Страница 94 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Прямоугольные треугольники $NKF (\angle N = 90^\circ)$ и $NKS (\angle K = 90^\circ)$ имеют общий катет $NK$, а точки $F$ и $S$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $NK$. Докажите, что если $KF = NS$, то прямые $KF$ и $NS$ параллельны.

136. Прямоугольные треугольники NKF ($\angle N = 90^\circ$) и NKS ($\angle K = 90^\circ$) имеют общий катет NK, а точки F и S лежат в разных полуплоскостях относительно прямой NK. Докажите, что если $KF = NS$, то прямые KF и NS параллельны.

Дано:

$\triangle NKF$ и $\triangle NKS$ — прямоугольные треугольники.

В $\triangle NKF$: $\angle FNK = 90^\circ$.

В $\triangle NKS$: $\angle NKS = 90^\circ$.

$NK$ — общий катет.

Точки $F$ и $S$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $NK$.

$KF = NS$.

Доказать:

$KF \parallel NS$.

Доказательство:

1. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle FNK$ и $\triangle SKN$.

2. В треугольнике $\triangle FNK$ угол $\angle FNK = 90^\circ$. Следовательно, $NF$ и $NK$ являются катетами, а $KF$ — гипотенузой. По теореме Пифагора:

$KF^2 = NF^2 + NK^2$

3. В треугольнике $\triangle NKS$ угол $\angle NKS = 90^\circ$. Следовательно, $NK$ и $KS$ являются катетами, а $NS$ — гипотенузой. По теореме Пифагора:

$NS^2 = NK^2 + KS^2$

4. Из условия задачи известно, что $KF = NS$. Если равны длины отрезков, то равны и их квадраты: $KF^2 = NS^2$.

5. Приравняем правые части выражений для $KF^2$ и $NS^2$:

$NF^2 + NK^2 = NK^2 + KS^2$

6. Вычтем из обеих частей равенства $NK^2$:

$NF^2 = KS^2$

Так как длины отрезков — величины положительные, отсюда следует, что $NF = KS$.

7. Теперь рассмотрим четырехугольник $FKSN$. Из условия задачи нам дано, что $NF \perp NK$ (так как $\angle FNK = 90^\circ$) и $KS \perp NK$ (так как $\angle NKS = 90^\circ$).

8. Согласно свойству, если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $NF \parallel KS$.

9. Мы установили, что в четырехугольнике $FKSN$ две противоположные стороны $NF$ и $KS$ равны ($NF = KS$) и параллельны ($NF \parallel KS$). По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

10. Так как $FKSN$ — параллелограмм, то его другие противоположные стороны, $KF$ и $NS$, также параллельны.

Следовательно, $KF \parallel NS$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, прямые $KF$ и $NS$ параллельны.

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по высоте, проведённой из вершины прямого угла, и одному из отрезков, на которые эта высота делит гипотенузу.

137. Докажите равенство прямоугольных треугольников по высоте, проведённой из вершины прямого угла, и одному из отрезков, на которые эта высота делит гипотенузу.

Для доказательства утверждения рассмотрим два прямоугольных треугольника, удовлетворяющих условию задачи.

Дано:

Пусть даны два прямоугольных треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $, в которых $ \angle C = \angle C_1 = 90^\circ $.
Пусть $CD$ — высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, а $C_1D_1$ — высота, проведенная из вершины прямого угла $C_1$ к гипотенузе $A_1B_1$. Точка $D$ лежит на $AB$, а точка $D_1$ — на $A_1B_1$.
Согласно условию, высота одного треугольника равна высоте другого, и один из отрезков, на которые высота делит гипотенузу, равен соответствующему отрезку другого треугольника.
Пусть $CD = C_1D_1$ и $AD = A_1D_1$.

Доказать:

$ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $ \triangle ADC $ и $ \triangle A_1D_1C_1 $. Так как $CD$ и $C_1D_1$ являются высотами к гипотенузам, то $ \angle ADC = 90^\circ $ и $ \angle A_1D_1C_1 = 90^\circ $. Следовательно, эти треугольники — прямоугольные.

2. В прямоугольных треугольниках $ \triangle ADC $ и $ \triangle A_1D_1C_1 $ катет $AD$ равен катету $A_1D_1$ и катет $CD$ равен катету $C_1D_1$ по условию.

3. Таким образом, $ \triangle ADC \cong \triangle A_1D_1C_1 $ по двум катетам.

4. Из равенства треугольников $ \triangle ADC \cong \triangle A_1D_1C_1 $ следует равенство их соответствующих элементов: гипотенузы $AC = A_1C_1$ и острого угла $ \angle A = \angle A_1 $.

5. Теперь рассмотрим исходные треугольники $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $. Они оба прямоугольные с прямыми углами $C$ и $C_1$.

