Страница 49 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Радиус круга равен 6 см. По одну сторону от центра круга проведены две параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного треугольника и квадрата, вписанных в этот круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

130. Радиус круга равен 6 см. По одну сторону от центра круга проведены две параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного треугольника и квадрата, вписанных в этот круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

Для решения задачи выполним следующие шаги: сначала найдем длины данных хорд, затем вычислим площади сегментов, отсекаемых этими хордами, и, наконец, найдем разность этих площадей.

1. Нахождение длин хорд и их параметров

Радиус круга $R = 6$ см.
Длина стороны правильного треугольника ($a_3$), вписанного в круг, вычисляется по формуле $a_3 = R\sqrt{3}$.
Длина стороны квадрата ($a_4$), вписанного в круг, вычисляется по формуле $a_4 = R\sqrt{2}$.

Подставим значение $R=6$:
$a_3 = 6\sqrt{3}$ см.
$a_4 = 6\sqrt{2}$ см.

Более длинная хорда ($a_3$) расположена ближе к центру. Так как обе хорды находятся по одну сторону от центра, искомая площадь будет равна разности площадей сегментов, которые отсекают эти хорды.

2. Вычисление площади части круга между хордами

Площадь части круга, находящейся между хордами, равна разности площадей большего и меньшего сегментов ($S = S_{сегм3} - S_{сегм4}$).
Площадь сегмента вычисляется по формуле: $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника}$.

Для хорды, равной стороне треугольника ($a_3$):
Центральный угол, стягиваемый этой хордой, равен $\alpha_3 = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.
Площадь соответствующего сектора: $S_{сектор3} = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{3} \pi (6^2) = 12\pi$ см$^2$.
Площадь треугольника, образованного радиусами и хордой: $S_{\triangle3} = \frac{1}{2} R^2 \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см$^2$.
Площадь сегмента, отсекаемого хордой $a_3$: $S_{сегм3} = 12\pi - 9\sqrt{3}$ см$^2$.

Для хорды, равной стороне квадрата ($a_4$):
Центральный угол, стягиваемый этой хордой, равен $\alpha_4 = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$.
Площадь соответствующего сектора: $S_{сектор4} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (6^2) = 9\pi$ см$^2$.
Площадь треугольника, образованного радиусами и хордой: $S_{\triangle4} = \frac{1}{2} R^2 \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot 1 = 18$ см$^2$.
Площадь сегмента, отсекаемого хордой $a_4$: $S_{сегм4} = 9\pi - 18$ см$^2$.

Находим искомую площадь:
Площадь части круга между хордами равна разности площадей сегментов:
$S = S_{сегм3} - S_{сегм4} = (12\pi - 9\sqrt{3}) - (9\pi - 18) = 12\pi - 9\sqrt{3} - 9\pi + 18 = 3\pi + 18 - 9\sqrt{3}$.

Ответ: $3\pi + 18 - 9\sqrt{3}$ см$^2$.

131. Найдите расстояние между точками $A$ и $B$, если:

1) $A (3; -7)$, $B (6; -3)$;

2) $A (5; -2)$, $B (-3; -2)$.

131. Найдите расстояние между точками $A$ и $B$, если:

1) $A (3; -7)$, $B (6; -3);$

2) $A (5; -2)$, $B (-3; -2).$

Для нахождения расстояния $d$ между двумя точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ на координатной плоскости используется формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1) A (3; -7), B (6; -3)

Подставим координаты точек в формулу:

$x_1 = 3, y_1 = -7$

$x_2 = 6, y_2 = -3$

$d = \sqrt{(6 - 3)^2 + (-3 - (-7))^2} = \sqrt{3^2 + (-3 + 7)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 5

2) A (5; -2), B (-3; -2)

Подставим координаты точек в формулу:

$x_1 = 5, y_1 = -2$

$x_2 = -3, y_2 = -2$

$d = \sqrt{(-3 - 5)^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-2 + 2)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$

Обратите внимание, что ординаты (координаты y) у обеих точек одинаковы. Это значит, что отрезок AB параллелен оси Ox, и его длину можно найти как модуль разности абсцисс:

$d = |x_2 - x_1| = |-3 - 5| = |-8| = 8$

Ответ: 8

132. Докажите, что точки $A (-3; -7)$, $B (2; 3)$ и $C (0; -1)$ лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двумя другими?

