Страница 48 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

123. Найдите радиус круга, если площадь сектора этого круга равна $45\pi \text{ см}^2$, а центральный угол, соответствующий этому сектору, — $72^\circ$.

123. Найдите радиус круга, если площадь сектора этого круга равна $45\pi \text{ см}^2$, а центральный угол, соответствующий этому сектору, — $72^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади сектора круга:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$

где $S_{сектора}$ — это площадь сектора, $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — центральный угол сектора, выраженный в градусах.

Из условия задачи нам известно:

$S_{сектора} = 45\pi$ см²

$\alpha = 72^\circ$

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти радиус $R$:

$45\pi = \frac{\pi R^2 \cdot 72^\circ}{360^\circ}$

Сначала упростим дробь $\frac{72}{360}$. Заметим, что $360 = 5 \cdot 72$, следовательно:

$\frac{72}{360} = \frac{1}{5}$

Теперь уравнение принимает вид:

$45\pi = \frac{\pi R^2}{5}$

Чтобы найти $R^2$, разделим обе части уравнения на $\pi$:

$45 = \frac{R^2}{5}$

Далее, умножим обе части уравнения на 5:

$R^2 = 45 \cdot 5$

$R^2 = 225$

Теперь найдем радиус $R$, извлекая квадратный корень из 225. Поскольку радиус — это длина, он должен быть положительным числом.

$R = \sqrt{225}$

$R = 15$

Таким образом, радиус круга равен 15 см.

Ответ: 15 см.

124. Найдите площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса 6 см с хордой 8 см.

124. Найдите площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса $6$ см с хордой $8$ см.

Пусть $R$ – радиус сектора, $L$ – длина его хорды. По условию, $R = 6$ см и $L = 8$ см.Пусть $O$ – центр круга, которому принадлежит сектор. Обозначим сектор как $AOB$, где $A$ и $B$ – точки на окружности. Тогда $OA = OB = R = 6$ см, а хорда $AB = L = 8$ см.

Пусть в этот сектор вписан круг с центром в точке $C$ и радиусом $r$. Этот круг касается радиусов $OA$ и $OB$ и дуги $AB$. Центр $C$ вписанного круга лежит на биссектрисе угла $\angle AOB$. Эта биссектриса также является высотой и медианой равнобедренного треугольника $\triangle AOB$, проведенной к основанию $AB$.

Проведем из точки $O$ высоту $OM$ к хорде $AB$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OMA$ катет $AM$ равен половине хорды: $AM = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см. Гипотенуза $OA$ равна радиусу сектора $R=6$ см.По теореме Пифагора найдем длину катета $OM$:
$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Пусть $\angle AOM = \alpha$. Тогда $\angle AOB = 2\alpha$. Из треугольника $\triangle OMA$ найдем синус угла $\alpha$:
$\sin \alpha = \frac{AM}{OA} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Центр $C$ вписанного круга лежит на отрезке $OM$ (если его продлить до дуги). Расстояние от центра $C$ до радиуса $OA$ равно радиусу вписанного круга $r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точкой $O$, центром $C$ и точкой касания вписанного круга с радиусом $OA$. В этом треугольнике гипотенуза – это $OC$, а катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $r$.
Следовательно, $\sin \alpha = \frac{r}{OC}$.
Отсюда выразим расстояние $OC$:
$OC = \frac{r}{\sin \alpha} = \frac{r}{2/3} = \frac{3r}{2}$.

Вписанный круг касается дуги сектора в точке, лежащей на биссектрисе угла $\angle AOB$. Расстояние от центра $O$ до этой точки касания равно радиусу сектора $R$. С другой стороны, это расстояние равно сумме $OC$ и радиуса вписанного круга $r$.
$R = OC + r$
Подставим известные значения:
$6 = \frac{3r}{2} + r$
$6 = \frac{3r + 2r}{2}$
$6 = \frac{5r}{2}$
$r = \frac{6 \cdot 2}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$ см.

