Страница 12 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

80. Найдите площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 4 см.

80. Найдите площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 4 см.

Площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность, можно вычислить, разбив его на 12 одинаковых равнобедренных треугольников. Вершина каждого треугольника находится в центре окружности, а боковые стороны равны радиусу окружности.

1. Определение параметров треугольника

Боковые стороны каждого из 12 треугольников равны радиусу описанной окружности $R = 4$ см.

Угол между этими сторонами (центральный угол) можно найти, разделив полный угол $360^\circ$ на количество сторон (и треугольников):

$\alpha = \frac{360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

2. Вычисление площади одного треугольника

Площадь треугольника ($S_{\triangle}$) можно найти по формуле через две стороны и угол между ними:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$

В нашем случае $a=b=R=4$ см и $\gamma=\alpha=30^\circ$:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin(30^\circ)$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см².

3. Вычисление площади всего двенадцатиугольника

Площадь всего двенадцатиугольника ($S_{12}$) равна площади одного треугольника, умноженной на их количество:

$S_{12} = 12 \cdot S_{\triangle} = 12 \cdot 4 = 48$ см².

Также можно было воспользоваться общей формулой для площади правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$:

$S_n = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$

$S_{12} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4^2 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{12}\right) = 6 \cdot 16 \cdot \sin(30^\circ) = 96 \cdot \frac{1}{2} = 48$ см².

Ответ: 48 см².

81. Отрезки AB, BC и CD — три последовательные сторо- ны правильного многоугольника. Продолжения сто- рон AB и CD пересекаются в точке M, $\angle BMC = 140^\circ$. Найдите количество сторон данного правильного мно- гоугольника.

81. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$, $\angle BMC = 140^\circ$. Найдите количество сторон данного правильного многоугольника.

Пусть $n$ — искомое количество сторон правильного многоугольника. Когда мы продолжаем стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $M$, мы получаем треугольник $BMC$.

Углы этого треугольника $\angle MBC$ и $\angle MCB$ являются внешними углами правильного многоугольника при вершинах $B$ и $C$ соответственно. Поскольку многоугольник правильный, все его внешние углы равны. Следовательно, $\angle MBC = \angle MCB$. Это означает, что треугольник $BMC$ является равнобедренным.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $BMC$ мы можем записать: $\angle BMC + \angle MBC + \angle MCB = 180^\circ$

Из условия задачи мы знаем, что $\angle BMC = 140^\circ$. Подставим это значение в уравнение: $140^\circ + \angle MBC + \angle MCB = 180^\circ$

Так как $\angle MBC = \angle MCB$, мы можем переписать уравнение как: $140^\circ + 2 \cdot \angle MBC = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти величину внешнего угла многоугольника: $2 \cdot \angle MBC = 180^\circ - 140^\circ$ $2 \cdot \angle MBC = 40^\circ$ $\angle MBC = 20^\circ$

Таким образом, внешний угол правильного многоугольника равен $20^\circ$. Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного $n$-угольника, у которого все $n$ внешних углов равны, величина одного внешнего угла ($\beta$) связана с количеством сторон $n$ формулой: $\beta = \frac{360^\circ}{n}$

Подставим найденное значение внешнего угла $\beta = 20^\circ$ в формулу: $20^\circ = \frac{360^\circ}{n}$

Отсюда найдем количество сторон $n$: $n = \frac{360^\circ}{20^\circ}$ $n = 18$

Следовательно, у данного правильного многоугольника 18 сторон.

Ответ: 18

82. Высота правильного треугольника равна 12 см. Чему равен радиус:

1) описанной около него окружности;

2) вписанной в него окружности?

82. Высота правильного треугольника равна 12 см. Чему равен радиус:

1) описанной около него окружности;

2) вписанной в него окружности?

В правильном (равностороннем) треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис. Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Поскольку в правильном треугольнике высота является и медианой, то центр окружностей делит высоту $h$ на два отрезка. Больший отрезок, идущий от вершины к центру, является радиусом описанной окружности ($R$), а меньший отрезок, идущий от центра к основанию, является радиусом вписанной окружности ($r$).