132. Докажите, что точки $A(-3; -7)$, $B(2; 3)$ и $C(0; -1)$ лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двумя другими?

Для решения этой задачи можно использовать расстояния между точками. Три точки лежат на одной прямой в том и только в том случае, если длина самого большого из отрезков, соединяющих эти точки, равна сумме длин двух других отрезков.

Найдем расстояния между точками A(-3; -7), B(2; 3) и C(0; -1) по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

1. Расстояние между точками A и B (длина отрезка AB):

$AB = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (3 - (-7))^2} = \sqrt{(2 + 3)^2 + (3 + 7)^2} = \sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$.

2. Расстояние между точками B и C (длина отрезка BC):

$BC = \sqrt{(0 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

3. Расстояние между точками A и C (длина отрезка AC):

$AC = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (-1 - (-7))^2} = \sqrt{(0 + 3)^2 + (-1 + 7)^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.

Докажите, что точки A(-3; -7), B(2; 3) и C(0; -1) лежат на одной прямой.

Теперь проверим, выполняется ли условие для наших точек. Сравним сумму длин отрезков AC и BC с длиной отрезка AB:

$AC + BC = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.

Мы видим, что $AC + BC = AB$, так как $5\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.

Поскольку сумма длин двух отрезков равна длине третьего, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Точки лежат на одной прямой, так как выполняется равенство $AC + BC = AB$.

Какая из точек лежит между двумя другими?

Из равенства $AC + BC = AB$ следует, что именно точка C является общей точкой отрезков AC и BC и лежит на отрезке AB. Следовательно, точка C лежит между точками A и B.

Этот вывод можно также сделать, сравнив координаты точек. Абсциссы (координаты x) точек равны -3, 0 и 2. Так как $-3 < 0 < 2$, точка C находится между A и B по оси x. Ординаты (координаты y) равны -7, -1 и 3. Так как $-7 < -1 < 3$, точка C находится между A и B по оси y. Это подтверждает, что точка C лежит на отрезке AB.

Ответ: Точка C лежит между точками A и B.

133. Вершинами треугольника являются точки A (-3; -2), B (-1; 3) и C (2; 0). Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

133. Вершинами треугольника являются точки $A (-3; -2)$, $B (-1; 3)$ и $C (2; 0)$. Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Для того чтобы доказать, что треугольник является равнобедренным, необходимо показать, что длины двух его сторон равны. Найдем длины сторон треугольника ABC с вершинами в точках A(-3; -2), B(-1; 3) и C(2; 0), используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1. Найдем длину стороны AB.

Подставим координаты точек A(-3; -2) и B(-1; 3) в формулу:

$|AB| = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{(-1 + 3)^2 + (3 + 2)^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$.

2. Найдем длину стороны BC.

Подставим координаты точек B(-1; 3) и C(2; 0) в формулу:

$|BC| = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{3^2 + 9} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.

3. Найдем длину стороны AC.

Подставим координаты точек A(-3; -2) и C(2; 0) в формулу:

$|AC| = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{(2 + 3)^2 + (0 + 2)^2} = \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$.

Сравнив вычисленные длины сторон, получаем: $|AB| = \sqrt{29}$, $|BC| = \sqrt{18}$, $|AC| = \sqrt{29}$.

Так как $|AB| = |AC| = \sqrt{29}$, то две стороны треугольника ABC равны. Следовательно, по определению, треугольник ABC является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник ABC является равнобедренным, так как длины его сторон AB и AC равны ($\sqrt{29}$).

134. Найдите координаты середины отрезка $MN$, если:

1) $M (2; -5), N (8; 3);$

2) $M (5; 4), N (-6; -3).$

134. Найдите координаты середины отрезка $MN$, если:

1) M $(2; -5)$, N $(8; 3)$;

2) M $(5; 4)$, N $(-6; -3)$.

1) Для нахождения координат середины отрезка необходимо вычислить среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Пусть C(x; y) — середина отрезка MN с концами в точках M(2; -5) и N(8; 3).
Координата x середины отрезка вычисляется по формуле: $x = \frac{x_M + x_N}{2}$.
Подставим значения координат x точек M и N:
$x = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Координата y середины отрезка вычисляется по формуле: $y = \frac{y_M + y_N}{2}$.
Подставим значения координат y точек M и N:
$y = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Таким образом, координаты середины отрезка MN равны (5; -1).
Ответ: (5; -1).

