Страница 126 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

261. Найдите высоту:

а) прямоугольного треугольника, проведенную к его гипотенузе, если катеты равны 12 см и 16 см;

б) параллелограмма, проведенную к его меньшей стороне, если известны периметр 51 см, площадь $90 \text{ см}^2$ и меньшая высота 5 см.

а) прямоугольного треугольника, проведенную к его гипотенузе, если катеты равны 12 см и 16 см

Дано:

Катет $a = 12$ см

Катет $b = 16$ см

Перевод в СИ:

$a = 12$ см $= 0.12$ м

$b = 16$ см $= 0.16$ м

Найти:

Высота $h_c$ к гипотенузе.

Решение:

Для нахождения высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, сначала найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Подставим известные значения:

$c = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ см

Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена как половина произведения катетов ($S = \frac{1}{2}ab$) или как половина произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней ($S = \frac{1}{2}ch_c$). Приравняем эти выражения:

$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c$

$ab = ch_c$

Выразим высоту $h_c$:

$h_c = \frac{ab}{c}$

Подставим значения катетов и гипотенузы:

$h_c = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = 9.6$ см

Ответ: 9.6 см

б) параллелограмма, проведенную к его меньшей стороне, если известны периметр 51 см, площадь 90 см² и меньшая высота 5 см

Дано:

Периметр $P = 51$ см

Площадь $S = 90$ см$^2$

Меньшая высота $h_1 = 5$ см (высота, проведенная к большей стороне)

Перевод в СИ:

$P = 51$ см $= 0.51$ м

$S = 90$ см$^2 = 0.0090$ м$^2$

$h_1 = 5$ см $= 0.05$ м

Найти:

Высота $h_2$ к меньшей стороне.

Решение:

Пусть стороны параллелограмма будут $a$ (большая сторона) и $b$ (меньшая сторона). Периметр параллелограмма равен $P = 2(a+b)$.

Известно, что $P = 51$ см, тогда:

$2(a+b) = 51$

$a+b = \frac{51}{2} = 25.5$ см

Площадь параллелограмма также можно выразить как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Меньшая высота $h_1 = 5$ см соответствует большей стороне $a$. Таким образом, площадь $S = a \cdot h_1$.

Известно, что $S = 90$ см$^2$ и $h_1 = 5$ см, тогда:

$90 = a \cdot 5$

$a = \frac{90}{5} = 18$ см

Теперь, зная сумму сторон и большую сторону $a$, найдем меньшую сторону $b$:

$b = (a+b) - a = 25.5 - 18 = 7.5$ см

Искомая высота $h_2$ - это высота, проведенная к меньшей стороне $b$. Площадь параллелограмма также равна $S = b \cdot h_2$.

Выразим $h_2$:

$h_2 = \frac{S}{b}$

Подставим значения площади и меньшей стороны:

$h_2 = \frac{90}{7.5} = 12$ см

Ответ: 12 см

262. Найдите площадь равнобедренной трапеции:

а) большее основание которой 30 дм, боковая сторона 10 дм и угол при большем основании $45^\circ$;

б) с основаниями $a$ и $b$ ($a > b$) и углом $\beta$ при большем основании.

а) большее основание которой 30 дм, боковая сторона 10 дм и угол при большем основании 45°;

Дано:

большее основание $a = 30$ дм

боковая сторона $c = 10$ дм

угол при большем основании $\alpha = 45^\circ$

Трапеция равнобедренная

Перевод в СИ:

$a = 30 \text{ дм} = 3 \text{ м}$

$c = 10 \text{ дм} = 1 \text{ м}$

$\alpha = 45^\circ$

Найти:

Площадь $S$

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – основания трапеции, $h$ – высота.

Опустим из верхних вершин трапеции две высоты на большее основание. Пусть эти высоты делят большее основание $a$ на три отрезка: $x$, $b$, $x$. В равнобедренной трапеции эти отрезки $x$ равны.

