Страница 123 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Сформулируйте и докажите теорему о площади трапеции.

2. Докажите, что площадь трапеции равна произведению длины ее средней линии на высоту.

1. Сформулируйте и докажите теорему о площади трапеции.

Формулировка:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Если $a$ и $b$ - длины оснований трапеции, а $h$ - ее высота, то площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2}h$

Решение

Доказательство:

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD = a$ и $BC = b$, и высотой $h$. Проведем диагональ $AC$. Эта диагональ делит трапецию на два треугольника: $ABC$ и $ACD$.

Площадь трапеции $S_{ABCD}$ равна сумме площадей этих двух треугольников: $S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD}$.

Высота трапеции $h$ является общей высотой для обоих треугольников, если рассматривать ее относительно соответствующих оснований. Для треугольника $ACD$ основанием является $AD$, а высота, проведенная к $AD$ из вершины $C$, равна $h$. Для треугольника $ABC$ основанием является $BC$, а высота, проведенная к $BC$ из вершины $A$, также равна $h$.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Тогда площадь треугольника $ACD$ равна: $S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2}ah$.

Площадь треугольника $ABC$ равна: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2}bh$.

Складываем площади этих треугольников, чтобы получить площадь трапеции:

$S_{ABCD} = S_{ACD} + S_{ABC} = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh$

Вынося $\frac{1}{2}h$ за скобки, получаем:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2}h(a+b)$

Таким образом, площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту, что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь трапеции равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту.

2. Докажите, что площадь трапеции равна произведению длины ее средней линии на высоту.

Решение

Доказательство:

Согласно теореме о площади трапеции, сформулированной и доказанной выше (в пункте 1), площадь трапеции $S$ с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$ выражается формулой:

$S = \frac{a+b}{2}h$

Определение средней линии трапеции гласит, что средняя линия трапеции ($m$) соединяет середины ее непараллельных сторон и параллельна основаниям. Длина средней линии трапеции равна полусумме длин ее оснований:

$m = \frac{a+b}{2}$

Подставим выражение для средней линии $m$ в формулу площади трапеции:

$S = m \cdot h$

Таким образом, площадь трапеции равна произведению длины ее средней линии на высоту, что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь трапеции равна произведению длины ее средней линии на высоту.

251. a) Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 10 см, средняя линия – 16 см и один из углов – $60^\circ$. Найдите площадь трапеции.

б) Найдите периметр и площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 8 дм и 12 дм, а один из углов $135^\circ$.

а) Найдите площадь трапеции.

Дано:

Меньшее основание $b = 10 \text{ см}$

Средняя линия $m = 16 \text{ см}$

Один из углов $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$b = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$m = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

Площадь трапеции $S$

Решение:

Прямоугольная трапеция имеет два прямых угла ($90^\circ$). Данный угол $60^\circ$ является острым углом и находится при большем основании.

1. Найдем большее основание $a$. Средняя линия трапеции $m$ выражается формулой $m = \frac{a+b}{2}$.

Отсюда $a+b = 2m$.

$a = 2m - b$

$a = 2 \times 16 \text{ см} - 10 \text{ см} = 32 \text{ см} - 10 \text{ см} = 22 \text{ см}$.

2. Проведем высоту $h$ из вершины меньшего основания к большему основанию. Эта высота является одной из боковых сторон прямоугольной трапеции. Образовавшийся прямоугольный треугольник имеет катеты $h$ и $(a-b)$, а его гипотенуза - наклонная боковая сторона. Угол при большем основании в этом треугольнике равен $60^\circ$.

Разность оснований: $a-b = 22 \text{ см} - 10 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

3. Используем тригонометрическое соотношение (тангенс) для нахождения высоты $h$:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{a-b}$

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{12 \text{ см}}$

Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:

$h = 12 \text{ см} \times \sqrt{3} = 12\sqrt{3} \text{ см}$.

4. Площадь трапеции $S$ может быть найдена по формуле $S = m \times h$ (произведение средней линии на высоту).

$S = 16 \text{ см} \times 12\sqrt{3} \text{ см} = 192\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь трапеции равна $192\sqrt{3} \text{ см}^2$.

б) Найдите периметр и площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 8 дм и 12 дм, а один из углов 135°.

