Страница 62 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

251. Точка $M (-5; 9)$ — середина отрезка $AB$, $A (3; 5)$. При параллельном переносе образом точки $B$ является точка $B_1 (4; -7)$. Найдите образы точек $A$ и $M$ при этом параллельном переносе.

251. Точка $M (-5; 9)$ — середина отрезка $AB$, $A (3; 5)$. При параллельном переносе образом точки $B$ является точка $B_1 (4; -7)$. Найдите образы точек $A$ и $M$ при этом параллельном переносе.

Для решения задачи сначала необходимо найти координаты точки $B$, используя тот факт, что $M$ — середина отрезка $AB$. Затем, зная начальную точку $B$ и ее образ $B_1$, мы можем определить вектор параллельного переноса. Наконец, мы применим этот перенос к точкам $A$ и $M$, чтобы найти их образы.

1. Нахождение координат точки B.

Координаты середины отрезка $M(x_m; y_m)$ с концами в точках $A(x_a; y_a)$ и $B(x_b; y_b)$ вычисляются по формулам:

$x_m = \frac{x_a + x_b}{2}$ и $y_m = \frac{y_a + y_b}{2}$

Подставим известные значения $A(3; 5)$ и $M(-5; 9)$ и найдем координаты точки $B(x_b; y_b)$:

$-5 = \frac{3 + x_b}{2} \Rightarrow -10 = 3 + x_b \Rightarrow x_b = -13$

$9 = \frac{5 + y_b}{2} \Rightarrow 18 = 5 + y_b \Rightarrow y_b = 13$

Следовательно, координаты точки $B$ равны $(-13; 13)$.

2. Нахождение вектора параллельного переноса.

Параллельный перенос, который отображает точку $(x; y)$ в точку $(x'; y')$, задается вектором $\vec{p}(a; b)$, компоненты которого вычисляются как $a = x' - x$ и $b = y' - y$.

По условию, образом точки $B(-13; 13)$ является точка $B_1(4; -7)$. Найдем компоненты вектора переноса:

$a = 4 - (-13) = 17$

$b = -7 - 13 = -20$

Таким образом, вектор параллельного переноса $\vec{p}(17; -20)$.

3. Нахождение образов точек A и M.

Чтобы найти образы точек, нужно к их координатам прибавить соответствующие компоненты вектора переноса.

Образ точки A

Найдем образ точки $A(3; 5)$, обозначив его $A_1(x_{A1}; y_{A1})$.

$x_{A1} = 3 + 17 = 20$

$y_{A1} = 5 + (-20) = -15$

Ответ: образ точки A — это точка $(20; -15)$.

Образ точки M

Найдем образ точки $M(-5; 9)$, обозначив его $M_1(x_{M1}; y_{M1})$.

$x_{M1} = -5 + 17 = 12$

$y_{M1} = 9 + (-20) = -11$

Ответ: образ точки M — это точка $(12; -11)$.

252. Точки $B (0; 7)$, $C (4; -2)$ и $D (3; -4)$ являются вершинами параллелограмма $ABCD$. При параллельном переносе образом точки $C$ является точка $C_1 (-3; 1)$. Найдите образы точек $A$, $B$ и $D$ при таком параллельном переносе.

252. Точки $B (0; 7)$, $C (4; -2)$ и $D (3; -4)$ являются вершинами параллелограмма $ABCD$. При параллельном переносе образом точки $C$ является точка $C_1 (-3; 1)$. Найдите образы точек $A$, $B$ и $D$ при таком параллельном переносе.

Для решения задачи сначала необходимо найти координаты четвертой вершины параллелограмма, точки A, а затем определить вектор параллельного переноса.

1. Нахождение координат вершины A

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Это означает, что координаты середины отрезка AC равны координатам середины отрезка BD. Пусть координаты точки A равны $(x_A; y_A)$.

Координаты середины диагонали BD:

$x_{сер} = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2}$

$y_{сер} = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{7 + (-4)}{2} = \frac{3}{2}$

Координаты середины диагонали AC:

$x_{сер} = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{x_A + 4}{2}$

$y_{сер} = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{y_A + (-2)}{2} = \frac{y_A - 2}{2}$

Приравнивая координаты середин, получаем систему уравнений:

$\frac{x_A + 4}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow x_A + 4 = 3 \Rightarrow x_A = -1$

$\frac{y_A - 2}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow y_A - 2 = 3 \Rightarrow y_A = 5$

Таким образом, координаты вершины A: $(-1; 5)$.