Таким образом, $a = b + 2x$, откуда $b = a - 2x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$, высотой $h$ и отрезком $x$ на большем основании. Угол при основании этого треугольника равен $\alpha$.

Из свойств прямоугольного треугольника:

$x = c \cdot \cos \alpha$

$h = c \cdot \sin \alpha$

Подставим известные значения:

$x = 10 \text{ дм} \cdot \cos 45^\circ = 10 \text{ дм} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ дм}$

$h = 10 \text{ дм} \cdot \sin 45^\circ = 10 \text{ дм} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ дм}$

Теперь найдем меньшее основание $b$:

$b = a - 2x = 30 \text{ дм} - 2 \cdot (5\sqrt{2}) \text{ дм} = 30 - 10\sqrt{2} \text{ дм}$

Подставим значения $a$, $b$ и $h$ в формулу площади трапеции:

$S = \frac{30 + (30 - 10\sqrt{2})}{2} \cdot 5\sqrt{2}$

$S = \frac{60 - 10\sqrt{2}}{2} \cdot 5\sqrt{2}$

$S = (30 - 5\sqrt{2}) \cdot 5\sqrt{2}$

$S = 30 \cdot 5\sqrt{2} - 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}$

$S = 150\sqrt{2} - 25 \cdot 2$

$S = 150\sqrt{2} - 50$

Ответ: $150\sqrt{2} - 50 \text{ дм}^2$

б) с основаниями $a$ и $b$ $(a > b)$ и углом $\beta$ при большем основании.

Дано:

основания $a$, $b$ ($a > b$)

угол при большем основании $\beta$

Трапеция равнобедренная

Найти:

Площадь $S$

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – основания трапеции, $h$ – высота.

Опустим из верхних вершин трапеции две высоты на большее основание. Пусть эти высоты делят большее основание $a$ на три отрезка: $x$, $b$, $x$. В равнобедренной трапеции эти отрезки $x$ равны.

Таким образом, $a = b + 2x$, откуда $2x = a - b$, и $x = \frac{a-b}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой $h$ и отрезком $x$ на большем основании. Угол при основании этого треугольника равен $\beta$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$\tan \beta = \frac{h}{x}$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h = x \cdot \tan \beta$

Подставим выражение для $x$:

$h = \frac{a-b}{2} \cdot \tan \beta$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot \left(\frac{a-b}{2} \cdot \tan \beta\right)$

$S = \frac{(a+b)(a-b)}{4} \cdot \tan \beta$

Используя формулу разности квадратов $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$, упростим выражение:

$S = \frac{a^2 - b^2}{4} \cdot \tan \beta$

Ответ: $S = \frac{a^2 - b^2}{4} \cdot \tan \beta$

263. Галапагосский морской заповедник занимает $133\,000 \text{ км}^2$, а Катон-Карагайский национальный парк Казахстана – $643\,477 \text{ га}$. Какая из этих площадей больше и во сколько раз? Ответ дайте с точностью до единиц.

Галапагосский конолоф

Водопад Кокколь
в Катон-Карагайском парке

Дано

Площадь Галапагосского морского заповедника ($S_1$) = $133 \, 000 \text{ км}^2$.

Площадь Катон-Карагайского национального парка Казахстана ($S_2$) = $643 \, 477 \text{ га}$.

Перевод всех данных в систему СИ:

$1 \text{ км}^2 = 10^6 \text{ м}^2$

$1 \text{ га} = 10^4 \text{ м}^2$

$S_1 = 133 \, 000 \text{ км}^2 = 133 \, 000 \times 10^6 \text{ м}^2 = 1.33 \times 10^{11} \text{ м}^2$.

$S_2 = 643 \, 477 \text{ га} = 643 \, 477 \times 10^4 \text{ м}^2 = 6.43477 \times 10^9 \text{ м}^2$.