Теперь найдем площадь вписанного круга по формуле $S = \pi r^2$:
$S = \pi \cdot (2.4)^2 = \pi \cdot 5.76 = 5.76\pi$ см².

Ответ: $5.76\pi$ см².

125. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 33 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 33

а

б

в

125. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 33 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 33

а

Прямоугольник с вершинами B, C, D, A. Сторона BC имеет отрезки длиной 5 и 3. Сторона CD имеет отрезки длиной 3 и 2. Внутри прямоугольника расположен круг с центром O и радиусом 2. В правом верхнем углу прямоугольника вырезана четверть круга.

б

Четырехугольник с вершинами A, B, C, D. Длины отрезков на сторонах, примыкающих к вершинам: у вершины A — 1 и 1; у вершины B — 2 и 3; у вершины C — 2 и 1; у вершины D — 1 и 3. В каждом углу четырехугольника вырезана четверть круга. Заштрихована центральная область.

в

Четыре круга с центрами $O_1$, $O_2$, $O_3$, $O_4$. Каждый круг имеет радиус 3. Заштрихована область между четырьмя кругами.

а

Заштрихованная фигура представляет собой прямоугольник, из которого вырезаны круг и четверть круга. Чтобы найти её площадь, нужно из площади прямоугольника вычесть площади вырезанных частей.

1. Найдем площадь прямоугольника. Его стороны равны $5+3=8$ см и $3+2=5$ см.
$S_{прямоугольника} = 8 \times 5 = 40$ см².

2. Найдем площадь круга, который вырезан из прямоугольника. Его радиус $r = 2$ см.
$S_{круга} = \pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi$ см².

3. Найдем площадь четверти круга. Его радиус $R = 3$ см.
$S_{четверти \ круга} = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi \times 3^2 = \frac{9\pi}{4}$ см².

4. Теперь найдем площадь заштрихованной фигуры, вычитая из площади прямоугольника площади круга и четверти круга.
$S_{фигуры} = S_{прямоугольника} - S_{круга} - S_{четверти \ круга} = 40 - 4\pi - \frac{9\pi}{4}$
$S_{фигуры} = 40 - (\frac{16\pi}{4} + \frac{9\pi}{4}) = 40 - \frac{25\pi}{4}$ см².

Ответ: $40 - \frac{25\pi}{4}$ см².

б

Заштрихованная фигура — это четырехугольник, из углов которого вырезаны секторы кругов. Данные на рисунке противоречивы: для секторов в углах B и C указаны разные длины отрезков вдоль сторон ($2$ и $3$), в то время как для сектора круга они должны быть одинаковыми (равны радиусу).

Предположим, что в условии допущена опечатка, и на самом деле фигура ABCD — это прямоугольник, а числа на сторонах указывают на длины этих сторон и радиусы секторов. Пусть стороны прямоугольника равны $AD=4$ см и $AB=3$ см. Тогда его площадь $S_{ABCD} = 4 \times 3 = 12$ см².

Также предположим, что радиусы секторов в углах A, B, C и D равны $r_A=1$ см, $r_B=2$ см, $r_C=2$ см и $r_D=1$ см (выбирая наиболее правдоподобные значения из указанных на чертеже).

Поскольку углы прямоугольника прямые ($90^\circ$), каждый сектор представляет собой четверть круга. Суммарная площадь четырех секторов равна:
$S_{секторов} = \frac{1}{4}\pi r_A^2 + \frac{1}{4}\pi r_B^2 + \frac{1}{4}\pi r_C^2 + \frac{1}{4}\pi r_D^2$
$S_{секторов} = \frac{\pi}{4} (r_A^2 + r_B^2 + r_C^2 + r_D^2) = \frac{\pi}{4} (1^2 + 2^2 + 2^2 + 1^2) = \frac{\pi}{4} (1 + 4 + 4 + 1) = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$ см².

Площадь заштрихованной фигуры равна разности площади прямоугольника и суммарной площади секторов:
$S_{фигуры} = S_{ABCD} - S_{секторов} = 12 - \frac{5\pi}{2}$ см².