Таким образом, радиус описанной окружности составляет $\frac{2}{3}$ высоты, а радиус вписанной окружности — $\frac{1}{3}$ высоты.

Дано, что высота $h = 12$ см.

1) описанной около него окружности;
Радиус описанной окружности $R$ вычисляется по формуле:
$R = \frac{2}{3}h$
Подставим значение высоты:
$R = \frac{2}{3} \times 12 = 2 \times 4 = 8$ см.
Ответ: 8 см.

2) вписанной в него окружности?
Радиус вписанной окружности $r$ вычисляется по формуле:
$r = \frac{1}{3}h$
Подставим значение высоты:
$r = \frac{1}{3} \times 12 = 4$ см.
Ответ: 4 см.

83. Около квадрата со стороной $5\sqrt{2}$ см описана окружность. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

83. Около квадрата со стороной $5\sqrt{2}$ см описана окружность. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

Для решения задачи сначала найдем радиус окружности, описанной около квадрата. Затем, используя этот радиус как радиус вписанной в шестиугольник окружности, найдем сторону шестиугольника.

1. Нахождение радиуса окружности.
Радиус $R$ окружности, описанной около квадрата, связан с его стороной $a_{кв}$ формулой $R = \frac{a_{кв}\sqrt{2}}{2}$. Также можно найти радиус через диагональ квадрата $d_{кв}$. Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности.

Сторона квадрата $a_{кв} = 5\sqrt{2}$ см.

Найдем диагональ квадрата:
$d_{кв} = a_{кв} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10$ см.

Диаметр окружности $D$ равен диагонали квадрата, $D = 10$ см. Радиус окружности $R$ равен половине диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

2. Нахождение стороны правильного шестиугольника.
Правильный шестиугольник описан около этой окружности. Это означает, что данная окружность является вписанной в шестиугольник. Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности $r_{шест}$ связан с его стороной $a_{шест}$ формулой:
$r_{шест} = \frac{a_{шест}\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае радиус вписанной в шестиугольник окружности равен радиусу окружности, найденному в первом шаге: $r_{шест} = R = 5$ см.

Подставим значение радиуса в формулу и выразим сторону шестиугольника $a_{шест}$:
$5 = \frac{a_{шест}\sqrt{3}}{2}$
$a_{шест} = \frac{5 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$a_{шест} = \frac{10 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

84. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 8 см, а радиус окружности, вписанной в него, — $4\sqrt{3}$ см. Найдите сторону многоугольника и количество его сторон.

84. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 8 см, а радиус окружности, вписанной в него, — $4\sqrt{3}$ см. Найдите сторону многоугольника и количество его сторон.

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности, $a$ — сторона правильного многоугольника, а $n$ — количество его сторон.
По условию задачи имеем:
$R = 8$ см
$r = 4\sqrt{3}$ см

Нахождение стороны многоугольника

Для правильного многоугольника радиусы вписанной и описанной окружностей и половина стороны образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенузой является радиус описанной окружности $R$, а катетами — радиус вписанной окружности $r$ и половина стороны многоугольника $\frac{a}{2}$.
Согласно теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$
Подставим известные значения:
$8^2 = (4\sqrt{3})^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$
$64 = 16 \cdot 3 + \frac{a^2}{4}$
$64 = 48 + \frac{a^2}{4}$
$\frac{a^2}{4} = 64 - 48$
$\frac{a^2}{4} = 16$
$a^2 = 16 \cdot 4 = 64$
$a = \sqrt{64} = 8$ см
Ответ: сторона многоугольника равна 8 см.

Нахождение количества сторон

Радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного n-угольника связаны соотношением:
$r = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$
Подставим известные значения $R$ и $r$:
$4\sqrt{3} = 8 \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$
Выразим косинус угла:
$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Это известное значение косинуса. Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $30^\circ$.
Следовательно:
$\frac{180^\circ}{n} = 30^\circ$
Отсюда находим $n$:
$n = \frac{180^\circ}{30^\circ} = 6$
Таким образом, данный многоугольник является правильным шестиугольником.
Ответ: количество сторон многоугольника равно 6.

