Страница 95 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $(\angle C = 90^\circ)$ провели высоту $CM$. Найдите гипотенузу $AB$, если $AC = 12$ см, $AM = 6$ см.

146. В прямоугольном треугольнике ABC ($\angle C = 90^\circ$) провели высоту CM. Найдите гипотенузу AB, если $\text{AC} = 12 \text{ см}$, $\text{AM} = 6 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Высота $CM$ проведена из вершины прямого угла к гипотенузе $AB$. Отрезок $AM$ является проекцией катета $AC$ на гипотенузу $AB$.

Для решения задачи воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Одно из них гласит, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу. Для катета $AC$ это соотношение выглядит так:

$AC^2 = AM \cdot AB$

По условию задачи нам известны следующие значения:

Катет $AC = 12$ см.

Проекция катета $AM = 6$ см.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти длину гипотенузы $AB$:

$12^2 = 6 \cdot AB$

$144 = 6 \cdot AB$

Выразим $AB$ из полученного уравнения:

$AB = \frac{144}{6}$

$AB = 24$ см.

Ответ: 24 см.

147. На рисунке 255 $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle AEC = 90^\circ$. Найдите угол $CAE$, если $AB = 20$ см, $CE = 5$ см.

147. На рисунке 255 $ \angle ACB = 90^\circ $, $ \angle BAC = 60^\circ $, $ \angle AEC = 90^\circ $. Найдите угол $ CAE $, если $ AB = 20 $ см, $ CE = 5 $ см.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (∠ACB = 90°).

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике, катет, прилежащий к острому углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла. В треугольнике ABC катет AC прилежит к углу ∠BAC, а гипотенуза — AB.

Используя данные из условия ($AB = 20$ см, $∠BAC = 60°$), найдем длину катета AC:

$AC = AB \cdot \cos(∠BAC)$

$AC = 20 \cdot \cos(60°)$

Зная, что значение $\cos(60°) = \frac{1}{2}$, получаем:

$AC = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник AEC (∠AEC = 90°).

В этом треугольнике нам известны длина катета CE, который лежит напротив искомого угла ∠CAE, и длина гипотенузы AC.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике, синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

$\sin(∠CAE) = \frac{CE}{AC}$

Подставим известные значения ($CE = 5$ см, $AC = 10$ см):

$\sin(∠CAE) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

3. Найдем угол ∠CAE.

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, — это 30°.

$∠CAE = 30°$

Ответ: $30°$

148. В треугольнике DEF известно, что $\angle D = 90^\circ$, $\angle F = 30^\circ$. Биссектриса угла E пересекает катет DF в точке P. Найдите FP, если $EP + PD = 12$ см.

148. В треугольнике $DEF$ известно, что $\angle D = 90^\circ$, $\angle F = 30^\circ$. Биссектриса угла $E$ пересекает катет $DF$ в точке $P$. Найдите $FP$, если $EP + PD = 12$ см.

1. Найдем угол E треугольника DEF.
По условию, треугольник $DEF$ — прямоугольный с $\angle D = 90^\circ$ и $\angle F = 30^\circ$.
Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Следовательно, угол $E$ равен:
$\angle E = 180^\circ - \angle D - \angle F = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

2. Рассмотрим свойства биссектрисы EP.
$EP$ — биссектриса угла $E$, поэтому она делит его на два равных угла:
$\angle DEP = \angle FEP = \frac{\angle E}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

3. Рассмотрим треугольник FEP.
В этом треугольнике мы знаем два угла: $\angle F = 30^\circ$ (по условию) и $\angle FEP = 30^\circ$ (из предыдущего шага).
Поскольку два угла в треугольнике $FEP$ равны ($\angle F = \angle FEP$), этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно:
$FP = EP$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник DEP.
В этом треугольнике $\angle D = 90^\circ$ и $\angle DEP = 30^\circ$.
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Катет $PD$ лежит напротив угла $\angle DEP = 30^\circ$, а гипотенузой является сторона $EP$. Таким образом, мы получаем соотношение:
$PD = \frac{1}{2} EP$, что эквивалентно $EP = 2 \cdot PD$.