Дано:

Меньшее основание $b = 8 \text{ дм}$

Большее основание $a = 12 \text{ дм}$

Один из углов $\beta = 135^\circ$

Перевод в СИ:

$b = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

$a = 12 \text{ дм} = 1.2 \text{ м}$

Найти:

Периметр $P$ и площадь $S$

Решение:

1. В прямоугольной трапеции два угла равны $90^\circ$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Если один из непрямых углов равен $135^\circ$, то это тупой угол, который прилежит к меньшему основанию. Следовательно, угол при большем основании, прилежащий к той же наклонной боковой стороне, равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

2. Высота трапеции $h$ является одной из ее боковых сторон (обозначим ее $c_1$). Проведем вторую высоту из вершины меньшего основания к большему основанию. Она образует прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $(a-b)$, и гипотенузой, равной наклонной боковой стороне $c_2$.

Разность оснований: $a-b = 12 \text{ дм} - 8 \text{ дм} = 4 \text{ дм}$.

3. В образованном прямоугольном треугольнике угол при большем основании равен $45^\circ$. Используем тангенс этого угла:

$\tan(45^\circ) = \frac{h}{a-b}$

Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:

$1 = \frac{h}{4 \text{ дм}}$

$h = 4 \text{ дм}$.

Таким образом, одна из боковых сторон (высота) $c_1 = 4 \text{ дм}$.

4. Найдем наклонную боковую сторону $c_2$ (гипотенузу прямоугольного треугольника) с помощью косинуса угла $45^\circ$:

$\cos(45^\circ) = \frac{a-b}{c_2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 \text{ дм}}{c_2}$

$c_2 = \frac{4 \text{ дм} \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} \text{ дм} = \frac{8\sqrt{2}}{2} \text{ дм} = 4\sqrt{2} \text{ дм}$.

5. Вычислим периметр трапеции $P = a + b + c_1 + c_2$.

$P = 12 \text{ дм} + 8 \text{ дм} + 4 \text{ дм} + 4\sqrt{2} \text{ дм} = (24 + 4\sqrt{2}) \text{ дм}$.

6. Вычислим площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2} \times h$.

$S = \frac{12 \text{ дм} + 8 \text{ дм}}{2} \times 4 \text{ дм} = \frac{20 \text{ дм}}{2} \times 4 \text{ дм} = 10 \text{ дм} \times 4 \text{ дм} = 40 \text{ дм}^2$.

Ответ: Периметр трапеции равен $(24 + 4\sqrt{2}) \text{ дм}$, а площадь равна $40 \text{ дм}^2$.

252. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если:

а) ее основания и боковая сторона соответственно равны 11 см, 17 см и 5 см;

б) известны ее основания 8 см, 2 см и угол $60^\circ$.

а) ее основания и боковая сторона соответственно равны 11 см, 17 см и 5 см

Дано:

трапеция равнобедренная

меньшее основание $b = 11$ см

большее основание $a = 17$ см

боковая сторона $c = 5$ см

Перевод в СИ:

$b = 11 \text{ см} = 0.11 \text{ м}$

$a = 17 \text{ см} = 0.17 \text{ м}$

$c = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

площадь $S$

Решение:

формула для площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ - высота трапеции.

для нахождения высоты $h$ опустим перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее основание. получим два прямоугольных треугольника по краям и прямоугольник в середине.

длина отрезка $x$ большего основания, отсекаемого высотой, равна:

$x = \frac{a - b}{2}$

$x = \frac{17 \text{ см} - 11 \text{ см}}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$

в одном из прямоугольных треугольников боковая сторона является гипотенузой, а высота $h$ и отрезок $x$ - катетами.

по теореме пифагора:

$h^2 + x^2 = c^2$

$h^2 + (3 \text{ см})^2 = (5 \text{ см})^2$

$h^2 + 9 \text{ см}^2 = 25 \text{ см}^2$

$h^2 = 25 \text{ см}^2 - 9 \text{ см}^2$

$h^2 = 16 \text{ см}^2$

$h = \sqrt{16 \text{ см}^2} = 4 \text{ см}$

теперь найдем площадь трапеции:

$S = \frac{17 \text{ см} + 11 \text{ см}}{2} \cdot 4 \text{ см}$

$S = \frac{28 \text{ см}}{2} \cdot 4 \text{ см}$

$S = 14 \text{ см} \cdot 4 \text{ см}$

$S = 56 \text{ см}^2$

Ответ: $56 \text{ см}^2$

б) известны ее основания 8 см, 2 см и угол 60°

Дано:

трапеция равнобедренная

большее основание $a = 8$ см

меньшее основание $b = 2$ см

угол при основании $\alpha = 60^\circ$

Перевод в СИ:

$a = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$b = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

площадь $S$

Решение:

формула для площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ - высота трапеции.