85. В окружность радиуса 6 см вписан правильный треугольник. В этот треугольник вписана окружность, а в окружность — квадрат. Найдите сторону квадрата.

85. В окружность радиуса 6 см вписан правильный треугольник. В этот треугольник вписана окружность, а в окружность — квадрат. Найдите сторону квадрата.

Пусть $R$ — это радиус исходной окружности, в которую вписан правильный треугольник. По условию, $R = 6$ см.

Пусть $r$ — это радиус окружности, вписанной в этот правильный треугольник. Для правильного (равностороннего) треугольника радиус описанной окружности ($R$) и радиус вписанной окружности ($r$) связаны соотношением:

$$R = 2r$$

Найдем радиус $r$ вписанной окружности, подставив известное значение $R$:

$$r = \frac{R}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$$

Далее, в эту вторую окружность (с радиусом $r=3$ см) вписан квадрат. Для этого квадрата данная окружность является описанной. Обозначим сторону квадрата как $a$.

Диагональ квадрата ($d$) равна диаметру описанной около него окружности. В нашем случае диаметр равен $2r$.

$$d = 2r = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}$$

Диагональ квадрата также связана с его стороной $a$ по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда следует, что $d = a\sqrt{2}$.

Приравняем два выражения для диагонали, чтобы найти сторону квадрата $a$:

$$a\sqrt{2} = 6$$

$$a = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см}$$

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

86. Около квадрата со стороной $a$ описана окружность, около этой окружности описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около шестиугольника.

86. Около квадрата со стороной $a$ описана окружность, около этой окружности описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около шестиугольника.

Пусть $a$ — сторона исходного квадрата.

Сначала найдем радиус $R_1$ окружности, описанной около квадрата. Диаметр этой окружности равен диагонали квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по теореме Пифагора и равна $d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Радиус описанной окружности равен половине диагонали: $R_1 = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Далее, по условию, около этой окружности описан правильный шестиугольник. Это означает, что данная окружность является вписанной в этот шестиугольник. Следовательно, радиус вписанной в шестиугольник окружности, обозначим его $r_h$, равен $R_1$: $r_h = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Теперь нам нужно найти радиус $R_h$ окружности, описанной около этого правильного шестиугольника. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности $R_h$ и радиус вписанной окружности $r_h$ связаны соотношением: $r_h = R_h \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = R_h \cdot \cos(30^\circ) = R_h \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из этого соотношения выразим $R_h$: $R_h = \frac{r_h}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2r_h}{\sqrt{3}}$.

Подставим найденное значение $r_h = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ в эту формулу: $R_h = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $R_h = \frac{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

87. В окружность радиуса $4\sqrt{3}$ см вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен другой правильный треугольник, и в него вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

87. В окружность радиуса $4\sqrt{3}$ см вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен другой правильный треугольник, и в него вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Пусть $R$ — радиус окружности, в которую вписан первый правильный треугольник. По условию, $R = 4\sqrt{3}$ см.
Сторона правильного треугольника $a_1$ и радиус описанной около него окружности $R$ связаны соотношением $R = \frac{a_1}{\sqrt{3}}$. Отсюда найдем сторону первого треугольника:
$a_1 = R \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.
Высота $h_1$ этого правильного треугольника вычисляется по формуле $h_1 = \frac{a_1\sqrt{3}}{2}$:
$h_1 = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.
По условию задачи, на высоте первого треугольника как на стороне построен второй правильный треугольник. Таким образом, сторона второго треугольника $a_2$ равна высоте первого:
$a_2 = h_1 = 6\sqrt{3}$ см.
Теперь необходимо найти радиус $r_2$ окружности, вписанной во второй правильный треугольник. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности связан с его стороной $a_2$ формулой $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}}$ (или $r_2 = \frac{a_2\sqrt{3}}{6}$).
Подставим значение стороны $a_2$:
$r_2 = \frac{6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 3$ см.
Ответ: 3 см.