2. Определение вектора параллельного переноса

Параллельный перенос задается вектором $\vec{v}(a; b)$. Если точка $M(x; y)$ переходит в точку $M_1(x'; y')$, то $x' = x + a$ и $y' = y + b$. Нам известно, что точка $C(4; -2)$ переходит в точку $C_1(-3; 1)$.

Найдем компоненты вектора переноса:

$a = x_{C_1} - x_C = -3 - 4 = -7$

$b = y_{C_1} - y_C = 1 - (-2) = 3$

Следовательно, параллельный перенос задается формулами: $x' = x - 7$, $y' = y + 3$.

3. Нахождение образов точек A, B и D

Теперь применим этот перенос к точкам A, B и D.

Образ точки A

Найдем образ точки $A(-1; 5)$, обозначим его $A_1(x_{A_1}; y_{A_1})$.

$x_{A_1} = x_A - 7 = -1 - 7 = -8$

$y_{A_1} = y_A + 3 = 5 + 3 = 8$

Ответ: $A_1(-8; 8)$

Образ точки B

Найдем образ точки $B(0; 7)$, обозначим его $B_1(x_{B_1}; y_{B_1})$.

$x_{B_1} = x_B - 7 = 0 - 7 = -7$

$y_{B_1} = y_B + 3 = 7 + 3 = 10$

Ответ: $B_1(-7; 10)$

Образ точки D

Найдем образ точки $D(3; -4)$, обозначим его $D_1(x_{D_1}; y_{D_1})$.

$x_{D_1} = x_D - 7 = 3 - 7 = -4$

$y_{D_1} = y_D + 3 = -4 + 3 = -1$

Ответ: $D_1(-4; -1)$

253. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x+3)^2+(y-4)^2=11$ при параллельном переносе на вектор $\vec{b}(-4; 1)$.

253. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 11$ при параллельном переносе на вектор $\vec{b}(-4; 1)$.

Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где точка $(a, b)$ является центром окружности, а $R$ — ее радиусом.

Для исходной окружности, заданной уравнением $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 11$, мы можем определить ее центр и радиус. Перепишем уравнение в стандартном виде: $(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 = (\sqrt{11})^2$.

Следовательно, центр исходной окружности — это точка $C_1$ с координатами $(-3; 4)$, а ее радиус $R = \sqrt{11}$.

Параллельный перенос — это изометрическое преобразование, что означает, что форма и размеры фигуры сохраняются. При переносе окружности ее радиус не изменяется, а смещается только ее центр.

Чтобы найти новый центр окружности $C_2(x'; y')$, нужно к координатам старого центра $C_1(-3; 4)$ прибавить соответствующие координаты вектора переноса $\vec{b}(-4; 1)$.

Координаты нового центра вычисляются по формулам:
$x' = x_1 + b_x$
$y' = y_1 + b_y$

Подставим известные значения:
$x' = -3 + (-4) = -7$
$y' = 4 + 1 = 5$

Таким образом, новый центр окружности находится в точке $C_2(-7; 5)$.

Радиус окружности после переноса остается прежним, поэтому $R' = R = \sqrt{11}$, и, соответственно, $(R')^2 = 11$.

Теперь мы можем составить уравнение новой окружности, используя координаты нового центра $C_2(-7; 5)$ и квадрат радиуса:
$(x - x')^2 + (y - y')^2 = (R')^2$
$(x - (-7))^2 + (y - 5)^2 = 11$
$(x + 7)^2 + (y - 5)^2 = 11$

Ответ: $(x + 7)^2 + (y - 5)^2 = 11$.

254. Выполнили параллельный перенос прямой $3x - 4y = 5$. Запишите уравнение полученной прямой, если она проходит через точку:

1) O (0; 0);

2) K (3; -2).

254. Выполнили параллельный перенос прямой $3x - 4y = 5$. Запишите уравнение полученной прямой, если она проходит через точку:

1) O $(0; 0)$

2) K $(3; -2)$

При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую. Уравнение прямой, параллельной данной прямой $3x - 4y = 5$, имеет вид $3x - 4y = C$, где $C$ — некоторая константа. Чтобы найти значение $C$, нужно использовать координаты точки, через которую проходит полученная прямая.

1) Полученная прямая проходит через точку $O (0; 0)$.

Подставим координаты этой точки в уравнение $3x - 4y = C$:

$3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 = C$

$0 = C$

Таким образом, уравнение искомой прямой: $3x - 4y = 0$.

Ответ: $3x - 4y = 0$.

2) Полученная прямая проходит через точку $K (3; -2)$.