2) Аналогично найдем координаты середины отрезка MN с концами в точках M(5; 4) и N(-6; -3). Пусть C(x; y) — середина отрезка.
Вычисляем координату x середины отрезка:
$x = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{5 + (-6)}{2} = \frac{5 - 6}{2} = -\frac{1}{2} = -0,5$.
Вычисляем координату y середины отрезка:
$y = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{4 + (-3)}{2} = \frac{4 - 3}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Таким образом, координаты середины отрезка MN равны (-0,5; 0,5).
Ответ: (-0,5; 0,5).

135. Точка $M$ – середина отрезка $AB$. Найдите координаты точки $A$, если $B(6; -9)$, $M(2; 5)$.

135. Точка $M$ — середина отрезка $AB$. Найдите координаты точки $A$, если $B(6; -9)$, $M(2; 5)$.

Поскольку точка $M$ является серединой отрезка $AB$, ее координаты $(x_M; y_M)$ находятся по формулам, которые являются средним арифметическим координат концов отрезка $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

В данной задаче нам известны координаты точки $B(6; -9)$ и середины отрезка $M(2; 5)$. Нам нужно найти координаты точки $A(x_A; y_A)$.

Выразим координаты точки $A$ из формул середины отрезка:

$2 \cdot x_M = x_A + x_B \Rightarrow x_A = 2x_M - x_B$

$2 \cdot y_M = y_A + y_B \Rightarrow y_A = 2y_M - y_B$

Теперь подставим известные значения координат точек $M$ и $B$:

$x_A = 2 \cdot 2 - 6 = 4 - 6 = -2$

$y_A = 2 \cdot 5 - (-9) = 10 + 9 = 19$

Следовательно, координаты точки $A$ равны $(-2; 19)$.

Ответ: $A(-2; 19)$.

136. Точки $B_1 (3; -1)$ и $C_1 (-4; 2)$ — середины сторон $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Вершина $C$ имеет координаты $(-5; 3)$. Найдите координаты вершин $A$ и $B$.

136. Точки $B_1 (3; -1)$ и $C_1 (-4; 2)$ — середины сторон $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Вершина $C$ имеет координаты $(-5; 3)$. Найдите координаты вершин $A$ и $B$.

Пусть координаты вершин треугольника $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$. По условию задачи даны координаты вершины $C(-5, 3)$, середины стороны $AC$ — точки $B_1(3, -1)$, и середины стороны $AB$ — точки $C_1(-4, 2)$.

Координаты $(x_m, y_m)$ середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляются по формулам:
$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Из этих формул можно выразить координаты одного из концов отрезка, зная координаты другого конца и середины:
$x_2 = 2x_m - x_1$
$y_2 = 2y_m - y_1$

Координаты вершины A

Точка $B_1$ является серединой стороны $AC$. Используя выведенные выше формулы, найдем координаты точки $A$, зная координаты $C$ и $B_1$:
$x_A = 2x_{B_1} - x_C$
$y_A = 2y_{B_1} - y_C$

Подставим известные значения координат $B_1(3, -1)$ и $C(-5, 3)$:
$x_A = 2 \cdot 3 - (-5) = 6 + 5 = 11$
$y_A = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5$

Таким образом, вершина $A$ имеет координаты $(11, -5)$.

Ответ: $A(11, -5)$.

Координаты вершины B

Аналогично, точка $C_1$ является серединой стороны $AB$. Найдем координаты точки $B$, зная координаты $A$ и $C_1$:
$x_B = 2x_{C_1} - x_A$
$y_B = 2y_{C_1} - y_A$

Подставим известные координаты точки $C_1(-4, 2)$ и найденные на предыдущем шаге координаты точки $A(11, -5)$:
$x_B = 2 \cdot (-4) - 11 = -8 - 11 = -19$
$y_B = 2 \cdot 2 - (-5) = 4 + 5 = 9$

Таким образом, вершина $B$ имеет координаты $(-19, 9)$.

Ответ: $B(-19, 9)$.

137. В треугольнике ABC $A(3; -5)$, $M(7; 1)$, $C(-3; 9)$. Найдите среднюю линию MN треугольника ABC, где точки M и N — середины сторон AC и BC соответственно.

137. В треугольнике $ABC$ $A (3; -5)$, $B (7; 1)$, $C (-3; 9)$. Найдите среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$, где точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно.