Ответ: $12 - \frac{5\pi}{2}$ см² (при сделанных предположениях).

в

Заштрихованная фигура расположена между четырьмя одинаковыми касающимися друг друга окружностями. Чтобы найти её площадь, нужно из площади квадрата, образованного центрами окружностей, вычесть площади секторов этих окружностей, находящихся внутри квадрата.

1. Центры окружностей $O_1, O_2, O_3, O_4$ образуют квадрат. Радиус каждой окружности $r=3$ см. Сторона квадрата равна сумме радиусов двух соседних окружностей.
$a = r + r = 3 + 3 = 6$ см.

2. Найдем площадь этого квадрата.
$S_{квадрата} = a^2 = 6^2 = 36$ см².

3. В каждом углу квадрата находится сектор окружности. Углы квадрата прямые ($90^\circ$), поэтому каждый сектор — это четверть круга радиусом $r=3$ см. Внутри квадрата находятся четыре таких сектора.
Суммарная площадь четырех секторов равна площади одного целого круга радиусом $r=3$ см.
$S_{секторов} = 4 \times (\frac{1}{4} \pi r^2) = \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi$ см².

4. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площади квадрата и суммарной площади четырех секторов.
$S_{фигуры} = S_{квадрата} - S_{секторов} = 36 - 9\pi$ см².

Ответ: $36 - 9\pi$ см².

126. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен $3\sqrt{3}$ см. На стороне этого треугольника как на диаметре построен полукруг, лежащий в той же полуплоскости, что и треугольник. Определите площадь части треугольника, находящейся вне полукруга.

126. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен $3\sqrt{3}$ см. На стороне этого треугольника как на диаметре построен полукруг, лежащий в той же полуплоскости, что и треугольник. Определите площадь части треугольника, находящейся вне полукруга.

Для решения задачи сначала найдем сторону правильного треугольника, зная радиус вписанной окружности. Затем вычислим площадь этого треугольника. После этого определим площадь той части треугольника, которая находится внутри полукруга. Наконец, вычтем эту площадь из общей площади треугольника, чтобы найти искомую площадь.

1. Нахождение стороны правильного треугольника

Связь между радиусом вписанной окружности $r$ и стороной правильного (равностороннего) треугольника $a$ выражается формулой:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

По условию, $r = 3\sqrt{3}$ см. Подставим это значение в формулу и найдем сторону $a$:

$3\sqrt{3} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

$a = 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6 \cdot (\sqrt{3})^2 = 6 \cdot 3 = 18$ см.

2. Вычисление площади треугольника

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим найденное значение $a = 18$ см:

$S_{\triangle} = \frac{18^2\sqrt{3}}{4} = \frac{324\sqrt{3}}{4} = 81\sqrt{3}$ см².

3. Вычисление площади части треугольника, находящейся внутри полукруга

Полукруг построен на стороне треугольника как на диаметре. Диаметр полукруга равен стороне треугольника $d = a = 18$ см. Следовательно, радиус полукруга $R$ равен:

$R = \frac{d}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Пусть треугольник называется $ABC$, а полукруг построен на стороне $BC$. Центр полукруга $M$ является серединой стороны $BC$. Полукруг пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $E$ и $D$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $MDC$. $MC$ - половина стороны $BC$, поэтому $MC = R = 9$ см. $MD$ - также радиус полукруга, поэтому $MD = R = 9$ см. Таким образом, треугольник $MDC$ равнобедренный. Угол $C$ в правильном треугольнике $ABC$ равен $60°$. Равнобедренный треугольник, у которого угол при основании равен $60°$, является равносторонним. Следовательно, треугольник $MDC$ - равносторонний со стороной 9 см.

Аналогично, треугольник $BME$ является равносторонним со стороной 9 см.

Площадь каждого из этих малых равносторонних треугольников равна:

$S_{\triangle BME} = S_{\triangle MDC} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9^2\sqrt{3}}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ см².

