Страница 97 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. На рисунке 260 прямая BE касается окружности с центром O в точке B. Найдите $\angle PBE$, если $\angle AOB = 142^\circ$.

Рис. 260

164. На рисунке 260 прямая $BE$ касается окружности с центром $O$ в точке $B$. Найдите $\angle PBE$, если $\angle AOB = 142^{\circ}$.

Рис. 260

Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, то треугольник $AOB$ является равнобедренным ($OA = OB$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Найдем величину этих углов, зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle OBA = \angle OAB = \frac{180^\circ - \angle AOB}{2}$

Подставим известное значение $\angle AOB = 142^\circ$:

$\angle OBA = \frac{180^\circ - 142^\circ}{2} = \frac{38^\circ}{2} = 19^\circ$.

Прямая $BE$ касается окружности в точке $B$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания ($OB$), перпендикулярен касательной. Это означает, что $\angle OBE = 90^\circ$.

Теперь мы можем найти угол между касательной $BE$ и хордой $AB$. Этот угол, $\angle ABE$, можно вычислить как разность углов $\angle OBE$ и $\angle OBA$:

$\angle ABE = \angle OBE - \angle OBA = 90^\circ - 19^\circ = 71^\circ$.

В условии задачи требуется найти $\angle PBE$. На рисунке точки P, B и E лежат на одной прямой, образуя касательную. В таком случае $\angle PBE$ является развернутым углом и равен $180^\circ$. Однако наличие в условии величины угла $\angle AOB$ указывает на то, что, вероятнее всего, в названии искомого угла допущена опечатка и имелся в виду угол $\angle ABE$.

Ответ: 71°

165. На рисунке 261 две окружности имеют общий центр $O$. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $K$. Найдите радиус меньшей окружности, если $CD = 12$ см, $CK = 2$ см.

Рис. 261

165. На рисунке 261 две окружности имеют общий центр $O$. К меньшей из них провели перпендикулярные касательные $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $K$. Найдите радиус меньшей окружности, если $CD = 12$ см, $CK = 2$ см.

Обозначим радиус меньшей окружности как $r$. Пусть M и N — точки касания прямых AB и CD с меньшей окружностью соответственно. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$.

По условию, касательные AB и CD перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке K, то есть $AB \perp CD$. Рассмотрим четырехугольник ONKM. В нем три угла прямые: $\angle OMK = 90^\circ$, $\angle ONK = 90^\circ$ и $\angle NKM = 90^\circ$. Значит, ONKM — прямоугольник. Так как его смежные стороны OM и ON являются радиусами одной и той же окружности, то $OM = ON = r$. Прямоугольник с равными смежными сторонами является квадратом. Таким образом, ONKM — квадрат, и все его стороны равны $r$, в частности $NK = r$.

Теперь рассмотрим большую окружность. Отрезок CD является ее хордой. Прямая ON, проходящая через центр окружности O, перпендикулярна хорде CD (так как $ON \perp CD$). По свойству хорды, радиус (или диаметр), перпендикулярный хорде, делит ее пополам. Следовательно, точка N является серединой хорды CD.

Длина хорды $CD = 12$ см. Так как N — середина CD, то $CN = ND = \frac{CD}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Из условия задачи нам известно, что $CK = 2$ см. Точки C, K и N лежат на одной прямой. Расстояние NK можно найти как разность длин отрезков CN и CK:

$NK = CN - CK = 6 \text{ см} - 2 \text{ см} = 4$ см.

Как мы установили ранее, $NK = r$. Следовательно, радиус меньшей окружности $r$ равен 4 см.

Ответ: 4 см.

166. На рисунке 262 две окружности имеют общий центр $O$. Через точку $M$ большей окружности проведены касательные $MB$ и $MC$ к меньшей окружности. Найдите $MK$, если радиус большей окружности равен $12$ см, а $\angle BMC = 120^{\circ}$.