5. Найдем длину FP.
По условию задачи нам дано равенство: $EP + PD = 12$ см.
Мы можем подставить выражение $EP = 2 \cdot PD$ в это уравнение:
$(2 \cdot PD) + PD = 12$
$3 \cdot PD = 12$
$PD = \frac{12}{3} = 4$ см.
Теперь, зная $PD$, найдем $EP$:
$EP = 2 \cdot PD = 2 \cdot 4 = 8$ см.
Из шага 3 мы знаем, что $FP = EP$. Следовательно:
$FP = 8$ см.

Ответ: 8 см.

149. Какие из точек на рисунке 256 принадлежат окружности с центром O; кругу с центром O?

Рис. 256

149. Какие из точек на рисунке 256 принадлежат окружности с центром $O$; кругу с центром $O$?

Рис. 256

Окружности с центром O

Окружность — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии (радиусе) от данной точки (центра). На рисунке окружность — это сама замкнутая кривая линия.

Чтобы точка принадлежала окружности с центром $O$, она должна лежать непосредственно на этой линии. Рассмотрим каждую точку на рисунке 256:

• Точки $B$, $C$, $D$, $E$ лежат на линии окружности. Расстояние от каждой из них до центра $O$ равно радиусу ($R$), то есть $OB = OC = OD = OE = R$.
• Точки $A$ и $O$ лежат внутри окружности. Расстояние от них до центра меньше радиуса: $OA < R$ и $OO = 0 < R$.
• Точка $N$ лежит вне окружности. Расстояние от нее до центра больше радиуса: $ON > R$.

Таким образом, окружности принадлежат только точки, находящиеся на ней.

Ответ: $B, C, D, E$.

Кругу с центром O

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, то есть он включает в себя как все точки на самой окружности, так и все точки внутри нее.

Точка принадлежит кругу с центром $O$, если расстояние от нее до центра меньше или равно радиусу ($R$), то есть $OX \le R$.

Исходя из этого определения:

• Точки $B, C, D, E$ принадлежат кругу, так как они лежат на его границе (окружности).
• Точки $A$ и $O$ принадлежат кругу, так как они лежат внутри окружности.
• Точка $N$ не принадлежит кругу, так как она находится за его пределами.

Следовательно, кругу принадлежат все точки, расположенные на окружности и внутри нее.

Ответ: $A, B, C, D, E, O$.

150. Найдите радиус окружности, если её диаметр равен:

1) 18 см;

2) $b$ см.

150. Найдите радиус окружности, если её диаметр равен:

1) 18 см;

2) $b$ см.

Радиус окружности, обозначаемый как $r$, равен половине её диаметра, обозначаемого как $d$. Связь между ними выражается формулой:
$r = \frac{d}{2}$

1)
Если диаметр окружности $d = 18$ см, то её радиус $r$ можно найти, подставив это значение в формулу:
$r = \frac{18}{2} = 9$ см.
Ответ: 9 см.

2)
Если диаметр окружности $d = b$ см, то её радиус $r$ также находится по формуле:
$r = \frac{b}{2}$ см.
Ответ: $\frac{b}{2}$ см.

151. Начертите окружность, радиус которой равен 3 см. Проведите в этой окружности радиус, диаметр и хорду, не являющуюся диаметром.

151. Начертите окружность, радиус которой равен 3 см. Проведите в этой окружности радиус, диаметр и хорду, не являющуюся диаметром.

Для построения окружности воспользуемся циркулем и линейкой. Сначала с помощью линейки установим на циркуле расстояние между иглой и грифелем, равное 3 см. Затем выберем на плоскости произвольную точку $O$ — это будет центр окружности. Установив иглу циркуля в точку $O$, проведем замкнутую линию. Эта линия и есть окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = 3$ см.

Ответ: Построена окружность с радиусом 3 см.