Найти:

1. Какая из площадей больше?

2. Во сколько раз больше (с точностью до единиц)?

Решение

Для сравнения площадей и вычисления их отношения удобно привести обе величины к одной единице измерения. Переведем площадь Катон-Карагайского национального парка из гектаров в квадратные километры, зная, что $1 \text{ км}^2 = 100 \text{ га}$:

$S_2 = 643 \, 477 \text{ га} = \frac{643 \, 477}{100} \text{ км}^2 = 6434.77 \text{ км}^2$.

Теперь сравним площади:

Площадь Галапагосского морского заповедника $S_1 = 133 \, 000 \text{ км}^2$.

Площадь Катон-Карагайского национального парка $S_2 = 6434.77 \text{ км}^2$.

Очевидно, что $133 \, 000 \text{ км}^2 > 6434.77 \text{ км}^2$. Следовательно, площадь Галапагосского морского заповедника больше.

Далее вычислим, во сколько раз площадь Галапагосского морского заповедника больше площади Катон-Карагайского национального парка, разделив большую площадь на меньшую:

$\text{Разница} = \frac{S_1}{S_2} = \frac{133 \, 000 \text{ км}^2}{6434.77 \text{ км}^2} \approx 20.6698$.

Согласно условию задачи, ответ нужно дать с точностью до единиц. Округляем полученное значение до ближайшего целого числа:

$20.6698 \approx 21$.

Ответ: Площадь Галапагосского морского заповедника больше, чем площадь Катон-Карагайского национального парка, приблизительно в 21 раз.

264. a) Высота равнобедренного треугольника, проведенная к его боковой стороне, равна $h$, а острый угол при его основании равен $\alpha$. Найдите площадь треугольника.

б) Дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 5 см, а боковая сторона 4 см. Найдите сумму расстояний от произвольной точки основания до боковых сторон треугольника. Сравните полученную величину с высотой треугольника, проведенной к боковой стороне.

a)

Дано:
Равнобедренный треугольник.
Высота к боковой стороне: $h_b = h$.
Острый угол при основании: $\alpha$.

Найти:
Площадь треугольника $S$.

Решение:
Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC — боковые стороны, AC — основание. Углы при основании равны $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.
Высота, проведенная к боковой стороне BC из вершины A, обозначим ее AD. По условию, $AD = h$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (где D лежит на стороне BC, так как $\alpha$ острый, то угол при вершине B будет тупым, если $\alpha > 45^\circ$, но в равнобедренном треугольнике углы при основании всегда острые, а угол при вершине может быть тупым или острым. Если угол при вершине B тупой, то точка D будет лежать вне отрезка BC, на его продолжении. Однако, если AD - высота к боковой стороне, то она может быть опущена из вершины основания на противоположную боковую сторону. Пусть AD - высота из A на BC.
Угол при вершине B в треугольнике ABC равен $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$.
В прямоугольном треугольнике ABD (с прямым углом D):
$AD = AB \sin(\angle ABC)$
$h = AB \sin(180^\circ - 2\alpha)$
Используя свойство $\sin(180^\circ - x) = \sin x$:
$h = AB \sin(2\alpha)$
Длина боковой стороны $AB = \frac{h}{\sin(2\alpha)}$.
Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)$. Поскольку в равнобедренном треугольнике AB = BC, то:
$S = \frac{1}{2} (AB)^2 \sin(\angle ABC)$
Подставим выражение для AB и $\angle ABC$:
$S = \frac{1}{2} \left(\frac{h}{\sin(2\alpha)}\right)^2 \sin(180^\circ - 2\alpha)$
$S = \frac{1}{2} \frac{h^2}{\sin^2(2\alpha)} \sin(2\alpha)$
$S = \frac{h^2}{2\sin(2\alpha)}$

Ответ: $S = \frac{h^2}{2\sin(2\alpha)}$

б)

Дано:
Равнобедренный треугольник ABC.
Основание $AC = a = 5$ см.
Боковая сторона $AB = BC = b = 4$ см.

