Страница 184 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

72. Если гипотенуза прямоугольного треугольника равна 6 см, а острый угол $45^\circ$, то его площадь равна ... см².

В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$. Поскольку по условию один из острых углов равен $45^\circ$, то и второй острый угол будет равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. В данном случае это означает, что катеты прямоугольного треугольника равны между собой. Обозначим длину каждого катета буквой $a$.

Применим теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($c$):

$a^2 + a^2 = c^2$

$2a^2 = c^2$

Из условия задачи известно, что длина гипотенузы $c = 6$ см. Подставим это значение в полученное уравнение:

$2a^2 = 6^2$

$2a^2 = 36$

Отсюда можно найти значение $a^2$:

$a^2 = \frac{36}{2} = 18$

Площадь ($S$) прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Так как катеты равны $a$, формула площади имеет вид:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$

Теперь подставим найденное значение $a^2 = 18$ в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см²

Ответ: 9

73. Площадь равностороннего треугольника $16\sqrt{3}$ м$\text{^2}$, значит, его сторона равна ... м.

73.Для решения задачи воспользуемся формулой площади равностороннего треугольника через его сторону. Площадь $S$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
По условию, площадь треугольника равна $S = 16\sqrt{3}$ м². Подставим это значение в формулу:
$16\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Теперь необходимо решить это уравнение относительно $a$. Для этого сначала выразим $a^2$. Умножим обе части уравнения на 4:
$16\sqrt{3} \cdot 4 = a^2\sqrt{3}$
$64\sqrt{3} = a^2\sqrt{3}$
Теперь разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$ (поскольку $\sqrt{3} \neq 0$):
$a^2 = \frac{64\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$
$a^2 = 64$
Чтобы найти длину стороны $a$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как длина стороны является положительной величиной, мы рассматриваем только арифметический корень:
$a = \sqrt{64}$
$a = 8$
Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 8 м.
Ответ: 8

74. В параллелограмме $ABCD$ угол $A$ равен $60^{\circ}$, $AB = 2$ дм, $BH$ - высота, $HD = 4$ дм. Площадь параллелограмма $ABCD$ равна ... $дм^2$.

Для нахождения площади параллелограмма $ABCD$ используется формула $S = a \cdot h$, где $a$ — сторона (основание), а $h$ — высота, проведенная к этой стороне. В нашем случае, площадь будет равна $S = AD \cdot BH$.

1. Найдем высоту $BH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$, так как $BH$ — высота). В этом треугольнике нам известна гипотенуза $AB = 2$ дм и угол $\angle A = 60^\circ$. Высота $BH$ является катетом, противолежащим углу $A$.

Используем синус угла $A$:

$\sin(\angle A) = \frac{BH}{AB}$

$BH = AB \cdot \sin(\angle A) = 2 \cdot \sin(60^\circ)$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$BH = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ дм.

2. Найдем основание $AD$.

Основание $AD$ состоит из двух отрезков: $AH$ и $HD$. Отрезок $HD$ нам дан по условию ($HD = 4$ дм). Найдем отрезок $AH$ из того же прямоугольного треугольника $ABH$. $AH$ — это катет, прилежащий к углу $A$.

Используем косинус угла $A$:

$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB}$

$AH = AB \cdot \cos(\angle A) = 2 \cdot \cos(60^\circ)$

Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$AH = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ дм.

Теперь можем найти длину всего основания $AD$:

$AD = AH + HD = 1 + 4 = 5$ дм.

3. Найдем площадь параллелограмма.

Теперь, когда у нас есть и основание $AD$, и высота $BH$, мы можем вычислить площадь параллелограмма:

$S_{ABCD} = AD \cdot BH = 5 \cdot \sqrt{3}$ дм².

Ответ: $5\sqrt{3}$