Углы $\angle BME$ и $\angle CMD$ как углы равносторонних треугольников равны $60°$. Угол $\angle BMC$ является развернутым и равен $180°$. Тогда угол сектора $EMD$ равен:

$\angle EMD = 180° - \angle BME - \angle CMD = 180° - 60° - 60° = 60°$.

Площадь сектора $EMD$ с радиусом $R=9$ и центральным углом $60°$ равна:

$S_{сектор} = \frac{60°}{360°} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{6} \pi \cdot 9^2 = \frac{81\pi}{6} = \frac{27\pi}{2}$ см².

Площадь части треугольника, находящейся внутри полукруга, складывается из площадей двух равносторонних треугольников и площади сектора между ними:

$S_{внутри} = S_{\triangle BME} + S_{\triangle MDC} + S_{сектор} = \frac{81\sqrt{3}}{4} + \frac{81\sqrt{3}}{4} + \frac{27\pi}{2} = \frac{162\sqrt{3}}{4} + \frac{27\pi}{2} = \frac{81\sqrt{3}}{2} + \frac{27\pi}{2}$ см².

4. Определение площади части треугольника, находящейся вне полукруга

Искомая площадь $S_{вне}$ равна разности общей площади треугольника $S_{\triangle}$ и площади его части, находящейся внутри полукруга $S_{внутри}$:

$S_{вне} = S_{\triangle} - S_{внутри} = 81\sqrt{3} - \left( \frac{81\sqrt{3}}{2} + \frac{27\pi}{2} \right)$

$S_{вне} = 81\sqrt{3} - \frac{81\sqrt{3}}{2} - \frac{27\pi}{2} = \frac{162\sqrt{3} - 81\sqrt{3}}{2} - \frac{27\pi}{2} = \frac{81\sqrt{3}}{2} - \frac{27\pi}{2}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$S_{вне} = \frac{27}{2}(3\sqrt{3} - \pi)$ см².

Ответ: $\frac{27}{2}(3\sqrt{3} - \pi)$ см².

127. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 8 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $30^\circ$;

2) $225^\circ$.

127. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 8 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $30^\circ$;

2) $225^\circ$.

Площадь кругового сегмента ($S_{сегм}$) вычисляется по формуле, которая представляет собой разность площади соответствующего кругового сектора ($S_{сект}$) и площади треугольника ($S_{\triangle}$), образованного радиусами и хордой, стягивающей дугу: $S_{сегм} = S_{сект} - S_{\triangle} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} - \frac{1}{2} R^2 \sin \alpha$, где $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — градусная мера дуги сегмента (или равный ей центральный угол). Из условия задачи известно, что радиус круга $R = 8$ см.

1) 30° В данном случае градусная мера дуги $\alpha = 30°$. Подставим известные значения в формулу: $S_{сегм} = \frac{\pi \cdot 8^2 \cdot 30^\circ}{360^\circ} - \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \sin 30^\circ$. Зная, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, выполним вычисления: $S_{сегм} = \frac{\pi \cdot 64 \cdot 30}{360} - \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{1}{2} = \frac{64\pi}{12} - \frac{64}{4} = \frac{16\pi}{3} - 16$. Вынесем общий множитель 16 за скобки для более компактной записи: $S_{сегм} = 16 \left( \frac{\pi}{3} - 1 \right)$ см$^2$. Ответ: $16 \left( \frac{\pi}{3} - 1 \right)$ см$^2$.