6. Мы установили, что катет $AC$ треугольника $ \triangle ABC $ равен катету $A_1C_1$ треугольника $ \triangle A_1B_1C_1 $, и прилежащий к этому катету острый угол $ \angle A $ равен углу $ \angle A_1 $.

7. Следовательно, $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $ по катету и прилежащему острому углу.

Что и требовалось доказать.

Случай, когда по условию даны $CD = C_1D_1$ и $DB = D_1B_1$, доказывается аналогично. В этом случае сначала доказывается равенство $ \triangle CDB \cong \triangle C_1D_1B_1 $ по двум катетам, из чего следует, что $BC = B_1C_1$ и $ \angle B = \angle B_1 $. Затем доказывается равенство $ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $ по катету $BC$ и прилежащему острому углу $ \angle B $.

Ответ: Равенство прямоугольных треугольников по высоте, проведённой из вершины прямого угла, и одному из отрезков, на которые эта высота делит гипотенузу, доказано.

138. В остроугольных треугольниках $DEF$ и $D_1E_1F_1$ провели высоты $DK$ и $D_1K_1$. Докажите, что если $DF = D_1F_1$, $DK = D_1K_1$, $EK = E_1K_1$, то $\triangle DEF = \triangle D_1E_1F_1$.

138. В остроугольных треугольниках $DEF$ и $D_1E_1F_1$ провели высоты $DK$ и $D_1K_1$. Докажите, что если $DF = D_1F_1$, $DK = D_1K_1$, $EK = E_1K_1$, то $\Delta DEF = \Delta D_1E_1F_1$.

Дано:
$ \triangle DEF $ и $ \triangle D_1E_1F_1 $ — остроугольные треугольники.
$ DK \perp EF $ и $ D_1K_1 \perp E_1F_1 $ — высоты.
$ DF = D_1F_1 $
$ DK = D_1K_1 $
$ EK = E_1K_1 $

Доказать:
$ \triangle DEF = \triangle D_1E_1F_1 $

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle DKF $ и $ \triangle D_1K_1F_1 $. Углы $ \angle DKF $ и $ \angle D_1K_1F_1 $ равны $90^\circ$, так как $DK$ и $D_1K_1$ — высоты. В этих треугольниках:

• гипотенуза $ DF $ равна гипотенузе $ D_1F_1 $ (по условию);
• катет $ DK $ равен катету $ D_1K_1 $ (по условию).

Следовательно, $ \triangle DKF = \triangle D_1K_1F_1 $ по гипотенузе и катету. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих элементов: $ KF = K_1F_1 $ и $ \angle F = \angle F_1 $.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $ \triangle DKE $ и $ \triangle D_1K_1E_1 $. В них:

• катет $ DK $ равен катету $ D_1K_1 $ (по условию);
• катет $ EK $ равен катету $ E_1K_1 $ (по условию).

Следовательно, $ \triangle DKE = \triangle D_1K_1E_1 $ по двум катетам. Из этого равенства следует, что гипотенуза $ DE $ равна гипотенузе $ D_1E_1 $.

3. Теперь сравним стороны треугольников $ \triangle DEF $ и $ \triangle D_1E_1F_1 $. Так как треугольники остроугольные, основания высот $K$ и $K_1$ лежат на сторонах $EF$ и $E_1F_1$ соответственно. Тогда $ EF = EK + KF $ и $ E_1F_1 = E_1K_1 + K_1F_1 $. Поскольку $ EK = E_1K_1 $ (по условию) и $ KF = K_1F_1 $ (из п. 1), то $ EF = E_1F_1 $.

4. Таким образом, в треугольниках $ \triangle DEF $ и $ \triangle D_1E_1F_1 $ соответствующие стороны равны:

• $ DE = D_1E_1 $ (из п. 2)
• $ DF = D_1F_1 $ (по условию)
• $ EF = E_1F_1 $ (из п. 3)

Следовательно, $ \triangle DEF = \triangle D_1E_1F_1 $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle DEF $ и $ \triangle D_1E_1F_1 $ доказано.

139. Стороны прямоугольного треугольника равны 7 см, 24 см и 25 см. Укажите длины катетов и гипотенузы этого треугольника.

139. Стороны прямоугольного треугольника равны 7 см, 24 см и 25 см. Укажите длины катетов и гипотенузы этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза — это сторона, лежащая напротив прямого угла, и она всегда является самой длинной стороной. Две другие стороны, образующие прямой угол, называются катетами.

Даны стороны треугольника: 7 см, 24 см и 25 см.

Чтобы определить, какие из них являются катетами, а какая — гипотенузой, необходимо сравнить их длины:

7 < 24 < 25

Наибольшая длина составляет 25 см, следовательно, это гипотенуза. Две оставшиеся стороны, 7 см и 24 см, являются катетами.

Для проверки можно применить теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$).

