Страница 45 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Около правильного шестиугольника со стороной $a$ описана окружность. Около этой окружности описан правильный треугольник. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.

86. Около правильного шестиугольника со стороной $a$ описана окружность. Около этой окружности описан правильный треугольник. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.

Пусть $a$ — сторона правильного шестиугольника.

1. Найдем радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника.
Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника ($R_{шест}$), равен его стороне. Следовательно, $R_{шест} = a$.

2. Свяжем эту окружность с правильным треугольником.
Согласно условию, эта же окружность (с радиусом $R_{шест} = a$) вписана в правильный треугольник. Это значит, что радиус вписанной в треугольник окружности ($r_{тр}$) равен радиусу этой окружности. $r_{тр} = R_{шест} = a$.

3. Найдем радиус окружности, описанной около правильного треугольника.
Для правильного треугольника радиус описанной окружности ($R_{тр}$) и радиус вписанной окружности ($r_{тр}$) связаны простым соотношением. Центры обеих окружностей совпадают и лежат в точке пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности — это расстояние от центра до вершины, а радиус вписанной — расстояние от центра до стороны. Отсюда следует, что: $R_{тр} = 2 \cdot r_{тр}$

Подставим известное значение $r_{тр} = a$ в эту формулу: $R_{тр} = 2a$

Ответ: $2a$

87. В окружность радиуса $2\sqrt{3}$ см вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен квадрат, и в него вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

87. В окружность радиуса $2\sqrt{3}$ см вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен квадрат, и в него вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

1. Нахождение стороны правильного треугольника
Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $a$ — сторона вписанного в нее правильного треугольника. Связь между ними выражается формулой: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. Из условия задачи известно, что $R = 2\sqrt{3}$ см. Подставим это значение в формулу и найдем сторону треугольника $a$: $2\sqrt{3} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ $a = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

2. Нахождение высоты правильного треугольника
Высота $h$ правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставим найденное значение стороны $a = 6$ см: $h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

3. Нахождение радиуса окружности, вписанной в квадрат
По условию, на высоте треугольника как на стороне построен квадрат. Следовательно, сторона квадрата $s$ равна высоте треугольника $h$: $s = h = 3\sqrt{3}$ см. В этот квадрат вписана окружность. Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне этого квадрата. Радиус $r$ такой окружности равен половине стороны квадрата: $r = \frac{s}{2}$. Подставим значение стороны квадрата $s$: $r = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

88. Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, равен 8 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

88. Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, равен 8 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

Пусть $O$ - центр окружности, описанной около правильного восьмиугольника $A_1A_2...A_8$. Радиус этой окружности $R = OA_1 = OA_2 = ... = OA_8 = 8$ см. Центральный угол, опирающийся на одну сторону правильного восьмиугольника, равен $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$. То есть, $\angle A_1OA_2 = \angle A_2OA_3 = ... = 45^\circ$. Для нахождения длины диагонали $A_iA_j$ будем рассматривать равнобедренный треугольник $\triangle A_iOA_j$ со сторонами $OA_i=OA_j=R$ и углом $\angle A_iOA_j$ между ними. Длину диагонали можно найти по теореме косинусов: $A_iA_j^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(\angle A_iOA_j) = 2R^2(1 - \cos(\angle A_iOA_j))$.

$A_1A_3$

Диагональ $A_1A_3$ соединяет вершины через одну. Центральный угол $\angle A_1OA_3$ опирается на две стороны восьмиугольника ($A_1A_2$ и $A_2A_3$), поэтому он равен $2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$. В равнобедренном треугольнике $\triangle A_1OA_3$ угол при вершине $O$ равен $90^\circ$, значит, он является прямоугольным. По теореме Пифагора: $A_1A_3^2 = OA_1^2 + OA_3^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$. Отсюда, $A_1A_3 = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$. Подставляя значение $R=8$ см, получаем $A_1A_3 = 8\sqrt{2}$ см. Ответ: $8\sqrt{2}$ см.

$A_1A_4$

Диагональ $A_1A_4$ соединяет вершины через две. Центральный угол $\angle A_1OA_4$ опирается на три стороны восьмиугольника, поэтому он равен $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$. В равнобедренном треугольнике $\triangle A_1OA_4$ применим теорему косинусов: $A_1A_4^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(135^\circ) = 2R^2(1 - \cos(135^\circ))$. Так как $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем: $A_1A_4^2 = 2R^2 \left(1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = 2R^2 \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = R^2(2+\sqrt{2})$. Отсюда, $A_1A_4 = \sqrt{R^2(2+\sqrt{2})} = R\sqrt{2+\sqrt{2}}$. Подставляя значение $R=8$ см, получаем $A_1A_4 = 8\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см. Ответ: $8\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см.