2) 225° В данном случае градусная мера дуги $\alpha = 225°$. Угол больше $180^\circ$, поэтому сегмент будет больше полукруга. Используем ту же формулу. $S_{сегм} = \frac{\pi \cdot 8^2 \cdot 225^\circ}{360^\circ} - \frac{1}{2} \cdot 8^2 \cdot \sin 225^\circ$. Сначала найдем значение синуса для угла $225^\circ$. Используя формулы приведения: $\sin 225^\circ = \sin(180^\circ + 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь подставим все значения в формулу и произведем расчеты: $S_{сегм} = \frac{\pi \cdot 64 \cdot 225}{360} - \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Упростим отношение углов: $\frac{225}{360} = \frac{5 \cdot 45}{8 \cdot 45} = \frac{5}{8}$. $S_{сегм} = \pi \cdot 64 \cdot \frac{5}{8} - 32 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 40\pi + 16\sqrt{2}$. Вынесем общий множитель 8 за скобки: $S_{сегм} = 8(5\pi + 2\sqrt{2})$ см$^2$. Ответ: $8(5\pi + 2\sqrt{2})$ см$^2$.

128. Найдите площадь кругового сегмента, если его основание равно 6 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) 30°; 2) 240°.

128. Найдите площадь кругового сегмента, если его основание равно 6 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $30^\circ$

2) $240^\circ$

Площадь кругового сегмента ($S_{сегмента}$) вычисляется как разность или сумма площади соответствующего кругового сектора ($S_{сектора}$) и площади треугольника ($S_{треуг}$), образованного радиусами и основанием сегмента (хордой).

$S_{сегмента} = S_{сектора} \pm S_{треуг}$

Если дуга сегмента меньше 180°, площадь сегмента равна разности площадей сектора и треугольника. Если дуга больше 180°, то площади складываются.

Основание сегмента — это хорда $c = 6$ см. Пусть $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера дуги (центральный угол). Связь между ними можно найти через прямоугольный треугольник, образованный радиусом, половиной хорды и перпендикуляром из центра на хорду:

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{c/2}{R}$, откуда $R = \frac{c/2}{\sin(\frac{\alpha}{2})}$.

1) Градусная мера дуги равна $30°$.

Так как дуга меньше 180°, площадь сегмента будет разностью площадей.

Шаг 1: Найдем радиус окружности R.
Центральный угол $\alpha = 30°$. Длина хорды $c = 6$ см. $R = \frac{c/2}{\sin(\frac{\alpha}{2})} = \frac{6/2}{\sin(\frac{30°}{2})} = \frac{3}{\sin(15°)}$.
Найдем значение $\sin(15°)$ по формуле разности углов:
$\sin(15°) = \sin(45° - 30°) = \sin(45°)\cos(30°) - \cos(45°)\sin(30°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Тогда радиус: $R = \frac{3}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{12}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{6} + \sqrt{2})$:
$R = \frac{12(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{12(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{12(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = 3(\sqrt{6} + \sqrt{2})$ см.
Найдем квадрат радиуса: $R^2 = (3(\sqrt{6} + \sqrt{2}))^2 = 9(6 + 2\sqrt{12} + 2) = 9(8 + 4\sqrt{3}) = 36(2 + \sqrt{3})$ см$^2$.

Шаг 2: Найдем площадь сектора и треугольника.
Площадь сектора: $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360°} = \frac{\pi \cdot 36(2 + \sqrt{3}) \cdot 30°}{360°} = \frac{\pi \cdot 36(2 + \sqrt{3})}{12} = 3\pi(2 + \sqrt{3})$ см$^2$.
Площадь треугольника: $S_{треуг} = \frac{1}{2}R^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 36(2 + \sqrt{3}) \cdot \sin(30°) = 18(2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2} = 9(2 + \sqrt{3})$ см$^2$.

Шаг 3: Найдем площадь сегмента.
$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треуг} = 3\pi(2 + \sqrt{3}) - 9(2 + \sqrt{3}) = (3\pi - 9)(2 + \sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $(3\pi - 9)(2 + \sqrt{3})$ см$^2$.

2) Градусная мера дуги равна $240°$.

Так как дуга больше 180°, это большой сегмент. Его площадь равна сумме площади сектора с углом $240°$ и площади треугольника, образованного хордой и радиусами. Центральный угол, соответствующий хорде внутри треугольника, будет $360° - 240° = 120°$. Обозначим его $\beta = 120°$.

