Страница 98 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Точка пересечения высот $DK$ и $FH$ треугольника $DEF$ является центром вписанной в него окружности. Докажите, что треугольник $DEF$ равносторонний.

168. Точка пересечения высот $DK$ и $FH$ треугольника $DEF$ является центром вписанной в него окружности. Докажите, что треугольник $DEF$ равносторонний.

Пусть $O$ — точка пересечения высот $DK$ и $FH$ треугольника $DEF$. По определению, точка пересечения высот треугольника является его ортоцентром.

По условию задачи, эта же точка $O$ является центром вписанной в треугольник $DEF$ окружности. Центр вписанной окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Это означает, что точка $O$ лежит на биссектрисах углов $\angle D$, $\angle E$ и $\angle F$.

Рассмотрим высоту $DK$. Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $DK$, а также на биссектрисе угла $\angle D$, то луч $DO$ является биссектрисой этого угла. Следовательно, высота $DK$ одновременно является и биссектрисой угла $\angle D$ треугольника $DEF$.

В треугольнике, если высота, проведённая из некоторой вершины, совпадает с биссектрисой, проведённой из той же вершины, то такой треугольник является равнобедренным. В нашем случае это означает, что треугольник $DEF$ равнобедренный относительно основания $EF$, то есть $DE = DF$.

Аналогично рассмотрим высоту $FH$. Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $FH$ и на биссектрисе угла $\angle F$, то высота $FH$ одновременно является и биссектрисой угла $\angle F$ треугольника $DEF$.

Применяя то же свойство, получаем, что треугольник $DEF$ является равнобедренным относительно основания $DE$, то есть $DF = EF$.

Из полученных равенств $DE = DF$ и $DF = EF$ следует, что все три стороны треугольника равны между собой: $DE = DF = EF$.

Треугольник, у которого все стороны равны, является равносторонним. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

169. Из точки $O$, принадлежащей биссектрисе $BM$ треугольника $ABC$, проведены перпендикуляры $OK$ и $OF$ соответственно к сторонам $AB$ и $AC$. Докажите, что если $\angle AOK = \angle AOF$, то точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

169. Из точки $O$, принадлежащей биссектрисе $BM$ треугольника $ABC$, проведены перпендикуляры $OK$ и $OF$ соответственно к сторонам $AB$ и $AC$. Докажите, что если $\angle AOK = \angle AOF$, то точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Доказательство

Центром вписанной в треугольник окружности является точка, равноудаленная от всех его сторон. Чтобы доказать, что точка $O$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$, нам нужно показать, что расстояния от точки $O$ до сторон $AB$, $AC$ и $BC$ равны.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AOK$ и $\triangle AOF$.

По условию задачи, $OK$ и $OF$ — перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$ соответственно. Следовательно, $\triangle AOK$ и $\triangle AOF$ являются прямоугольными с прямыми углами $\angle AKO = 90^\circ$ и $\angle AFO = 90^\circ$.

В этих треугольниках:

- $AO$ — общая гипотенуза.

- $\angle AOK = \angle AOF$ (по условию).

Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, $\triangle AOK \cong \triangle AOF$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $OK = OF$.

Также из равенства треугольников следует, что $\angle KAO = \angle FAO$, а это значит, что $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$.

2. Используем свойство точки, лежащей на биссектрисе угла.

По условию, точка $O$ принадлежит биссектрисе $BM$ угла $\angle ABC$. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Расстояние от точки $O$ до стороны $AB$ равно длине перпендикуляра $OK$.

Проведем перпендикуляр $OP$ к стороне $BC$. Расстояние от точки $O$ до стороны $BC$ равно длине перпендикуляра $OP$.

Так как точка $O$ лежит на биссектрисе $BM$ угла $\angle ABC$, то расстояния от нее до сторон $AB$ и $BC$ равны: $OK = OP$.

3. Сделаем вывод.

Из первого пункта мы получили, что $OK = OF$.

Из второго пункта мы получили, что $OK = OP$.

Объединяя эти два равенства, получаем: $OK = OF = OP$.

Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех трех сторон треугольника $ABC$. Точка, равноудаленная от сторон треугольника, является центром вписанной в него окружности.

Таким образом, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

170. Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 16 см.

170. Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, если радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен 16 см.