Перевод в СИ:
$a = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:
1. Сумма расстояний от произвольной точки основания до боковых сторон ($d_1 + d_2$).
2. Высота треугольника, проведенная к боковой стороне ($h_b$).
3. Сравнить $d_1 + d_2$ с $h_b$.

Решение:
1. Найдем сумму расстояний от произвольной точки P на основании AC до боковых сторон AB и BC. Пусть эти расстояния $PD_1 = d_1$ (перпендикуляр к AB) и $PD_2 = d_2$ (перпендикуляр к BC).
Площадь треугольника ABC ($S_{ABC}$) можно выразить как сумму площадей треугольников APB и CPB:
$S_{ABC} = S_{APB} + S_{CPB}$
Площадь треугольника APB: $S_{APB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot PD_1 = \frac{1}{2} b d_1$.
Площадь треугольника CPB: $S_{CPB} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot PD_2 = \frac{1}{2} b d_2$.
Таким образом, $S_{ABC} = \frac{1}{2} b d_1 + \frac{1}{2} b d_2 = \frac{1}{2} b (d_1 + d_2)$.
Теперь найдем численное значение площади $S_{ABC}$. Проведем высоту BM к основанию AC. M — середина AC.
$AM = \frac{AC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см}$.
В прямоугольном треугольнике AMB (с прямым углом M) по теореме Пифагора:
$BM^2 = AB^2 - AM^2$
$BM^2 = 4^2 - (2.5)^2 = 16 - 6.25 = 9.75$
$BM = \sqrt{9.75} = \sqrt{\frac{39}{4}} = \frac{\sqrt{39}}{2} \text{ см}$.
Площадь треугольника ABC:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{39}}{2} = \frac{5\sqrt{39}}{4} \text{ см}^2$.
Приравняем два выражения для площади:
$\frac{1}{2} b (d_1 + d_2) = S_{ABC}$
$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (d_1 + d_2) = \frac{5\sqrt{39}}{4}$
$2 (d_1 + d_2) = \frac{5\sqrt{39}}{4}$
$d_1 + d_2 = \frac{5\sqrt{39}}{8} \text{ см}$.
В системе СИ: $d_1 + d_2 = \frac{5\sqrt{39}}{8} \text{ см} = \frac{5\sqrt{39}}{8} \cdot 0.01 \text{ м} = \frac{5\sqrt{39}}{800} \text{ м}$.
2. Найдем высоту, проведенную к боковой стороне. Пусть это высота AN, проведенная из вершины A к боковой стороне BC. $AN = h_b$.
Площадь треугольника ABC также может быть выражена как:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AN = \frac{1}{2} b h_b$.
Используем ранее найденное значение площади:
$\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h_b = \frac{5\sqrt{39}}{4}$
$2 h_b = \frac{5\sqrt{39}}{4}$
$h_b = \frac{5\sqrt{39}}{8} \text{ см}$.
В системе СИ: $h_b = \frac{5\sqrt{39}}{8} \text{ см} = \frac{5\sqrt{39}}{8} \cdot 0.01 \text{ м} = \frac{5\sqrt{39}}{800} \text{ м}$.
3. Сравним полученные величины:
Сумма расстояний $d_1 + d_2 = \frac{5\sqrt{39}}{8} \text{ см}$.
Высота к боковой стороне $h_b = \frac{5\sqrt{39}}{8} \text{ см}$.
Таким образом, $d_1 + d_2 = h_b$. Это является известным свойством равнобедренного треугольника.

Ответ: Сумма расстояний от произвольной точки основания до боковых сторон равна $\frac{5\sqrt{39}}{8}$ см. Высота треугольника, проведенная к боковой стороне, также равна $\frac{5\sqrt{39}}{8}$ см. Эти величины равны.