$A_1A_5$

Диагональ $A_1A_5$ соединяет противолежащие вершины правильного восьмиугольника. Эта диагональ проходит через центр окружности $O$ и является её диаметром. Центральный угол $\angle A_1OA_5$ равен $4 \cdot 45^\circ = 180^\circ$, что подтверждает, что точки $A_1$, $O$, $A_5$ лежат на одной прямой. Длина диагонали $A_1A_5$ равна диаметру окружности: $A_1A_5 = 2R$. Подставляя значение $R=8$ см, получаем $A_1A_5 = 2 \cdot 8 = 16$ см. Ответ: 16 см.

89. Найдите сторону правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, если его диагональ $A_2A_4$ равна 8 см.

89. Найдите сторону правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, если его диагональ $A_2A_4$ равна 8 см.

Пусть сторона правильного восьмиугольника $A_1A_2...A_8$ равна a.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_2A_3A_4$. В этом треугольнике стороны $A_2A_3$ и $A_3A_4$ являются сторонами восьмиугольника, поэтому их длины равны a. Сторона $A_2A_4$ является диагональю, и по условию ее длина равна 8 см.

Угол $\angle A_2A_3A_4$ является внутренним углом правильного восьмиугольника. Величина внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для восьмиугольника, где $n=8$:

$\angle A_2A_3A_4 = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

Так как треугольник $\triangle A_2A_3A_4$ равнобедренный ($A_2A_3 = A_3A_4 = a$), мы можем применить к нему теорему косинусов для нахождения стороны a. Согласно теореме косинусов, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$(A_2A_4)^2 = (A_2A_3)^2 + (A_3A_4)^2 - 2 \cdot (A_2A_3) \cdot (A_3A_4) \cdot \cos(\angle A_2A_3A_4)$

Подставим известные значения в формулу:

$8^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(135^\circ)$

$64 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(135^\circ)$

Вынесем $2a^2$ за скобки:

$64 = 2a^2(1 - \cos(135^\circ))$

Значение косинуса $135^\circ$ равно: $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим это значение в наше уравнение:

$64 = 2a^2(1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2}))$

$64 = 2a^2(1 + \frac{\sqrt{2}}{2})$

$64 = 2a^2(\frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

$64 = a^2(2 + \sqrt{2})$

Теперь выразим $a^2$:

$a^2 = \frac{64}{2 + \sqrt{2}}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{2})$:

$a^2 = \frac{64(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{64(2 - \sqrt{2})}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{64(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{64(2 - \sqrt{2})}{2} = 32(2 - \sqrt{2})$

$a^2 = 64 - 32\sqrt{2}$

Найдём длину стороны a, извлекая квадратный корень:

$a = \sqrt{64 - 32\sqrt{2}}$

Можно также вынести общий множитель из-под корня для упрощения:

$a = \sqrt{16(4 - 2\sqrt{2})} = 4\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}$ см.

Ответ: $4\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}$ см.

90. Сторона правильного восьмиугольника равна 2 см. Его стороны, взятые через одну, продолжили до пересечения так, что образовался квадрат. Найдите сторону этого квадрата.

90. Сторона правильного восьмиугольника равна 2 см. Его стороны, взятые через одну, продолжили до пересечения так, что образовался квадрат. Найдите сторону этого квадрата.

Пусть сторона правильного восьмиугольника равна $a = 2$ см. При продлении его сторон, взятых через одну, до их пересечения, образуется квадрат, который описывает данный восьмиугольник. По углам между квадратом и восьмиугольником образуются четыре одинаковых треугольника.

Рассмотрим один из таких треугольников. Его основанием служит одна из сторон восьмиугольника, а две другие стороны лежат на продолжениях соседних сторон восьмиугольника, которые были взяты через одну. Углы при основании этого треугольника равны внешним углам правильного восьмиугольника.

Сначала найдем величину внутреннего угла правильного восьмиугольника по формуле для n-угольника:$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} = \frac{(8-2) \cdot 180^\circ}{8} = \frac{6 \cdot 180^\circ}{8} = 135^\circ$.

Внешний угол восьмиугольника будет равен:$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Следовательно, у каждого из четырех образовавшихся треугольников углы при основании равны $45^\circ$. Третий угол в этих треугольниках равен $180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$. Это подтверждает, что образовавшаяся фигура является квадратом, так как все ее углы прямые. Также это означает, что все четыре треугольника по углам являются прямоугольными и равнобедренными.

