Страница 104 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 6

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Две стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см, а угол между ними — 60°. Найдите:

1) большую диагональ параллелограмма;

2) площадь параллелограмма.

2. В треугольнике $MKP$ $MP = 7\sqrt{2}$ см, $KP = 7\sqrt{3}$ см, $\angle K = 45^\circ$. Найдите угол $M$.

3. Около правильного треугольника ABC со стороной 18 см описана окружность с центром O.

1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу BAC.

2) Укажите, какой отрезок является образом стороны AB при повороте вокруг центра O по часовой стрелке на угол $120^\circ$?

4. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках $A (1; -1)$, $B (-4; 4)$, $C (-2; 6)$ и $D (3; 1)$ является прямоугольником.

5. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x + 3)^2 + (y - 9)^2 = 16$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(-5; 4)$.

6. Найдите косинус угла между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если векторы $\vec{a} = 2\vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 6\vec{m} - \vec{n}$ перпендикулярны, $|\vec{m}| = 2$, $|\vec{n}| = 6$.

Контрольная работа № 6

Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Две стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см, а угол между ними — 60°. Найдите:

1) большую диагональ параллелограмма;

2) площадь параллелограмма.

2. В треугольнике MKP $MP = 7\sqrt{2}$ см, $KP = 7\sqrt{3}$ см, $\angle K = 45^\circ$. Найдите угол M.

3. Около правильного треугольника ABC со стороной 18 см описана окружность с центром O.

1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу BAC.

2) Укажите, какой отрезок является образом стороны AB при повороте вокруг центра O по часовой стрелке на угол 120°?

4. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках $A (1; -1)$, $B (-4; 4)$, $C (-2; 6)$ и $D (3; 1)$ является прямоугольником.

5. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x + 3)^2 + (y - 9)^2 = 16$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (-5; 4)$.

6. Найдите косинус угла между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если векторы $\vec{a} = 2\vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 6\vec{m} - \vec{n}$ перпендикулярны, $|\vec{m}| = 2$, $|\vec{n}| = 6$.

1. Даны стороны параллелограмма $a = 8$ см и $b = 6$ см, и угол между ними $\alpha = 60°$.

1) большую диагональ параллелограмма

В параллелограмме два угла, прилежащих к одной стороне, в сумме дают $180°$. Один угол равен $60°$, значит, другой угол равен $180° - 60° = 120°$. Большая диагональ лежит напротив большего угла, то есть напротив угла $120°$.
Для нахождения длины диагонали $d$ воспользуемся теоремой косинусов:
$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120°)$
$d^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2})$
$d^2 = 64 + 36 + 96 \cdot \frac{1}{2}$
$d^2 = 100 + 48 = 148$
$d = \sqrt{148} = \sqrt{4 \cdot 37} = 2\sqrt{37}$ см.
Ответ: $2\sqrt{37}$ см.

2) площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле:
$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$
$S = 8 \cdot 6 \cdot \sin(60°)$
$S = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ см².
Ответ: $24\sqrt{3}$ см².

2. В треугольнике МКР даны стороны $MP = 7\sqrt{2}$ см, $KP = 7\sqrt{3}$ см и угол $\angle K = 45°$.

Применим теорему синусов для треугольника МКР:
$\frac{MP}{\sin K} = \frac{KP}{\sin M}$
Подставим известные значения:
$\frac{7\sqrt{2}}{\sin 45°} = \frac{7\sqrt{3}}{\sin M}$
Найдем $\sin M$:
$\sin M = \frac{7\sqrt{3} \cdot \sin 45°}{7\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Уравнение $\sin M = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два решения для угла в треугольнике: $M = 60°$ или $M = 120°$.
Проверим, возможны ли оба случая:
1) Если $\angle M = 60°$, то $\angle P = 180° - (45° + 60°) = 75°$. Такой треугольник существует.
2) Если $\angle M = 120°$, то $\angle P = 180° - (45° + 120°) = 15°$. Такой треугольник также существует.
В данном случае (заданы две стороны и угол не между ними) задача имеет два решения.
Ответ: $60°$ или $120°$.

3. Около правильного треугольника ABC со стороной $a=18$ см описана окружность с центром O.

1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу BAC.

