Delta FPE$. По условию задачи прямая $FK$ перпендикулярна прямой $ME$ ($FK \perp ME$), следовательно, углы, образованные их пересечением, прямые: $\angle KPE = \angle FPE = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $\Delta KPE$ и $\Delta FPE$ являются прямоугольными.

2. В этих прямоугольных треугольниках:

• катет $KP$ равен катету $FP$ по условию ($KP = FP$);
• катет $PE$ является общим для обоих треугольников.

3. Следовательно, прямоугольные треугольники $\Delta KPE$ и $\Delta FPE$ равны по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их углы: $\angle PKE = \angle PFE$.

5. Угол $\angle PKE$ — это тот же самый угол, что и $\angle FKE$. Угол $\angle PFE$ — это тот же самый угол, что и $\angle KFE$. Таким образом, из равенства $\angle PKE = \angle PFE$ следует, что $\angle FKE = \angle KFE$.

6. Также, по условию задачи нам дано, что $\angle MFK = \angle EFK$. Угол $\angle EFK$ и угол $\angle KFE$ — это один и тот же угол. Значит, мы можем записать, что $\angle MFK = \angle KFE$.

7. Теперь сопоставим равенства, полученные в пунктах 5 и 6:

• $\angle FKE = \angle KFE$
• $\angle MFK = \angle KFE$

Из этих двух равенств следует, что $\angle FKE = \angle MFK$.

8. Углы $\angle FKE$ и $\angle MFK$ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $KF$.

9. Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны. Поскольку мы доказали, что $\angle FKE = \angle MFK$, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $AB$ и $CD$ доказана.

97. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из этих углов равен $138^\circ$.

97. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из этих углов равен $138^\circ$.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется 8 углов. Все эти углы либо равны друг другу, либо их сумма составляет $180^\circ$. В данном случае образуются две группы по четыре равных угла.

По условию, один из углов равен $138^\circ$. Это один из четырёх равных тупых углов. Углы, вертикальные и соответственные ему, также будут равны $138^\circ$.

Остальные четыре угла будут острыми. Они являются смежными к углам в $138^\circ$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Чтобы найти величину острого угла, нужно вычесть из $180^\circ$ величину тупого угла:

$180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$

Таким образом, при пересечении образуются четыре угла по $138^\circ$ и четыре угла по $42^\circ$.

Ответ: Четыре угла равны $138^\circ$, и четыре угла равны $42^\circ$.