Гипотенузой каждого такого треугольника является сторона восьмиугольника (та, которую "пропустили"), ее длина по условию равна $a = 2$ см. Катеты этих треугольников равны. Обозначим длину катета как $x$.

По теореме Пифагора для одного из этих треугольников:$x^2 + x^2 = a^2$$2x^2 = 2^2$$2x^2 = 4$$x^2 = 2$$x = \sqrt{2}$ см.

Сторона образовавшегося квадрата складывается из одной стороны восьмиугольника (которую продлевали) и двух катетов от двух соседних угловых треугольников. Таким образом, длина стороны квадрата $S$ вычисляется как:$S = x + a + x = a + 2x$.

Подставим найденные значения $a$ и $x$:$S = 2 + 2\sqrt{2}$ см.

Ответ: $2 + 2\sqrt{2}$ см.

91. Найдите длину окружности, радиус которой равен 3 см.

91. Найдите длину окружности, радиус которой равен 3 см.

Для нахождения длины окружности используется формула:
$C = 2 \pi r$
где $C$ — это длина окружности, $r$ — её радиус, а $\pi$ (пи) — математическая константа, примерно равная 3,14159.

В условии задачи дан радиус окружности:
$r = 3$ см.

Подставим это значение в формулу:
$C = 2 \cdot \pi \cdot 3$
$C = 6\pi$ см.

Это точное значение длины окружности. Если необходимо получить приближенное десятичное значение, можно подставить $\pi \approx 3,14$:
$C \approx 6 \cdot 3,14 = 18,84$ см.

Ответ: $6\pi$ см.

92. Найдите площадь круга, радиус которого равен:

1) 7 см;

2) $\frac{5}{\sqrt{\pi}}$ см.

92. Найдите площадь круга, радиус которого равен:

1) 7 см;

2) $ \frac{5}{\sqrt{\pi}} $ см.

1)

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – это радиус круга.
В данном случае радиус $r = 7$ см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти площадь:
$S = \pi \cdot (7)^2 = \pi \cdot 49 = 49\pi$ (см$^2$).
Ответ: $49\pi \text{ см}^2$.

2)

Используем ту же формулу для площади круга: $S = \pi r^2$.
В этом случае радиус $r = \frac{5}{\sqrt{\pi}}$ см. Подставим данное значение в формулу:
$S = \pi \cdot \left(\frac{5}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{5^2}{(\sqrt{\pi})^2} = \pi \cdot \frac{25}{\pi}$.
Сократим $\pi$ в числителе и знаменателе, чтобы получить конечный результат:
$S = 25$ (см$^2$).
Ответ: $25 \text{ см}^2$.

93. Чему равен радиус окружности, длина которой равна $3\pi$ см?

93. Чему равен радиус окружности, длина которой равна $3\pi$ см?

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ — это радиус окружности.

По условию задачи, длина окружности равна $3\pi$ см. Подставим это значение в формулу:

$3\pi = 2\pi r$

Чтобы найти радиус $r$, выразим его из этого уравнения. Для этого разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$r = \frac{3\pi}{2\pi}$

Сократив $\pi$ в числителе и знаменателе, получим:

$r = \frac{3}{2}$

$r = 1,5$ см

Ответ: 1,5 см.

94. Найдите радиус круга, площадь которого равна $9\pi \text{ см}^2$.

94. Найдите радиус круга, площадь которого равна $9\pi \text{ см}^2$.

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — это радиус круга.

По условию задачи, площадь круга равна $9\pi$ см². Подставим это значение в формулу и решим уравнение относительно $r$:
$9\pi = \pi r^2$
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$r^2 = \frac{9\pi}{\pi}$
$r^2 = 9$
Найдем радиус, извлекая квадратный корень. Поскольку радиус является длиной, он может быть только положительным числом:
$r = \sqrt{9}$
$r = 3$ (см)
Ответ: 3 см.

95. Радиус окружности уменьшили: 1) в 4 раза; 2) на 4 см.

Как при этом изменилась длина окружности?

95. Радиус окружности уменьшили: 1) в 4 раза; 2) на 4 см.

Как при этом изменилась длина окружности?

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2 \pi r$, где $r$ – это радиус окружности. Из этой формулы видно, что длина окружности находится в прямой пропорциональной зависимости от ее радиуса. Проанализируем, как изменится длина окружности в каждом из случаев.

1) Радиус уменьшили в 4 раза

Пусть первоначальный радиус окружности был $r_1$, тогда ее длина составляла $L_1 = 2 \pi r_1$.