Теперь в построенной окружности необходимо провести указанные отрезки. Вспомним их определения и выполним построения:

Радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней. Выберем на окружности произвольную точку $A$ и соединим ее с центром $O$. Отрезок $OA$ является радиусом.

Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через ее центр. Проведем через центр $O$ прямую до пересечения с окружностью в двух точках, например, $B$ и $C$. Отрезок $BC$ является диаметром. Его длина равна двум радиусам: $d = 2r = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Хорда, не являющаяся диаметром — это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности, но не проходящий через центр. Выберем на окружности две произвольные точки $D$ и $E$ и соединим их отрезком так, чтобы он не проходил через точку $O$. Отрезок $DE$ — искомая хорда.

Результат построений показан на чертеже ниже.

Ответ: В окружности проведены радиус $OA$, диаметр $BC$ и хорда $DE$, не являющаяся диаметром, как показано на чертеже.

152. В окружности проведены радиусы $OM$, $ON$ и $OK$ (рис. 257). Найдите $\angle MON$, если $\angle ONM = \angle ONK$ и $\angle KON = 62^{\circ}$.

Рис. 257

152. В окружности проведены радиусы $OM$, $ON$ и $OK$ (рис. 257). Найдите $\angle MON$, если $\angle ONM = \angle ONK$ и $\angle KON = 62^\circ$.

Рис. 257

Рассмотрим треугольник $KON$. Так как $OK$ и $ON$ являются радиусами окружности, то $OK = ON$. Следовательно, треугольник $KON$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OKN = \angle ONK$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для $\triangle KON$ справедливо равенство:$\angle OKN + \angle ONK + \angle KON = 180^\circ$.Заменяя $\angle OKN$ на равный ему $\angle ONK$, получаем:$2 \cdot \angle ONK + \angle KON = 180^\circ$.

Подставим известное значение $\angle KON = 62^\circ$ и найдем величину угла $\angle ONK$:$2 \cdot \angle ONK + 62^\circ = 180^\circ$$2 \cdot \angle ONK = 180^\circ - 62^\circ$$2 \cdot \angle ONK = 118^\circ$$\angle ONK = \frac{118^\circ}{2} = 59^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $MON$. Он также является равнобедренным, поскольку его стороны $OM$ и $ON$ — радиусы одной и той же окружности ($OM = ON$). Это означает, что углы при его основании равны: $\angle OMN = \angle ONM$.

По условию задачи дано, что $\angle ONM = \angle ONK$. Так как мы уже вычислили, что $\angle ONK = 59^\circ$, то и $\angle ONM = 59^\circ$. Следовательно, в треугольнике $MON$ оба угла при основании равны $59^\circ$.

Зная два угла в треугольнике $MON$, найдем искомый угол $\angle MON$, используя свойство о сумме углов треугольника:$\angle MON + \angle OMN + \angle ONM = 180^\circ$$\angle MON + 59^\circ + 59^\circ = 180^\circ$$\angle MON + 118^\circ = 180^\circ$$\angle MON = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$.

Ответ: $62^\circ$.

153. На рисунке 258 точка O — центр окружности, $\angle KOM = 76^\circ$. Найдите $\angle KNM$.

Рис. 258

153. На рисунке 258 точка O — центр окружности, $ \angle KOM = 76^\circ $. Найдите $ \angle KNM $.

Рис. 258

Угол $ \angle KOM $ является центральным углом, так как его вершина, точка $O$, является центром окружности. Этот угол опирается на дугу $KM$. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Следовательно, градусная мера дуги $KM$ равна $76^{\circ}$.

Угол $ \angle KNM $ является вписанным углом, так как его вершина $N$ лежит на окружности. Этот угол опирается на ту же дугу $KM$.

По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Таким образом, мы можем найти величину угла $ \angle KNM $:

$ \angle KNM = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } KM = \frac{1}{2} \cdot \angle KOM $

Подставим известное значение:

$ \angle KNM = \frac{1}{2} \cdot 76^{\circ} = 38^{\circ} $

Ответ: $38^{\circ}$