Пусть катеты $a = 7$ см и $b = 24$ см, а гипотенуза $c = 25$ см.

Проверим равенство:

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$

$25^2 = 625$

Поскольку $625 = 625$, равенство выполняется, что подтверждает правильность нашего определения.

Ответ: длины катетов равны 7 см и 24 см, а длина гипотенузы — 25 см.

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведенная к гипотенузе, равны 12 см, 15 см, 20 см и 25 см. Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведенной к гипотенузе.

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведённая к гипотенузе, равны 12 см, 15 см, 20 см и 25 см. Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведённой к гипотенузе.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, гипотенузу как $c$, а высоту, проведённую к гипотенузе, как $h$. Нам дан набор из четырех длин: 12 см, 15 см, 20 см и 25 см, которые соответствуют этим четырем отрезкам. Для определения, какая длина какому отрезку соответствует, воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника.

Гипотенуза

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной ($c > a$ и $c > b$). Следовательно, из предложенного набора чисел {12, 15, 20, 25} гипотенуза $c$ должна иметь наибольшую длину.

Ответ: гипотенуза равна 25 см.

Высота, проведённая к гипотенузе

Высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, всегда короче каждого из катетов ($h < a$ и $h < b$). Это следует из того, что в маленьких прямоугольных треугольниках, на которые высота делит исходный, эта высота является катетом, а катеты исходного треугольника ($a$ и $b$) — гипотенузами. Таким образом, высота $h$ должна быть самым коротким отрезком из всех четырех.

Ответ: высота, проведённая к гипотенузе, равна 12 см.

Катеты

Оставшиеся два числа из набора, 15 см и 20 см, являются длинами катетов $a$ и $b$. Для проверки правильности нашего распределения используем два ключевых свойства прямоугольного треугольника:

1. Теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$).
Проверим: $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$.
Квадрат гипотенузы: $25^2 = 625$.
Равенство $625 = 625$ выполняется, значит, стороны определены верно.

2. Формула площади через катеты и через высоту к гипотенузе: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$, откуда следует $ab = ch$.
Проверим: $15 \cdot 20 = 300$.
Произведение гипотенузы на высоту: $25 \cdot 12 = 300$.
Равенство $300 = 300$ также выполняется, что подтверждает наш вывод.

Ответ: катеты равны 15 см и 20 см.

141. На рисунке 254 $\angle FEK = 90^\circ$, $\angle EDK = 90^\circ$. Докажите, что $FK > DE$.

Рис. 254

141. На рисунке 254 $\angle FEK = 90^\circ$, $\angle EDK = 90^\circ$. Докажите, что $FK > DE$.

Рис. 254

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $FEK$. По условию задачи $\angle FEK = 90^{\circ}$, следовательно, $\triangle FEK$ является прямоугольным. В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой и является самой длинной стороной. В $\triangle FEK$ гипотенузой является сторона $FK$, а сторона $EK$ — катетом. Таким образом, справедливо неравенство: $FK > EK$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $EDK$. По условию задачи $\angle EDK = 90^{\circ}$, следовательно, $\triangle EDK$ также является прямоугольным. В этом треугольнике сторона $EK$ лежит напротив прямого угла, значит, $EK$ — это гипотенуза, а сторона $DE$ — катет. Таким образом, справедливо неравенство: $EK > DE$.

3. Мы получили систему из двух неравенств:
$FK > EK$
$EK > DE$
По свойству транзитивности неравенств (если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$), из этих двух неравенств следует, что $FK > DE$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $FK > DE$.

142. Из точки C к прямой AB проведены наклонные $CA$ и $CB$ и перпендикуляр $CD$ так, что точка $D$ лежит между точками $A$ и $B$ и $\angle CBD = 59^\circ$. Сравните отрезки $AC$ и $BD$.

142. Из точки $C$ к прямой $AB$ проведены наклонные $CA$ и $CB$ и перпендикуляр $CD$ так, что точка $D$ лежит между точками $A$ и $B$ и $\angle CBD = 59^\circ$. Сравните отрезки $AC$ и $BD$.

По условию, из точки $C$ к прямой $AB$ проведен перпендикуляр $CD$, значит, треугольники $ΔCDA$ и $ΔCDB$ являются прямоугольными, где $\angle CDA = \angle CDB = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔCDB$. Нам известны два его угла: $\angle CDB = 90^\circ$ и $\angle CBD = 59^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти третий угол, $\angle DCB$:

$\angle DCB = 180^\circ - \angle CDB - \angle CBD = 180^\circ - 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ$.

В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. Сравним катеты $CD$ и $BD$ в треугольнике $ΔCDB$. Катет $CD$ лежит напротив угла $\angle CBD = 59^\circ$. Катет $BD$ лежит напротив угла $\angle DCB = 31^\circ$.