для нахождения высоты $h$ опустим перпендикуляры из вершин меньшего основания на большее основание.

длина отрезка $x$ большего основания, отсекаемого высотой, равна:

$x = \frac{a - b}{2}$

$x = \frac{8 \text{ см} - 2 \text{ см}}{2} = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$

в образовавшемся прямоугольном треугольнике, высота $h$ является противолежащим катетом к углу $\alpha$, а отрезок $x$ - прилежащим катетом.

используем тангенс угла:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{x}$

$h = x \cdot \tan(\alpha)$

$h = 3 \text{ см} \cdot \tan(60^\circ)$

мы знаем, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

$h = 3 \cdot \sqrt{3} \text{ см}$

теперь найдем площадь трапеции:

$S = \frac{8 \text{ см} + 2 \text{ см}}{2} \cdot (3 \cdot \sqrt{3} \text{ см})$

$S = \frac{10 \text{ см}}{2} \cdot (3 \cdot \sqrt{3} \text{ см})$

$S = 5 \text{ см} \cdot 3 \cdot \sqrt{3} \text{ см}$

$S = 15 \cdot \sqrt{3} \text{ см}^2$

Ответ: $15\sqrt{3} \text{ см}^2$

253. a) Выразите площадь трапеции через ее среднюю линию $c$ и высоту $h$.

б) Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее средняя линия равна 10 см, боковая сторона равна 12 см, а угол при меньшем основании равен $135^\circ$.

a) Выразите площадь трапеции через ее среднюю линию $c$ и высоту $h$.

Пусть $a$ и $b$ - длины оснований трапеции, $h$ - ее высота, $S$ - площадь, а $c$ - средняя линия.Формула для площади трапеции выглядит как: $S = \frac{a+b}{2}h$.Формула для средней линии трапеции выглядит как: $c = \frac{a+b}{2}$.Подставим выражение для средней линии в формулу площади:$S = c \cdot h$.

Ответ: Площадь трапеции $S = c \cdot h$.

б) Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее средняя линия равна 10 см, боковая сторона равна 12 см, а угол при меньшем основании равен 135°.

Дано:Средняя линия $c = 10 \text{ см}$Боковая сторона $l = 12 \text{ см}$Угол при меньшем основании $\alpha = 135^{\circ}$Трапеция равнобедренная.

Перевод в систему СИ:$c = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$$l = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$$\alpha = 135^{\circ}$

Найти: Площадь $S$.

РешениеДля нахождения площади трапеции мы можем использовать формулу, полученную в пункте а): $S = c \cdot h$. Средняя линия $c$ нам дана, поэтому необходимо найти высоту $h$.В равнобедренной трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^{\circ}$. Поскольку угол при меньшем основании равен $135^{\circ}$, то угол при большем основании (назовем его $\beta$) равен:$\beta = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.Проведем высоту $h$ из вершины меньшего основания к большему основанию. Образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции, а одним из острых углов является угол при большем основании ($\beta = 45^{\circ}$). Высота $h$ является катетом, противолежащим этому углу.Используем тригонометрическое соотношение синуса:$\sin(\beta) = \frac{h}{l}$$h = l \cdot \sin(\beta)$$h = 12 \text{ см} \cdot \sin(45^{\circ})$Так как $\sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:$h = 12 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}$.Теперь, зная среднюю линию $c$ и высоту $h$, можем найти площадь трапеции:$S = c \cdot h$$S = 10 \text{ см} \cdot 6\sqrt{2} \text{ см}$$S = 60\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $60\sqrt{2} \text{ см}^2$.

254. a) Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 м, периметр равен 42 м. Найдите площадь трапеции.

б) Найдите площадь (в гектарах) казахстанского природного заказника «Каратальские пески», если она равна площади трапеции, высота которой $0.8(6)$ м, а средняя линия $1.5 \cdot 10^7$ м.

Ботанический заказник «Каратальские пески»

а)

Дано:

Трапеция ABCD - равнобедренная.

Диагональ AC делит тупой угол C пополам: $\angle BCA = \angle DCA$.

Меньшее основание $CD = 3$ м.

Периметр $P = 42$ м.

Перевод в СИ:

Все величины уже даны в метрах, что соответствует системе СИ.

