Страница 4 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Чему равен:

1) $\sin (180^\circ - \alpha)$, если $\sin \alpha = \frac{1}{4}$;

2) $\cos (180^\circ - \alpha)$, если $\cos \alpha = -0,1$;

3) $\text{tg} (180^\circ - \alpha)$, если $\text{tg} \alpha = 8$;

4) $\text{ctg} (180^\circ - \alpha)$, если $\text{ctg} \alpha = -\frac{2}{7}$?

1. Чему равен:

1) $\sin (180^\circ - \alpha)$, если $\sin \alpha = \frac{1}{4}$;

2) $\cos (180^\circ - \alpha)$, если $\cos \alpha = -0,1$;

3) $\tan (180^\circ - \alpha)$, если $\tan \alpha = 8$;

4) $\cot (180^\circ - \alpha)$, если $\cot \alpha = -\frac{2}{7}$?

1) sin(180° − α), если sin α = 1/4
Для решения используем формулу приведения для синуса: $sin(180° − α) = sin α$.
Согласно условию, $sin α = \frac{1}{4}$.
Следовательно, $sin(180° − α) = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) cos(180° − α), если cos α = -0,1
Для решения используем формулу приведения для косинуса: $cos(180° − α) = -cos α$.
Согласно условию, $cos α = -0,1$.
Следовательно, $cos(180° − α) = -(-0,1) = 0,1$.
Ответ: 0,1.

3) tg(180° − α), если tg α = 8
Для решения используем формулу приведения для тангенса: $tg(180° − α) = -tg α$.
Согласно условию, $tg α = 8$.
Следовательно, $tg(180° − α) = -8$.
Ответ: -8.

4) ctg(180° − α), если ctg α = -2/7
Для решения используем формулу приведения для котангенса: $ctg(180° − α) = -ctg α$.
Согласно условию, $ctg α = -\frac{2}{7}$.
Следовательно, $ctg(180° − α) = -(-\frac{2}{7}) = \frac{2}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7}$.

2. Найдите значение выражения:

1) $3\sin 0^\circ + 4\cos 180^\circ;$

2) $5\sin 90^\circ - 7\operatorname{ctg} 90^\circ;$

3) $\cos^2 110^\circ + \sin^2 110^\circ;$

4) $\cos^2 40^\circ + \sin^2 140^\circ.$

2. Найдите значение выражения:

1) $3\sin 0^\circ + 4\cos 180^\circ$;

2) $5\sin 90^\circ - 7\ctg 90^\circ$;

3) $\cos^2 110^\circ + \sin^2 110^\circ$;

4) $\cos^2 40^\circ + \sin^2 140^\circ$.

1) $3\sin 0^\circ + 4\cos 180^\circ$

Для решения данного выражения необходимо знать значения тригонометрических функций для углов $0^\circ$ и $180^\circ$.

Значение синуса для угла $0^\circ$ равно $0$: $\sin 0^\circ = 0$.

Значение косинуса для угла $180^\circ$ равно $-1$: $\cos 180^\circ = -1$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$3\sin 0^\circ + 4\cos 180^\circ = 3 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 0 - 4 = -4$.

Ответ: -4

2) $5\sin 90^\circ - 7\operatorname{ctg} 90^\circ$

Найдем значения тригонометрических функций для угла $90^\circ$.

Значение синуса для угла $90^\circ$ равно $1$: $\sin 90^\circ = 1$.

Значение котангенса для угла $90^\circ$ равно $0$. Это можно вычислить по формуле $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$: $\operatorname{ctg} 90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{0}{1} = 0$.

Подставим найденные значения в выражение:

$5\sin 90^\circ - 7\operatorname{ctg} 90^\circ = 5 \cdot 1 - 7 \cdot 0 = 5 - 0 = 5$.

Ответ: 5

3) $\cos^2 110^\circ + \sin^2 110^\circ$

Это выражение является частным случаем основного тригонометрического тождества, которое гласит: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ для любого угла $\alpha$.

В данном случае $\alpha = 110^\circ$.

Следовательно, $\cos^2 110^\circ + \sin^2 110^\circ = 1$.

Ответ: 1

4) $\cos^2 40^\circ + \sin^2 140^\circ$

В этом выражении углы различны, поэтому мы не можем сразу применить основное тригонометрическое тождество. Воспользуемся формулой приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.