Подставим координаты этой точки в уравнение $3x - 4y = C$:

$3 \cdot 3 - 4 \cdot (-2) = C$

$9 + 8 = C$

$17 = C$

Таким образом, уравнение искомой прямой: $3x - 4y = 17$.

Ответ: $3x - 4y = 17$.

255. Прямая $a$ проходит через вершину $B$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$). Можно ли утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии треугольника $ABC$?

255. Прямая $a$ проходит через вершину $B$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$). Можно ли утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии треугольника $ABC$?

Осью симметрии равнобедренного треугольника $ABC$ с равными сторонами $AB$ и $BC$ является прямая, которая проходит через вершину $B$ (вершину, противолежащую основанию) и является перпендикуляром к основанию $AC$. Эта же прямая является медианой, проведенной к основанию, и биссектрисой угла $\angle ABC$.

В условии задачи дано только то, что прямая $a$ проходит через вершину $B$. Этого условия недостаточно, чтобы утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии. Через одну точку (вершину $B$) можно провести бесконечное множество прямых, и только одна из них будет осью симметрии данного треугольника.

Например, рассмотрим прямую, которая содержит сторону $AB$. Эта прямая проходит через вершину $B$, но не является осью симметрии треугольника $ABC$, так как при симметрии относительно этой прямой вершина $C$ отобразится в точку $C'$, не принадлежащую треугольнику (за исключением вырожденного случая).

Таким образом, для того чтобы прямая $a$ была осью симметрии, она должна не просто проходить через вершину $B$, а занимать совершенно определенное положение — быть перпендикулярной основанию $AC$. Поскольку в условии это не уточнено, в общем случае утверждение неверно.

Ответ: Нет, утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии треугольника $ABC$, нельзя. Это будет верно только в том случае, если прямая $a$ пройдет через вершину $B$ и середину основания $AC$.

256. Даны прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая ей (рис. 47). Постройте точку, симметричную точке $M$ относительно прямой $a$.

Рис. 47

256. Даны прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая ей (рис. 47). Постройте точку, симметричную точке $M$ относительно прямой $a$.

Рис. 47

Точка, симметричная точке $M$ относительно прямой $a$, — это такая точка $M'$, что прямая $a$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$. Это означает, что отрезок $MM'$ перпендикулярен прямой $a$, и их точка пересечения $H$ является серединой отрезка $MM'$.

Для построения симметричной точки на клетчатой бумаге можно использовать следующий алгоритм:

1. Определить "шаг" (вектор), по которому можно перемещаться вдоль прямой $a$ от одного узла сетки к другому. Из рисунка видно, что для перемещения по прямой $a$ можно сместиться на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх.
2. Определить "шаг" для прямой, перпендикулярной $a$. Для этого нужно поменять компоненты вектора местами и у одной из них изменить знак. Если шаг для прямой $a$ был (2 вправо, 1 вверх), то перпендикулярный шаг будет (1 вправо, 2 вниз) или (1 влево, 2 вверх).
3. Найти точку $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $a$. Для этого нужно двигаться из точки $M$ вдоль перпендикулярного направления до пересечения с прямой $a$. Двигаясь из точки $M$ на 1 клетку вправо и 2 клетки вниз, мы попадаем в точку $H$, лежащую на прямой $a$.
4. Для нахождения симметричной точки $M'$ необходимо повторить тот же самый шаг от точки $H$. Сместившись из точки $H$ на 1 клетку вправо и 2 клетки вниз, мы получаем искомую точку $M'$.

Таким образом, точка $M'$ построена. Она является симметричным отражением точки $M$ относительно прямой $a$.

Ответ: Чтобы построить точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно прямой $a$, нужно из точки $M$ сместиться на 1 клетку вправо и 2 клетки вниз до пересечения с прямой $a$ (в точку $H$), а затем повторить это смещение от точки $H$, чтобы найти $M'$.

257. Постройте образы отрезков $AB$ и $CD$, изображённых на рисунке 48, при симметрии относительно прямой $m$.

Рис. 48

257. Постройте образы отрезков $AB$ и $CD$, изображённых на рисунке 48, при симметрии относительно прямой $m$.

Для построения образа отрезка при симметрии относительно прямой (осевой симметрии) достаточно построить образы его конечных точек и соединить их. Точка A' называется симметричной точке A относительно прямой m, если прямая m является серединным перпендикуляром к отрезку AA'. Это означает, что отрезок AA' перпендикулярен прямой m, и расстояние от точки A до прямой m равно расстоянию от точки A' до прямой m.

Итоговое построение показано на рисунке ниже. Исходные отрезки показаны черным цветом, а их образы — синим.