Найти:

Площадь трапеции $S_{ABCD}$.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AB и CD, где CD - меньшее основание.

По условию, диагональ AC делит тупой угол C пополам, то есть $\angle BCA = \angle DCA$.

Так как AB параллельно CD (основания трапеции), то углы $\angle DCA$ и $\angle CAB$ являются накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle DCA = \angle CAB$.

Из равенств $\angle BCA = \angle DCA$ и $\angle DCA = \angle CAB$ следует, что $\angle BCA = \angle CAB$.

В треугольнике ABC углы при основании AC равны ($\angle BCA = \angle CAB$), следовательно, этот треугольник равнобедренный, и стороны, противолежащие этим углам, равны: $AB = BC$.

Поскольку трапеция ABCD равнобедренная, ее боковые стороны равны: $AD = BC$.

Таким образом, мы имеем $AD = BC = AB$.

Пусть $AD = BC = AB = x$.

Меньшее основание $CD = 3$ м.

Периметр трапеции $P = AB + BC + CD + AD = x + x + 3 + x = 3x + 3$.

По условию, периметр равен 42 м:

$3x + 3 = 42$

$3x = 42 - 3$

$3x = 39$

$x = \frac{39}{3} = 13$ м.

Итак, $AD = BC = AB = 13$ м. Большее основание $AB = 13$ м, меньшее основание $CD = 3$ м.

Для нахождения площади трапеции $S = \frac{(AB + CD)}{2} \cdot h$ нам нужна высота $h$.

Опустим высоты $CM$ и $DN$ из вершин C и D на основание AB.

В равнобедренной трапеции отрезки $AN$ и $MB$ равны:

$AN = MB = \frac{AB - CD}{2} = \frac{13 - 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$ м.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CMB. Гипотенуза $BC = 13$ м, катет $MB = 5$ м.

По теореме Пифагора: $CM^2 + MB^2 = BC^2$.

$h^2 + 5^2 = 13^2$

$h^2 + 25 = 169$

$h^2 = 169 - 25$

$h^2 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ м.

Теперь найдем площадь трапеции:

$S_{ABCD} = \frac{(AB + CD)}{2} \cdot h = \frac{(13 + 3)}{2} \cdot 12 = \frac{16}{2} \cdot 12 = 8 \cdot 12 = 96$ м$^2$.

Ответ: 96 м$^2$.

б)

Дано:

Площадь заказника "Каратальские пески" равна площади трапеции.

Высота трапеции $h = 0.8(6)$ м.

Средняя линия трапеции $m = 1.5 \cdot 10^7$ м.

Перевод в СИ:

Высота $h = 0.8(6)$ м. Периодическую десятичную дробь преобразуем в обыкновенную:

$0.8(6) = 0.8666...$

Пусть $x = 0.8666...$

$10x = 8.666...$

$100x = 86.666...$

$100x - 10x = 86.666... - 8.666...$

$90x = 78$

$x = \frac{78}{90} = \frac{13}{15}$ м.

Средняя линия $m = 1.5 \cdot 10^7$ м.

Все величины уже даны в метрах, что соответствует системе СИ.

Найти:

Площадь заказника в гектарах ($S_{заказника}$).

Решение:

Площадь трапеции может быть найдена как произведение ее средней линии на высоту: $S = m \cdot h$.

Подставим известные значения:

$S = \left(1.5 \cdot 10^7 \text{ м}\right) \cdot \left(\frac{13}{15} \text{ м}\right)$

Представим $1.5$ как $\frac{3}{2}$:

$S = \left(\frac{3}{2} \cdot 10^7\right) \cdot \frac{13}{15}$

$S = \frac{3 \cdot 13}{2 \cdot 15} \cdot 10^7$

$S = \frac{39}{30} \cdot 10^7$

Сократим дробь $\frac{39}{30}$ на 3:

$S = \frac{13}{10} \cdot 10^7 = 1.3 \cdot 10^7$ м$^2$.

Площадь заказника равна этой площади. Нам нужно выразить ее в гектарах.

Известно, что 1 гектар (га) равен 10 000 квадратных метров ($10^4$ м$^2$).

$S_{заказника (\text{га})} = \frac{1.3 \cdot 10^7 \text{ м}^2}{10^4 \text{ м}^2/\text{га}}$

$S_{заказника (\text{га})} = 1.3 \cdot 10^{7-4} = 1.3 \cdot 10^3 = 1300$ га.

Ответ: 1300 га.