Представим угол $140^\circ$ как $180^\circ - 40^\circ$:

$\sin 140^\circ = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\cos^2 40^\circ + \sin^2 140^\circ = \cos^2 40^\circ + (\sin 40^\circ)^2 = \cos^2 40^\circ + \sin^2 40^\circ$.

Полученное выражение является основным тригонометрическим тождеством для угла $\alpha = 40^\circ$.

$\cos^2 40^\circ + \sin^2 40^\circ = 1$.

Ответ: 1

3. Найдите:

1) α, если $ \sin \alpha = \frac{1}{4} $ и $ 0^\circ \le \alpha \le 90^\circ $;

2) $ \sin \alpha $, если $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $;

3) $ \cos \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{1}{9} $.

3. Найдите:

1) α, если $\sin\alpha = \frac{1}{4}$ и $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$;

2) $\sin\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{1}{3}$;

3) $\cos\alpha$, если $\sin\alpha = \frac{1}{9}$.

1) α, если sin α = 1/4 и 0° ≤ α ≤ 90°;

Для того чтобы найти угол $α$, зная значение его синуса, используется обратная тригонометрическая функция — арксинус ($ \arcsin $).

По условию $ \sin\alpha = \frac{1}{4} $. Так как угол $α$ находится в промежутке $ 0° \le \alpha \le 90° $ (I четверть), решение будет единственным.

Применяя функцию арксинус к обеим частям равенства, получаем:

$ \alpha = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) $.

Это точное значение угла. Приблизительное значение, вычисленное на калькуляторе, составляет $ \alpha \approx 14.48° $.

Ответ: $ \alpha = \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) $.

2) sin α, если cos α = 1/3;

Для нахождения синуса угла, зная его косинус, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Из этого тождества выразим $ \sin^2\alpha $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $.

Подставим данное значение $ \cos\alpha = \frac{1}{3} $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} $.

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $ \sin\alpha $:

$ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \pm\frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3} $.

В условии не указано, в какой четверти находится угол $α$, поэтому необходимо учесть оба возможных знака. Если $ \cos\alpha > 0 $, то угол может быть в I или IV четверти. В I четверти синус положителен, а в IV — отрицателен.

Ответ: $ \sin\alpha = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3} $.

3) cos α, если sin α = 1/9.

Так же, как и в предыдущем задании, используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Выразим из тождества $ \cos^2\alpha $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $.

Подставим известное значение $ \sin\alpha = \frac{1}{9} $:

$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{9}\right)^2 = 1 - \frac{1}{81} = \frac{80}{81} $.

Извлечем квадратный корень для нахождения $ \cos\alpha $:

$ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{80}{81}} = \pm\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{81}} = \pm\frac{\sqrt{16 \cdot 5}}{9} = \pm\frac{4\sqrt{5}}{9} $.

Поскольку в условии не указана четверть, в которой находится угол $α$, необходимо учесть оба возможных знака. Если $ \sin\alpha > 0 $, то угол может быть в I или II четверти. В I четверти косинус положителен, а во II — отрицателен.

Ответ: $ \cos\alpha = \pm\frac{4\sqrt{5}}{9} $.

4. Сравните с нулём значение выражения:

1) $ \sin 115^\circ \operatorname{ctg} 160^\circ $;

2) $ \sin 52^\circ \cos 90^\circ \operatorname{tg} 106^\circ $.

4. Сравните с нулём значение выражения:

1) $ \sin 115^\circ \operatorname{ctg} 160^\circ; $

2) $ \sin 52^\circ \cos 90^\circ \operatorname{tg} 106^\circ . $

1) $\sin 115^\circ \cdot \text{ctg} 160^\circ$

Для сравнения значения выражения с нулём, определим знаки каждого из множителей.

Угол $115^\circ$ находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 115^\circ < 180^\circ$). Значение синуса для углов второй четверти положительно. Следовательно, $\sin 115^\circ > 0$.

Угол $160^\circ$ также находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 160^\circ < 180^\circ$). Значение котангенса для углов второй четверти отрицательно. Следовательно, $\text{ctg} 160^\circ < 0$.

Произведение положительного числа ($\sin 115^\circ$) и отрицательного числа ($\text{ctg} 160^\circ$) является отрицательным числом.

$(+) \cdot (-) = (-)$

Таким образом, значение выражения меньше нуля.