88. Сторона правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ равна 6 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

88. Сторона правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ равна 6 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного восьмиугольника, вписанного в окружность. Пусть $a$ — сторона восьмиугольника, а $R$ — радиус описанной окружности. По условию, $a = 6$ см.

Сначала найдем радиус $R$ описанной окружности. Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного восьмиугольника, равен $\alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $A_1OA_2$, где $O$ — центр восьмиугольника, $OA_1 = OA_2 = R$, а $A_1A_2 = a = 6$ см. По теореме косинусов:

$a^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(45^\circ)$

$6^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$36 = 2R^2 (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})$

$36 = R^2 (2 - \sqrt{2})$

$R^2 = \frac{36}{2 - \sqrt{2}} = \frac{36(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{36(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = 18(2 + \sqrt{2})$

Теперь, зная $R^2$, мы можем найти длины диагоналей.

A₁A₃

Диагональ $A_1A_3$ соединяет вершины через одну. В описанной окружности она стягивает дугу, равную двум сторонам, поэтому центральный угол $\angle A_1OA_3 = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $A_1OA_3$ является равнобедренным прямоугольным треугольником с катетами $OA_1 = OA_3 = R$. По теореме Пифагора:

$(A_1A_3)^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$

Подставим значение $R^2$:

$(A_1A_3)^2 = 2 \cdot 18(2 + \sqrt{2}) = 36(2 + \sqrt{2})$

$A_1A_3 = \sqrt{36(2 + \sqrt{2})} = 6\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ см.

A₁A₄

Диагональ $A_1A_4$ соединяет вершины через две. Центральный угол $\angle A_1OA_4 = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $A_1OA_4$ со сторонами $OA_1 = OA_4 = R$. По теореме косинусов:

$(A_1A_4)^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(135^\circ)$

$(A_1A_4)^2 = 2R^2 (1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) = 2R^2 (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = R^2(2 + \sqrt{2})$

Подставим значение $R^2$:

$(A_1A_4)^2 = 18(2 + \sqrt{2}) \cdot (2 + \sqrt{2}) = 18(2 + \sqrt{2})^2$

$A_1A_4 = \sqrt{18(2 + \sqrt{2})^2} = \sqrt{18}(2 + \sqrt{2}) = 3\sqrt{2}(2 + \sqrt{2}) = 6\sqrt{2} + 6 = 6(1 + \sqrt{2})$ см.

Ответ: $6(1 + \sqrt{2})$ см.

A₁A₅

Диагональ $A_1A_5$ соединяет противоположные вершины и проходит через центр восьмиугольника, являясь диаметром описанной окружности. Ее длина равна $2R$.

$A_1A_5 = 2R$

$(A_1A_5)^2 = (2R)^2 = 4R^2$

Подставим значение $R^2$:

$(A_1A_5)^2 = 4 \cdot 18(2 + \sqrt{2}) = 72(2 + \sqrt{2}) = 144 + 72\sqrt{2}$

$A_1A_5 = \sqrt{72(2 + \sqrt{2})} = \sqrt{36 \cdot 2(2 + \sqrt{2})} = 6\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$ см.

Ответ: $6\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$ см.

89. Найдите сторону правильного шестиугольника $ABCDEF$, если его диагональ $AC$ равна 12 см.

89. Найдите сторону правильного шестиугольника ABCDEF, если его диагональ $AC$ равна $12$ см.

Пусть сторона правильного шестиугольника $ABCDEF$ равна $a$. Тогда $AB = BC = a$.

Все внутренние углы правильного шестиугольника равны. Величину внутреннего угла можно найти по формуле для n-угольника: $ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $.

Для шестиугольника $n=6$, поэтому каждый угол равен: $ \angle ABC = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ $.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем стороны $AB = BC = a$, а угол между ними $\angle ABC = 120^\circ$. Сторона $AC$ является диагональю шестиугольника и по условию равна 12 см.

Для нахождения стороны $a$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $ABC$: $ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC) $.

Подставим известные значения в формулу: $ 12^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) $.