Рис. 262

166. На рисунке 262 две окружности имеют общий центр $O$. Через точку $M$ большей окружности проведены касательные $MB$ и $MC$ к меньшей окружности. Найдите $MK$, если радиус большей окружности равен 12 см, а $\angle BMC = 120^\circ$.

Рис. 262

По условию задачи, две окружности имеют общий центр $O$. Точка $M$ находится на большей окружности, следовательно, отрезок $OM$ является радиусом большей окружности, и его длина составляет $OM = 12$ см.

Из точки $M$ проведены касательные $MB$ и $MC$ к меньшей окружности. Пусть $K$ — точка касания прямой $MC$ с меньшей окружностью (как указано на рисунке). Угол между касательными, $\angle BMC$, равен $120^\circ$. Требуется найти длину отрезка касательной $MK$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMK$. По свойству касательной, радиус, проведенный из центра окружности в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OK \perp MK$, и треугольник $\triangle OMK$ является прямоугольным с прямым углом $\angle OKM = 90^\circ$.

По свойству двух касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезок, соединяющий эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла между касательными. Таким образом, $OM$ — биссектриса угла $\angle BMC$.

Найдем величину угла $\angle OMK$:
$\angle OMK = \frac{1}{2} \angle BMC = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник $\triangle OMK$, в котором известны:
- гипотенуза $OM = 12$ см;
- угол $\angle OMK = 60^\circ$.

Катет $MK$ является прилежащим к углу $\angle OMK$. Для его нахождения воспользуемся определением косинуса в прямоугольном треугольнике:
$\cos(\angle OMK) = \frac{MK}{OM}$

Выразим из этой формулы $MK$:
$MK = OM \cdot \cos(\angle OMK)$

Подставим известные значения:
$MK = 12 \cdot \cos(60^\circ)$

Поскольку $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$MK = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

167. На рисунке 263 прямые $NA$, $NB$ и $DF$ касаются окружности в точках $A$, $B$ и $E$ соответственно. Найдите периметр треугольника $NDF$, если $NB = 8$ см.

Рис. 263

167. На рисунке 263 прямые $NA$, $NB$ и $DF$ касаются окружности в точках $A$, $B$ и $E$ соответственно. Найдите периметр треугольника $NDF$, если $NB = 8$ см.

Рис. 263

Периметр треугольника $NDF$ ($P_{NDF}$) определяется как сумма длин его сторон: $P_{NDF} = ND + DF + FN$.

Для решения задачи воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этому свойству, длины отрезков касательных от внешней точки до точек касания равны.

Применительно к нашему рисунку, это означает:

• Для точки $N$: отрезки касательных $NA$ и $NB$ равны. То есть, $NA = NB$.
• Для точки $D$: отрезки касательных $DE$ и $DB$ равны. То есть, $DE = DB$.
• Для точки $F$: отрезки касательных $FE$ и $FA$ равны. То есть, $FE = FA$.

Сторона $DF$ треугольника состоит из двух отрезков: $DF = DE + FE$. Подставим это в формулу периметра: $P_{NDF} = ND + (DE + FE) + FN$.

Теперь, используя равенства, полученные из свойства касательных, заменим в формуле периметра $DE$ на $DB$ и $FE$ на $FA$: $P_{NDF} = ND + DB + FA + FN$.

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $P_{NDF} = (ND + DB) + (FN + FA)$.

Из рисунка видно, что сумма $(ND + DB)$ равна длине всего отрезка $NB$, а сумма $(FN + FA)$ равна длине всего отрезка $NA$. Следовательно, формула периметра принимает вид: $P_{NDF} = NB + NA$.

По условию задачи $NB = 8$ см. Поскольку $NA = NB$, то $NA$ также равно 8 см. Вычислим периметр: $P_{NDF} = 8 \text{ см} + 8 \text{ см} = 16 \text{ см}$.

Ответ: 16 см.