Шаг 1: Найдем радиус окружности R.
Используем угол $\beta = 120°$ и хорду $c = 6$ см.
$R = \frac{c/2}{\sin(\frac{\beta}{2})} = \frac{6/2}{\sin(\frac{120°}{2})} = \frac{3}{\sin(60°)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Квадрат радиуса: $R^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12$ см$^2$.

Шаг 2: Найдем площадь сектора и треугольника.
Площадь сектора, соответствующего дуге $\alpha = 240°$:
$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360°} = \frac{\pi \cdot 12 \cdot 240°}{360°} = \frac{12\pi \cdot 2}{3} = 8\pi$ см$^2$.
Площадь треугольника, образованного радиусами и хордой (с углом $\beta = 120°$ между радиусами):
$S_{треуг} = \frac{1}{2}R^2 \sin(\beta) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sin(120°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см$^2$.

Шаг 3: Найдем площадь сегмента.
Так как дуга больше 180°, площадь сегмента равна сумме площадей сектора и треугольника.
$S_{сегмента} = S_{сектора} + S_{треуг} = 8\pi + 3\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $(8\pi + 3\sqrt{3})$ см$^2$.

129. Радиус круга равен 8 см. В нём проведена хорда, равная стороне квадрата, вписанного в этот круг. Найдите площадь большего из сегментов, основанием которых является эта хорда.

129. Радиус круга равен 8 см. В нём проведена хорда, равная стороне квадрата, вписанного в этот круг. Найдите площадь большего из сегментов, основанием которых является эта хорда.

Дано, что радиус круга $R = 8$ см. В круге проведена хорда, длина которой равна стороне вписанного в этот круг квадрата.

1. Найдем длину хорды.
Диагональ квадрата, вписанного в круг, равна диаметру этого круга. Диаметр $d = 2R = 2 \cdot 8 = 16$ см.
Пусть сторона квадрата (и длина хорды) равна $a$. Связь между стороной квадрата и его диагональю выражается формулой $d = a\sqrt{2}$.
Отсюда можем найти $a$:
$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}$ см.

2. Найдем площадь меньшего сегмента.
Площадь сегмента вычисляется как разность площади сектора и площади треугольника, образованного хордой и двумя радиусами, проведенными к концам хорды.
Сначала найдем центральный угол $\alpha$, который стягивает данная хорда. Рассмотрим равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными радиусу $R=8$ см, и основанием, равным хорде $a=8\sqrt{2}$ см. По теореме косинусов:
$a^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(\alpha)$
$(8\sqrt{2})^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(\alpha)$
$128 = 64 + 64 - 128 \cos(\alpha)$
$128 = 128 - 128 \cos(\alpha)$
$128 \cos(\alpha) = 0$
$\cos(\alpha) = 0$, следовательно, центральный угол $\alpha = 90^\circ$.

Площадь сектора, соответствующего этому углу, равна:
$S_{сектор} = \frac{\alpha}{360^\circ} \pi R^2 = \frac{90^\circ}{360^\circ} \pi (8)^2 = \frac{1}{4} \cdot 64\pi = 16\pi$ см².

Площадь треугольника, образованного двумя радиусами и хордой, представляет собой площадь прямоугольного треугольника с катетами, равными радиусу:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R \cdot R = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$ см².

Площадь меньшего сегмента $S_{м.сегмент}$ равна:
$S_{м.сегмент} = S_{сектор} - S_{\triangle} = 16\pi - 32$ см².

3. Найдем площадь большего сегмента.
Площадь всего круга $S_{круг}$ вычисляется по формуле:
$S_{круг} = \pi R^2 = \pi (8)^2 = 64\pi$ см².

Площадь большего сегмента $S_{б.сегмент}$ равна разности площади круга и площади меньшего сегмента:
$S_{б.сегмент} = S_{круг} - S_{м.сегмент} = 64\pi - (16\pi - 32) = 64\pi - 16\pi + 32 = 48\pi + 32$ см².

Ответ: $48\pi + 32$ см².