Ответ: $\sin 115^\circ \cdot \text{ctg} 160^\circ < 0$.

2) $\sin 52^\circ \cdot \cos 90^\circ \cdot \text{tg} 106^\circ$

Для сравнения значения выражения с нулём, рассмотрим каждый из множителей.

Выражение представляет собой произведение трёх сомножителей. Один из них, $\cos 90^\circ$, имеет известное табличное значение.

$\cos 90^\circ = 0$.

Поскольку один из множителей в произведении равен нулю, то всё произведение равно нулю, независимо от значений других множителей (при условии, что они определены, что в данном случае выполняется).

$\sin 52^\circ \cdot 0 \cdot \text{tg} 106^\circ = 0$.

Таким образом, значение выражения равно нулю.

Ответ: $\sin 52^\circ \cdot \cos 90^\circ \cdot \text{tg} 106^\circ = 0$.

5. Найдите значение выражения:

1) $ \sin 120^\circ \cos 150^\circ \text{ tg } 135^\circ; $

2) $ 2\cos^2 135^\circ + 6\sin 150^\circ - 4\text{ctg } 90^\circ \cos 141^\circ. $

5. Найдите значение выражения:

1) $ \sin 120^\circ \cos 150^\circ \operatorname{tg} 135^\circ; $

2) $ 2\cos^2 135^\circ + 6\sin 150^\circ - 4\operatorname{ctg} 90^\circ \cos 141^\circ. $

1) $\sin 120^\circ \cos 150^\circ \text{tg} 135^\circ$

Для вычисления значения выражения воспользуемся формулами приведения, чтобы свести тригонометрические функции углов второй четверти (от 90° до 180°) к функциям острых углов.

Найдем значение каждого множителя:

Синус $120^\circ$. Угол $120^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен.
$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Косинус $150^\circ$. Угол $150^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен.
$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тангенс $135^\circ$. Угол $135^\circ$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен.
$\text{tg} 135^\circ = \text{tg}(180^\circ - 45^\circ) = -\text{tg} 45^\circ = -1$.

Теперь перемножим полученные значения:

$\sin 120^\circ \cos 150^\circ \text{tg} 135^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot (-1) = -\frac{3}{4} \cdot (-1) = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

2) $2\cos^2 135^\circ + 6\sin 150^\circ - 4\text{ctg} 90^\circ \cos 141^\circ$

Вычислим значение каждого слагаемого в выражении по отдельности.

Первое слагаемое: $2\cos^2 135^\circ$.
Сначала найдем $\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Тогда $2\cos^2 135^\circ = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Второе слагаемое: $6\sin 150^\circ$.
Найдем $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
Тогда $6\sin 150^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

Третье слагаемое: $4\text{ctg} 90^\circ \cos 141^\circ$.
Значение котангенса для угла $90^\circ$ равно нулю: $\text{ctg} 90^\circ = 0$.
Поэтому все произведение равно нулю: $4\text{ctg} 90^\circ \cos 141^\circ = 4 \cdot 0 \cdot \cos 141^\circ = 0$.

Теперь сложим и вычтем полученные результаты:

$1 + 3 - 0 = 4$.

Ответ: $4$

6. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) $\frac{\sin 34^\circ}{\sin 146^\circ} + \frac{\operatorname{tg} 98^\circ}{\operatorname{tg} 82^\circ}$

2) $\frac{\cos 118^\circ}{\cos 62^\circ} - \frac{\operatorname{ctg} 27^\circ}{\operatorname{ctg} 153^\circ}$

6. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) $\frac{\sin 34^{\circ}}{\sin 146^{\circ}} + \frac{\text{tg } 98^{\circ}}{\text{tg } 82^{\circ}}$

2) $\frac{\cos 118^{\circ}}{\cos 62^{\circ}} - \frac{\text{ctg } 27^{\circ}}{\text{ctg } 153^{\circ}}$

1) Для нахождения значения выражения $ \frac{\sin{34^\circ}}{\sin{146^\circ}} + \frac{\tg{98^\circ}}{\tg{82^\circ}} $ воспользуемся формулами приведения.