В условии задачи даны координаты точек $A(3; -5)$, $M(7; 1)$ и $C(-3; 9)$, при этом указано, что точка $M$ является серединой стороны $AC$. Проверим это утверждение. Координаты середины отрезка $AC$ вычисляются по формулам:

$x_{\text{середины}} = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{3 + (-3)}{2} = \frac{0}{2} = 0$

$y_{\text{середины}} = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Расчетные координаты середины стороны $AC$ равны $(0; 2)$, что не совпадает с данными в условии координатами точки $M(7; 1)$. Это указывает на опечатку в условии. Наиболее вероятным является предположение, что под точкой $M(7; 1)$ имелась в виду вершина треугольника $B$. Таким образом, будем решать задачу для треугольника с вершинами $A(3; -5)$, $B(7; 1)$ и $C(-3; 9)$.

Средняя линия $MN$ соединяет середины сторон $AC$ и $BC$. Для нахождения ее длины можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1: Нахождение координат точек M и N и вычисление расстояния между ними.

1. Найдем координаты точки M — середины стороны AC.

Используем формулы для нахождения координат середины отрезка:

$x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{3 + (-3)}{2} = 0$

$y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2$

Таким образом, координаты точки $M$ — $(0; 2)$.

2. Найдем координаты точки N — середины стороны BC.

Используем те же формулы для точек $B(7; 1)$ и $C(-3; 9)$:

$x_N = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{7 + (-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_N = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, координаты точки $N$ — $(2; 5)$.

3. Найдем длину средней линии MN.

Длина отрезка $MN$ вычисляется по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$|MN| = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(2 - 0)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Способ 2: Использование свойства средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. В данном случае, $MN$ — средняя линия, соединяющая середины сторон $AC$ и $BC$, следовательно, она параллельна стороне $AB$ и ее длина равна половине длины $AB$.

$|MN| = \frac{1}{2}|AB|$

1. Найдем длину стороны AB.

Используем формулу расстояния для точек $A(3; -5)$ и $B(7; 1)$:

$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(7 - 3)^2 + (1 - (-5))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$

2. Найдем длину средней линии MN.

$|MN| = \frac{1}{2}|AB| = \frac{1}{2}\sqrt{52} = \frac{1}{2}\sqrt{4 \cdot 13} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{13} = \sqrt{13}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\sqrt{13}$.

138. Расстояние между точками $A (5; -2)$ и $B (9; y)$ равно 5. Найдите $y$.

138. Расстояние между точками A $(5; -2)$ и B $(9; y)$ равно 5.

Найдите $y$.

Для решения задачи воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости. Расстояние $d$ между точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Нам даны координаты точек $A(5; -2)$ и $B(9; y)$, а также расстояние между ними $d = 5$. Подставим известные значения в формулу:

$5 = \sqrt{(9 - 5)^2 + (y - (-2))^2}$

Упростим выражение в скобках:

$5 = \sqrt{4^2 + (y + 2)^2}$

$5 = \sqrt{16 + (y + 2)^2}$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$5^2 = 16 + (y + 2)^2$

$25 = 16 + (y + 2)^2$

Теперь найдем значение выражения $(y + 2)^2$:

$(y + 2)^2 = 25 - 16$

$(y + 2)^2 = 9$

Из этого уравнения следует, что выражение $y + 2$ может быть равно как 3, так и -3, поскольку оба числа в квадрате дают 9. Рассмотрим оба случая:

1) $y + 2 = 3$

$y = 3 - 2$

$y_1 = 1$

2) $y + 2 = -3$

$y = -3 - 2$

$y_2 = -5$

Таким образом, мы получили два возможных значения для $y$.

Ответ: $y=1$ или $y=-5$.

139. На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек A $(4; -5)$ и B $(2; 3)$.

139. На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек $A (4; -5)$ и $B (2; 3)$.

Пусть искомая точка M, лежащая на оси ординат, имеет координаты $(0; y)$. По определению, любая точка на оси ординат имеет абсциссу (координату x), равную нулю.

Условие, что точка M равноудалена от точек $A(4; -5)$ и $B(2; 3)$, означает, что расстояние от M до A равно расстоянию от M до B. Математически это записывается как $MA = MB$.

Чтобы избежать работы с квадратными корнями, возведем обе части равенства в квадрат: $MA^2 = MB^2$.

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния $MA^2$ между точками $M(0; y)$ и $A(4; -5)$:
$MA^2 = (4 - 0)^2 + (-5 - y)^2 = 4^2 + (-(5 + y))^2 = 16 + (5 + y)^2$.