В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка является точкой пересечения медиан, которые в равностороннем треугольнике также являются высотами и биссектрисами.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Расстояние от этой точки до вершины является радиусом описанной окружности ($R$), а расстояние от этой точки до стороны (длина перпендикуляра) является радиусом вписанной окружности ($r$).

Таким образом, для любого равностороннего треугольника справедливо соотношение:

$R = 2r$

По условию задачи, радиус описанной окружности $R = 16$ см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти радиус вписанной окружности $r$:

$16 = 2r$

Отсюда находим $r$:

$r = \frac{16}{2} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $3:8$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите основание треугольника, если его периметр равен 56 см.

171. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении $3 : 8$, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите основание треугольника, если его периметр равен $56$ см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Боковые стороны равны, $AB = BC$. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $L$ и $M$ соответственно. Согласно условию, точка касания делит боковую сторону в отношении $3:8$, считая от вершины угла при основании. Для стороны $AB$ и вершины $A$ это означает, что $AK : KB = 3:8$. Периметр треугольника равен $P = 56$ см.

Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда отрезки на боковой стороне будут равны $AK = 3x$ и $KB = 8x$. Длина всей боковой стороны $AB$ равна их сумме: $AB = AK + KB = 3x + 8x = 11x$. Поскольку треугольник равнобедренный, вторая боковая сторона $BC$ также равна $11x$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной вершины к окружности, отрезки от вершины до точек касания равны. Таким образом: $AM = AK = 3x$ и $BL = BK = 8x$. Для вершины $C$ имеем $CM = CL$. Длину отрезка $CL$ можно найти, вычтя из стороны $BC$ отрезок $BL$: $CL = BC - BL = 11x - 8x = 3x$. Следовательно, $CM$ также равен $3x$.

Основание треугольника $AC$ состоит из двух отрезков $AM$ и $CM$. Его длина равна: $AC = AM + CM = 3x + 3x = 6x$.

Теперь, зная выражения для всех сторон через $x$, мы можем использовать данный периметр для нахождения $x$. Периметр $P = AB + BC + AC$. Подставим значения: $56 = 11x + 11x + 6x$. Упростим уравнение: $56 = 28x$. Отсюда находим $x = \frac{56}{28} = 2$.

Найдем длину основания $AC$, подставив найденное значение $x=2$: $AC = 6x = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 21 см. Найдите радиус окружности, если периметр треугольника равен 56 см.

172. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 21 см. Найдите радиус окружности, если периметр треугольника равен 56 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник, $a$ и $b$ — его катеты, $c$ — гипотенуза, а $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию, точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 21 см. Длина гипотенузы $c$ равна сумме длин этих отрезков:

$c = 4 + 21 = 25$ см.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от вершины до точек касания равны. Пусть вписанная окружность касается катетов в точках M и L, а гипотенузы — в точке K. Тогда отрезки, на которые вершины треугольника делят стороны, равны:

• отрезки от одной вершины острого угла до точек касания равны 4 см;
• отрезки от другой вершины острого угла до точек касания равны 21 см;
• отрезки от вершины прямого угла до точек касания равны радиусу вписанной окружности $r$.

Таким образом, мы можем выразить длины катетов через радиус $r$:

$a = 21 + r$

$b = 4 + r$

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон:

$P = a + b + c$

Подставим известные значения и выражения в формулу периметра. По условию $P = 56$ см.

$56 = (21 + r) + (4 + r) + 25$

Теперь решим это уравнение относительно $r$:

$56 = 50 + 2r$

$2r = 56 - 50$

$2r = 6$

$r = 3$ см.

Проверка:

Найдем длины катетов: $a = 21 + 3 = 24$ см, $b = 4 + 3 = 7$ см.

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

$24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$.

$25^2 = 625$.

Равенство $625 = 625$ выполняется, значит, треугольник действительно прямоугольный.

Проверим периметр: $P = 24 + 7 + 25 = 56$ см. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 3 см.

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боковые стороны $AC$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите основание треугольника $ABC$, если периметр треугольника $CEF$ равен 16 см и $AC = BC = 12$ см.

173. К окружности, вписанной в равнобедренный треуголь- ник $ABC$, проведена касательная, пересекающая боко- вые стороны $AC$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите основание треугольника $ABC$, если периметр треугольника $CEF$ равен 16 см и $AC = BC = 12$ см.