Сначала упростим первое слагаемое $ \frac{\sin{34^\circ}}{\sin{146^\circ}} $. Представим угол в знаменателе как разность: $ 146^\circ = 180^\circ - 34^\circ $.
Применим формулу приведения $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha $.
Получаем: $ \sin{146^\circ} = \sin(180^\circ - 34^\circ) = \sin{34^\circ} $.
Таким образом, первое слагаемое равно: $ \frac{\sin{34^\circ}}{\sin{34^\circ}} = 1 $.

Теперь упростим второе слагаемое $ \frac{\tg{98^\circ}}{\tg{82^\circ}} $. Представим угол в числителе как разность: $ 98^\circ = 180^\circ - 82^\circ $.
Применим формулу приведения $ \tg(180^\circ - \alpha) = -\tg\alpha $.
Получаем: $ \tg{98^\circ} = \tg(180^\circ - 82^\circ) = -\tg{82^\circ} $.
Таким образом, второе слагаемое равно: $ \frac{-\tg{82^\circ}}{\tg{82^\circ}} = -1 $.

Сложим полученные результаты:
$ 1 + (-1) = 0 $.

Ответ: 0

2) Для нахождения значения выражения $ \frac{\cos{118^\circ}}{\cos{62^\circ}} - \frac{\text{ctg}{27^\circ}}{\text{ctg}{153^\circ}} $ также воспользуемся формулами приведения.

Рассмотрим первую дробь (уменьшаемое) $ \frac{\cos{118^\circ}}{\cos{62^\circ}} $. Представим угол в числителе как разность: $ 118^\circ = 180^\circ - 62^\circ $.
Применим формулу приведения $ \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha $.
Получаем: $ \cos{118^\circ} = \cos(180^\circ - 62^\circ) = -\cos{62^\circ} $.
Таким образом, первая дробь равна: $ \frac{-\cos{62^\circ}}{\cos{62^\circ}} = -1 $.

Рассмотрим вторую дробь (вычитаемое) $ \frac{\text{ctg}{27^\circ}}{\text{ctg}{153^\circ}} $. Представим угол в знаменателе как разность: $ 153^\circ = 180^\circ - 27^\circ $.
Применим формулу приведения $ \text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg}\alpha $.
Получаем: $ \text{ctg}{153^\circ} = \text{ctg}(180^\circ - 27^\circ) = -\text{ctg}{27^\circ} $.
Таким образом, вторая дробь равна: $ \frac{\text{ctg}{27^\circ}}{-\text{ctg}{27^\circ}} = -1 $.

Выполним вычитание:
$ -1 - (-1) = -1 + 1 = 0 $.

Ответ: 0

7. Найдите сторону AC треугольника ABC, если:

1) $AB = 4 \text{ см}$, $BC = 7 \text{ см}$, $\angle B = 60^\circ$;

2) $AB = 5\sqrt{2} \text{ см}$, $BC = 4 \text{ см}$, $\angle B = 135^\circ$.

7. Найдите сторону $AC$ треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 4$ см, $BC = 7$ см, $\angle B = 60^\circ$;

2) $AB = 5\sqrt{2}$ см, $BC = 4$ см, $\angle B = 135^\circ$.

Для решения данной задачи мы воспользуемся теоремой косинусов. Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для нашего треугольника $ABC$ формула для нахождения стороны $AC$ будет выглядеть так:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

1)

Дано: $AB = 4$ см, $BC = 7$ см, $\angle B = 60^\circ$.

Подставим известные значения в формулу теоремы косинусов:

$AC^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Выполним вычисления:

$AC^2 = 16 + 49 - 56 \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 65 - 28$

$AC^2 = 37$

Следовательно, длина стороны $AC$ равна корню квадратному из 37.

$AC = \sqrt{37}$ см.

Ответ: $\sqrt{37}$ см.

2)

Дано: $AB = 5\sqrt{2}$ см, $BC = 4$ см, $\angle B = 135^\circ$.

Подставим эти значения в формулу теоремы косинусов:

$AC^2 = (5\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4 \cdot \cos(135^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Выполним вычисления:

$AC^2 = (25 \cdot 2) + 16 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$AC^2 = 50 + 16 + (40\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$AC^2 = 66 + \frac{40 \cdot (\sqrt{2})^2}{2}$

$AC^2 = 66 + \frac{40 \cdot 2}{2}$

$AC^2 = 66 + 40$

$AC^2 = 106$

Следовательно, длина стороны $AC$ равна корню квадратному из 106.

$AC = \sqrt{106}$ см.

Ответ: $\sqrt{106}$ см.