После уменьшения радиуса в 4 раза новый радиус $r_2$ стал равен $r_2 = \frac{r_1}{4}$.

Тогда новая длина окружности $L_2$ будет равна:

$L_2 = 2 \pi r_2 = 2 \pi \left(\frac{r_1}{4}\right) = \frac{2 \pi r_1}{4} = \frac{L_1}{4}$.

Это означает, что новая длина окружности в 4 раза меньше первоначальной.

Ответ: длина окружности уменьшилась в 4 раза.

2) Радиус уменьшили на 4 см

Пусть первоначальный радиус окружности был $r_1$ см, тогда ее длина составляла $L_1 = 2 \pi r_1$ см.

После уменьшения радиуса на 4 см новый радиус $r_2$ стал равен $r_2 = r_1 - 4$ см.

Тогда новая длина окружности $L_2$ будет равна:

$L_2 = 2 \pi r_2 = 2 \pi (r_1 - 4) = 2 \pi r_1 - 2 \pi \cdot 4 = 2 \pi r_1 - 8 \pi$.

Так как $L_1 = 2 \pi r_1$, то можно записать $L_2 = L_1 - 8 \pi$.

Это означает, что длина окружности уменьшилась на величину $L_1 - L_2 = 8 \pi$ см.

Ответ: длина окружности уменьшилась на $8 \pi$ см.

96. Радиус круга увеличили в 8 раз. Как при этом изменилась площадь круга?

96. Радиус круга увеличили в 8 раз. Как при этом изменилась площадь круга?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади круга. Площадь круга $S$ вычисляется по формуле:
$S = \pi r^2$, где $r$ — это радиус круга.

1. Обозначим первоначальный радиус круга как $r_1$. Тогда его площадь, $S_1$, будет равна:
$S_1 = \pi r_1^2$

2. По условию задачи, радиус увеличили в 8 раз. Новый радиус, $r_2$, будет равен:
$r_2 = 8 \cdot r_1$

3. Теперь найдем новую площадь круга, $S_2$, подставив в формулу новый радиус $r_2$:
$S_2 = \pi r_2^2 = \pi (8r_1)^2$

4. Упростим полученное выражение:
$S_2 = \pi \cdot 8^2 \cdot r_1^2 = \pi \cdot 64 \cdot r_1^2 = 64 \cdot (\pi r_1^2)$

5. Мы знаем, что $S_1 = \pi r_1^2$. Сравнивая выражения для $S_1$ и $S_2$, видим, что:
$S_2 = 64 \cdot S_1$

Это означает, что новая площадь в 64 раза больше первоначальной.

Ответ: площадь круга увеличилась в 64 раза.

97. Площади двух кругов относятся как $9:16$. Чему равно отношение их радиусов?

97. Площади двух кругов относятся как $9 : 16$. Чему равно отношение их радиусов?

Обозначим площади двух кругов как $S_1$ и $S_2$, а их радиусы — как $r_1$ и $r_2$ соответственно.

Согласно условию задачи, отношение площадей равно $9:16$. Запишем это в виде дроби:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{16}$

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга.

Выразим площади наших кругов через их радиусы:

$S_1 = \pi r_1^2$

$S_2 = \pi r_2^2$

Теперь подставим эти выражения в наше отношение площадей:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2}$

Сократим $\pi$ в числителе и знаменателе:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$

Мы знаем, что отношение площадей равно $\frac{9}{16}$, значит, мы можем приравнять эти выражения:

$\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \frac{9}{16}$

Чтобы найти отношение радиусов $\frac{r_1}{r_2}$, извлечем квадратный корень из обеих частей равенства. Поскольку радиус — это всегда положительная величина, мы рассматриваем только арифметический (положительный) корень.

$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$

Следовательно, отношение радиусов двух кругов равно $3:4$.

Ответ: $3:4$.

98. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна $6\pi$ см.

98. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна $6\pi$ см.

Для того чтобы найти площадь круга, необходимо сначала определить его радиус, используя данную длину окружности.

Формула для вычисления длины окружности ($C$) через радиус ($r$) выглядит так:

$C = 2 \pi r$

Согласно условию задачи, длина окружности равна $6\pi$ см. Подставим это значение в формулу:

$6\pi = 2 \pi r$

Теперь найдем радиус, разделив обе части уравнения на $2\pi$:

$r = \frac{6\pi}{2\pi} = 3$ см.

Зная радиус, мы можем вычислить площадь круга ($S$) по формуле:

$S = \pi r^2$

Подставим найденное значение радиуса $r = 3$ см в эту формулу:

$S = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$ см².

Ответ: $9\pi \text{ см}^2$.