Так как $\angle CBD > \angle DCB$ ($59^\circ > 31^\circ$), то сторона, лежащая напротив большего угла, длиннее. Следовательно, $CD > BD$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔCDA$. В этом треугольнике отрезок $AC$ является гипотенузой, а $CD$ — катетом. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов, поэтому $AC > CD$.

Мы получили два неравенства: $AC > CD$ и $CD > BD$. Используя свойство транзитивности для неравенств, мы можем заключить, что $AC > BD$.

Ответ: $AC > BD$.

143. В прямоугольном треугольнике MDS катет DS равен 28 см, $\angle D = 60^{\circ}$. Найдите гипотенузу DM.

143. В прямоугольном треугольнике $MDS$ катет $DS$ равен 28 см, $\angle D = 60^\circ$. Найдите гипотенузу $DM$.

По условию задачи, нам дан прямоугольный треугольник MDS, в котором DS является катетом. Это означает, что угол при вершине S — прямой, то есть $ \angle S = 90^\circ $. Сторона DM, лежащая напротив прямого угла, является гипотенузой, а MS — вторым катетом.

Известны следующие данные:
Длина катета $ DS = 28 $ см.
Величина угла, прилежащего к катету DS, $ \angle D = 60^\circ $.

Для того чтобы найти длину гипотенузы DM, воспользуемся определением косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике. Косинус угла равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

Запишем это соотношение для угла $ \angle D $:
$ \cos(\angle D) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{DS}{DM} $

Подставим в формулу известные значения:
$ \cos(60^\circ) = \frac{28}{DM} $

Значение косинуса 60 градусов является стандартной тригонометрической величиной и равно $ \frac{1}{2} $.
Подставим это значение в наше уравнение:
$ \frac{1}{2} = \frac{28}{DM} $

Теперь выразим DM из этого уравнения, используя основное свойство пропорции:
$ DM \cdot 1 = 28 \cdot 2 $
$ DM = 56 $ см.

Ответ: 56 см.

144. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 60^\circ$. На катете $BC$ отметили такую точку $D$, что $\angle BDA = 120^\circ$. Найдите $BC$, если $AD = 12$ см.

144. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 60^\circ$. На катете $BC$ отметили такую точку $D$, что $\angle BDA = 120^\circ$. Найдите $BC$, если $AD = 12$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, это прямоугольный треугольник с $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти угол $B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. Нам известны два его угла: $\angle B = 30^\circ$ (как мы нашли выше) и $\angle BDA = 120^\circ$ (по условию). Найдем третий угол, $\angle BAD$:

$\angle BAD = 180^\circ - \angle B - \angle BDA = 180^\circ - 30^\circ - 120^\circ = 30^\circ$.

Поскольку в треугольнике $ABD$ два угла равны ($\angle B = \angle BAD = 30^\circ$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $DB = AD$. Так как по условию $AD = 12$ см, то и $DB = 12$ см.

Угол $\angle A$ (или $\angle BAC$) равен $60^\circ$. Мы нашли, что его часть, угол $\angle BAD$, равна $30^\circ$. Тогда другая его часть, угол $\angle CAD$, будет равна:

$\angle CAD = \angle BAC - \angle BAD = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ (так как $\angle C = 90^\circ$). В нем гипотенуза $AD = 12$ см, а катет $CD$ лежит напротив угла $\angle CAD = 30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы:

$CD = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Искомая длина катета $BC$ складывается из длин отрезков $CD$ и $DB$:

$BC = CD + DB = 6 \text{ см} + 12 \text{ см} = 18$ см.

Ответ: 18 см.

145. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $(\angle C = 90^\circ)$ провели высоту $CD$. Найдите угол $BCD$, если $AB = 10$ см, $BC = 5$ см.

145. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) провели высоту $CD$. Найдите угол $BCD$, если $AB = 10$ см, $BC = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. По условию, $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = 10$ см, катет $BC = 5$ см.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ можно найти величину острого угла $B$ (также известного как $\angle ABC$) с помощью тригонометрических соотношений. Используем определение косинуса, который равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle B) = \frac{BC}{AB}$

Подставим известные значения длин сторон:

$\cos(\angle B) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle B = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. По условию, $CD$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Это означает, что отрезок $CD$ перпендикулярен стороне $AB$, и, следовательно, $\angle CDB = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $BCD$ также является прямоугольным.

Сумма острых углов в любом прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. В треугольнике $BCD$ острыми углами являются $\angle B$ и $\angle BCD$. Значит, их сумма равна $90^\circ$:

$\angle B + \angle BCD = 90^\circ$

Мы уже определили, что $\angle B = 60^\circ$. Подставим это значение в полученное равенство:

$60^\circ + \angle BCD = 90^\circ$

Чтобы найти искомый угол $\angle BCD$, вычтем $60^\circ$ из $90^\circ$:

$\angle BCD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.