Пусть дана окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$ и боковыми сторонами $AC$ и $BC$. По условию, $AC = BC = 12$ см.

Проведена касательная $EF$ к этой окружности, где точка $E$ лежит на стороне $AC$, а точка $F$ — на стороне $BC$. Периметр треугольника $CEF$ равен 16 см.

Обозначим точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника $ABC$ как $M$ на $AC$, $N$ на $BC$ и $K$ на $AB$. Пусть касательная $EF$ касается окружности в точке $L$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.

Применяя это свойство для точек $C, E, F, A, B$:

• Из точки $C$: $CM = CN$
• Из точки $E$: $EM = EL$
• Из точки $F$: $FN = FL$
• Из точки $A$: $AM = AK$
• Из точки $B$: $BN = BK$

Рассмотрим периметр треугольника $CEF$:
$P_{CEF} = CE + CF + EF$

Отрезок $EF$ состоит из двух частей: $EF = EL + LF$.
Используя свойство касательных из точек $E$ и $F$, мы можем заменить $EL$ на $EM$ и $LF$ на $FN$:
$EF = EM + FN$

Подставим это выражение в формулу периметра:
$P_{CEF} = CE + CF + (EM + FN) = (CE + EM) + (CF + FN)$

Заметим, что $CE + EM = CM$ и $CF + FN = CN$.
Следовательно, $P_{CEF} = CM + CN$.

Так как $CM = CN$ (касательные из точки $C$), то $P_{CEF} = 2CM$.
По условию $P_{CEF} = 16$ см, значит:
$2CM = 16$ см
$CM = 8$ см

Теперь найдем длину отрезка $AM$. Точка $M$ лежит на стороне $AC$, поэтому $AC = AM + MC$.
$AM = AC - MC = 12$ см $- 8$ см $= 4$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный ($AC = BC$), то точки касания симметричны, и $AM = BN = 4$ см.

Основание $AB$ состоит из отрезков $AK$ и $KB$. По свойству касательных из точек $A$ и $B$:
$AK = AM = 4$ см
$BK = BN = 4$ см

Таким образом, длина основания $AB$ равна:
$AB = AK + BK = 4$ см $+ 4$ см $= 8$ см.

Ответ: 8 см.

174. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке M. Найдите сторону AC, если $BM = 5$ см, а периметр треугольника ABC равен 24 см.

174. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке M. Найдите сторону AC, если $BM = 5 \text{ см}$, а периметр треугольника ABC равен 24 см.

Пусть вписанная в треугольник $ABC$ окружность касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $K$, $M$ и $N$ соответственно.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от вершины треугольника до точек касания равны:

• $AK = AN$
• $BK = BM$
• $CM = CN$

По условию задачи, $BM = 5$ см. Следовательно, $BK$ также равен 5 см.

Периметр треугольника $ABC$ — это сумма длин всех его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 24$ см.

Выразим стороны треугольника через длины отрезков, на которые их делят точки касания:

$AB = AK + KB$

$BC = BM + MC$

$AC = AN + NC$

Подставим эти выражения в формулу периметра:

$P_{ABC} = (AK + KB) + (BM + MC) + (AN + NC) = 24$

Теперь сгруппируем равные отрезки, используя свойство касательных:

$P_{ABC} = (AK + AN) + (BK + BM) + (CM + CN) = 2 \cdot AN + 2 \cdot BM + 2 \cdot CM = 24$

Разделив обе части уравнения на 2, получим полупериметр $p$:

$p = AN + BM + CM = \frac{24}{2} = 12$ см.

Мы ищем длину стороны $AC$, которая равна $AC = AN + NC$. Так как $NC = CM$, то $AC = AN + CM$.

В выражении для полупериметра $p = AN + BM + CM$ мы можем сгруппировать слагаемые $(AN + CM)$, которые в сумме дают сторону $AC$:

$p = (AN + CM) + BM$

$p = AC + BM$

Подставим известные значения полупериметра $p=12$ см и длины отрезка $BM=5$ см:

$12 = AC + 5$

Отсюда находим сторону $AC$:

$AC = 12 - 5 = 7$ см.

Ответ: 7 см.