Найдем квадрат расстояния $MB^2$ между точками $M(0; y)$ и $B(2; 3)$:
$MB^2 = (2 - 0)^2 + (3 - y)^2 = 2^2 + (3 - y)^2 = 4 + (3 - y)^2$.

Теперь приравняем полученные выражения для $MA^2$ и $MB^2$ и решим уравнение относительно $y$:
$16 + (5 + y)^2 = 4 + (3 - y)^2$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:
$16 + (25 + 10y + y^2) = 4 + (9 - 6y + y^2)$
$41 + 10y + y^2 = 13 - 6y + y^2$

Член $y^2$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому он сокращается. Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а числовые значения — в правую:
$10y + 6y = 13 - 41$
$16y = -28$
$y = \frac{-28}{16}$

Сократим дробь на 4:
$y = -\frac{7}{4} = -1.75$

Следовательно, искомая точка на оси ординат имеет координаты $(0; -1.75)$.

Ответ: $(0; -1.75)$

140. На прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего координатных углов, найдите точку, равноудалённую от точек $A (2; 5)$ и $B (4; 1)$.

140. На прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего координатных углов, найдите точку, равноудалённую от точек $A (2; 5)$ и $B (4; 1)$.

Прямая, содержащая биссектрисы первого и третьего координатных углов, — это прямая, на которой для каждой точки абсцисса равна ординате. Уравнение этой прямой: $y = x$.

Пусть искомая точка $M$ лежит на этой прямой, тогда ее координаты можно записать как $M(x; x)$.

По условию задачи, точка $M$ равноудалена от точек $A(2; 5)$ и $B(4; 1)$. Это означает, что расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$, или, что то же самое, квадраты этих расстояний равны: $MA^2 = MB^2$.

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния от точки $M(x; x)$ до точки $A(2; 5)$:

$MA^2 = (x - 2)^2 + (x - 5)^2$

Найдем квадрат расстояния от точки $M(x; x)$ до точки $B(4; 1)$:

$MB^2 = (x - 4)^2 + (x - 1)^2$

Приравняем эти два выражения:

$(x - 2)^2 + (x - 5)^2 = (x - 4)^2 + (x - 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2 - 4x + 4) + (x^2 - 10x + 25) = (x^2 - 8x + 16) + (x^2 - 2x + 1)$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения:

$2x^2 - 14x + 29 = 2x^2 - 10x + 17$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Вычтем $2x^2$ из обеих частей:

$-14x + 29 = -10x + 17$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$29 - 17 = -10x + 14x$

$12 = 4x$

$x = \frac{12}{4}$

$x = 3$

Таким образом, абсцисса искомой точки равна 3. Так как точка лежит на прямой $y = x$, ее ордината также равна 3. Координаты искомой точки — $(3; 3)$.

Ответ: $(3; 3)$

141. Найдите координаты точки, делящей отрезок $AB$ в отношении $1 : 3$, считая от точки $A$, если $A (5; -7)$, $B (7; -9)$.

141. Найдите координаты точки, делящей отрезок $AB$ в отношении $1 : 3$, считая от точки $A$, если $A (5; -7)$, $B (7; -9)$.

Для нахождения координат точки $C(x; y)$, которая делит отрезок $AB$ с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ в отношении $m : n$, считая от точки A, используются формулы деления отрезка в данном отношении:

$x = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m + n}$

$y = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m + n}$

По условию задачи нам даны координаты точек $A(5; -7)$ и $B(7; -9)$. Отрезок делится в отношении $1 : 3$, считая от точки $A$. Это означает, что $x_A = 5$, $y_A = -7$, $x_B = 7$, $y_B = -9$, а отношение $m : n = 1 : 3$, то есть $m=1$ и $n=3$.

Теперь подставим эти значения в формулы для вычисления координат искомой точки.

Вычислим абсциссу (координату x):

$x = \frac{3 \cdot 5 + 1 \cdot 7}{1 + 3} = \frac{15 + 7}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5,5$

Вычислим ординату (координату y):

$y = \frac{3 \cdot (-7) + 1 \cdot (-9)}{1 + 3} = \frac{-21 - 9}{4} = \frac{-30}{4} = -\frac{15}{2} = -7,5$

Следовательно, искомая точка имеет координаты $(5,5; -7,5)$.

Ответ: $(5,5; -7,5)$