Зная, что $ \cos(120^\circ) = - \frac{1}{2} $, получаем: $ 144 = 2a^2 - 2a^2 \cdot (-\frac{1}{2}) $ $ 144 = 2a^2 + a^2 $ $ 144 = 3a^2 $.

Теперь найдем $a^2$: $ a^2 = \frac{144}{3} = 48 $.

Отсюда находим сторону $a$: $ a = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} $ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

90. Сторона правильного двенадцатиугольника равна 6 см. Его стороны, взятые через одну, продлили до пересечения так, что образовался правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника.

90. Сторона правильного двенадцатиугольника равна 6 см. Его стороны, взятые через одну, продлили до пересечения так, что образовался правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника.

Пусть дан правильный двенадцатиугольник с вершинами $A_1, A_2, \ldots, A_{12}$ и стороной $a = 6$ см. Новый правильный шестиугольник образуется при продлении сторон двенадцатиугольника, взятых через одну, до их пересечения. Рассмотрим, как образуются вершины нового шестиугольника. Продлим прямые, содержащие стороны $A_{12}A_1$ и $A_2A_3$. Точка их пересечения, назовем ее $B_1$, будет одной из вершин нового шестиугольника. Аналогично, точка $B_2$, полученная пересечением прямых, содержащих стороны $A_2A_3$ и $A_4A_5$, будет следующей вершиной шестиугольника.

Стороной получившегося шестиугольника является отрезок, соединяющий две соседние вершины, например, $B_1B_2$. Заметим, что обе точки $B_1$ и $B_2$ по построению лежат на прямой, содержащей сторону $A_2A_3$ исходного двенадцатиугольника. Таким образом, точки $B_1, A_2, A_3, B_2$ лежат на одной прямой, и длина стороны шестиугольника равна $B_1B_2 = B_1A_2 + A_2A_3 + A_3B_2$.

Найдем длины отрезков $B_1A_2$ и $A_3B_2$. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle B_1A_1A_2$, образованный стороной $A_1A_2$ и продолжениями сторон $A_{12}A_1$ и $A_1A_2$. Нет, это неверно. Треугольник $\triangle B_1A_1A_2$ образован отрезком $A_1A_2$ и лучами $A_1B_1$ и $A_2B_1$.

Сначала определим углы правильного двенадцатиугольника. Величина внутреннего угла правильного $n$-угольника вычисляется по формуле $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для двенадцатиугольника ($n=12$):

$\alpha = \frac{(12-2) \cdot 180^\circ}{12} = \frac{10 \cdot 180^\circ}{12} = 150^\circ$.

Внешний угол, смежный с внутренним, равен $\beta = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

В треугольнике $\triangle B_1A_1A_2$ углы при основании $A_1A_2$ являются внешними углами двенадцатиугольника. Таким образом, $\angle B_1A_1A_2 = 30^\circ$ и $\angle B_1A_2A_1 = 30^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle B_1A_1A_2$ является равнобедренным с основанием $A_1A_2 = 6$ см. Угол при вершине $B_1$ равен $\angle A_1B_1A_2 = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$.

Для нахождения длины боковой стороны $B_1A_2$ применим теорему синусов к треугольнику $\triangle B_1A_1A_2$:

$\frac{B_1A_2}{\sin(\angle B_1A_1A_2)} = \frac{A_1A_2}{\sin(\angle A_1B_1A_2)}$

$\frac{B_1A_2}{\sin(30^\circ)} = \frac{6}{\sin(120^\circ)}$

Отсюда находим $B_1A_2$:

$B_1A_2 = 6 \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(120^\circ)} = 6 \cdot \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

В силу симметрии задачи, все треугольники, образованные на "углах" двенадцатиугольника, конгруэнтны. В частности, $\triangle B_2A_3A_4$ конгруэнтен $\triangle B_1A_1A_2$. Следовательно, длина отрезка $A_3B_2$ также равна $2\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем найти длину стороны шестиугольника $B_1B_2$:

$B_1B_2 = B_1A_2 + A_2A_3 + A_3B_2 = 2\sqrt{3} + 6 + 2\sqrt{3} = 6 + 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $(6 + 4\sqrt{3})$ см.