Радиус $R$ окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, равен $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$R = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$ см.
Так как треугольник ABC правильный, его вершины делят окружность на три равные дуги: AB, BC и CA. Центральный угол, соответствующий каждой из этих дуг, равен $\frac{360°}{3} = 120°$.
Дуга BAC состоит из двух дуг, BA и AC. Центральный угол, соответствующий дуге BAC, равен $120° + 120° = 240°$.
Площадь сектора $S_{сект}$ вычисляется по формуле $S_{сект} = \frac{\alpha}{360°} \pi R^2$, где $\alpha$ - центральный угол.
$S_{сект} = \frac{240°}{360°} \pi (6\sqrt{3})^2 = \frac{2}{3} \pi (36 \cdot 3) = \frac{2}{3} \pi \cdot 108 = 2 \cdot 36\pi = 72\pi$ см².
Ответ: $72\pi$ см².

2) Укажите, какой отрезок является образом стороны AB при повороте вокруг центра O по часовой стрелке на угол 120°?

Вершины A, B, C правильного треугольника расположены на окружности. Углы между радиусами, проведенными к вершинам, равны $120°$. Пусть вершины расположены в порядке A, B, C против часовой стрелки.
При повороте вокруг центра O по часовой стрелке на $120°$:
- Точка A перейдет в точку C.
- Точка B перейдет в точку A.
Следовательно, отрезок AB перейдет в отрезок CA.
Ответ: Отрезок CA.

4. Даны координаты вершин четырехугольника: A(1; -1), B(-4; 4), C(-2; 6), D(3; 1).

Чтобы доказать, что ABCD является прямоугольником, достаточно показать, что это параллелограмм с прямым углом.
1. Проверим, является ли ABCD параллелограммом. Для этого найдем векторы его сторон:
$\vec{AB} = (-4 - 1; 4 - (-1)) = (-5; 5)$
$\vec{DC} = (-2 - 3; 6 - 1) = (-5; 5)$
Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, то стороны AB и DC параллельны и равны по длине. Следовательно, ABCD — параллелограмм.
2. Проверим наличие прямого угла. Найдем скалярное произведение векторов смежных сторон, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.
$\vec{AD} = (3 - 1; 1 - (-1)) = (2; 2)$
$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = (-5) \cdot 2 + 5 \cdot 2 = -10 + 10 = 0$.
Поскольку скалярное произведение смежных сторон равно нулю, угол между ними ($\angle DAB$) равен $90°$.
Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.
Ответ: Четырехугольник ABCD является прямоугольником, что и требовалось доказать.

5. Дана окружность $(x + 3)^2 + (y - 9)^2 = 16$ и вектор параллельного переноса $\vec{a}(-5; 4)$.

Уравнение исходной окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
Центр исходной окружности находится в точке $C(-3; 9)$, а ее радиус $R = \sqrt{16} = 4$.
При параллельном переносе радиус окружности не изменяется.
Новый центр окружности $C'(x'; y')$ можно найти, прибавив к координатам старого центра компоненты вектора переноса:
$x' = -3 + (-5) = -8$
$y' = 9 + 4 = 13$
Таким образом, новый центр — точка $C'(-8; 13)$, а радиус $R' = 4$.
Уравнение новой окружности:
$(x - (-8))^2 + (y - 13)^2 = 4^2$
$(x + 8)^2 + (y - 13)^2 = 16$
Ответ: $(x + 8)^2 + (y - 13)^2 = 16$.

6. Дано: векторы $\vec{a} = 2\vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 6\vec{m} - \vec{n}$ перпендикулярны, $|\vec{m}| = 2$, $|\vec{n}| = 6$.

Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
$(2\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (6\vec{m} - \vec{n}) = 0$
Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:
$2\vec{m} \cdot 6\vec{m} - 2\vec{m} \cdot \vec{n} + 3\vec{n} \cdot 6\vec{m} - 3\vec{n} \cdot \vec{n} = 0$
$12(\vec{m} \cdot \vec{m}) - 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 18(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3(\vec{n} \cdot \vec{n}) = 0$
$12|\vec{m}|^2 + 16(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3|\vec{n}|^2 = 0$
Подставим известные значения $|\vec{m}| = 2$ и $|\vec{n}| = 6$:
$12 \cdot 2^2 + 16(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3 \cdot 6^2 = 0$
$12 \cdot 4 + 16(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3 \cdot 36 = 0$
$48 + 16(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 108 = 0$
$16(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 60 = 0$
$16(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 60$
$\vec{m} \cdot \vec{n} = \frac{60}{16} = \frac{15}{4}$
Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$ находится по формуле:
$\cos \theta = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|}$
$\cos \theta = \frac{15/4}{2 \cdot 6} = \frac{15/4}{12} = \frac{15}{4 \cdot 12} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}$
Ответ: $\frac{5}{16}$.