Страница 66 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

288. Постройте точки, являющиеся образами точек $A (2; -1)$, $B (-3; 2)$, $D (0; -3)$, $E (6; 0)$ при повороте на угол $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг начала координат. Укажите координаты полученных точек.

288. Постройте точки, являющиеся образами точек $A (2; -1)$, $B (-3; 2)$, $D (0; -3)$, $E (6; 0)$ при повороте на угол $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг начала координат. Укажите координаты полученных точек.

При повороте точки с координатами $(x; y)$ на угол $90°$ против часовой стрелки вокруг начала координат, ее образ, точка с координатами $(x'; y')$, вычисляется по формулам:
$x' = x \cos(90°) - y \sin(90°) = x \cdot 0 - y \cdot 1 = -y$
$y' = x \sin(90°) + y \cos(90°) = x \cdot 1 + y \cdot 0 = x$
Таким образом, преобразование имеет вид $(x; y) \rightarrow (-y; x)$. Применим эту формулу для каждой из заданных точек.

Для точки A (2; -1)
Обозначим образ точки $A$ как $A'$. Исходные координаты: $x = 2$, $y = -1$.
Новые координаты $(x'; y')$ будут:
$x' = -y = -(-1) = 1$
$y' = x = 2$
Следовательно, координаты образа точки $A$ — $A'(1; 2)$.
Ответ: $A'(1; 2)$.

Для точки B (-3; 2)
Обозначим образ точки $B$ как $B'$. Исходные координаты: $x = -3$, $y = 2$.
Новые координаты $(x'; y')$ будут:
$x' = -y = -2$
$y' = x = -3$
Следовательно, координаты образа точки $B$ — $B'(-2; -3)$.
Ответ: $B'(-2; -3)$.

Для точки D (0; -3)
Обозначим образ точки $D$ как $D'$. Исходные координаты: $x = 0$, $y = -3$.
Новые координаты $(x'; y')$ будут:
$x' = -y = -(-3) = 3$
$y' = x = 0$
Следовательно, координаты образа точки $D$ — $D'(3; 0)$.
Ответ: $D'(3; 0)$.

Для точки E (6; 0)
Обозначим образ точки $E$ как $E'$. Исходные координаты: $x = 6$, $y = 0$.
Новые координаты $(x'; y')$ будут:
$x' = -y = -0 = 0$
$y' = x = 6$
Следовательно, координаты образа точки $E$ — $E'(0; 6)$.
Ответ: $E'(0; 6)$.

Построение точек:
Для построения необходимо начертить систему координат и отметить на ней исходные точки $A(2; -1)$, $B(-3; 2)$, $D(0; -3)$, $E(6; 0)$ и их образы $A'(1; 2)$, $B'(-2; -3)$, $D'(3; 0)$, $E'(0; 6)$, полученные в результате поворота.

289. Образом точки $A (a; -2)$ при повороте вокруг начала координат на угол $90^\circ$ по часовой стрелке является точка $B (b; 3)$. Найдите $a$ и $b$.

289. Образом точки $A (a; -2)$ при повороте вокруг начала координат на угол $90^\circ$ по часовой стрелке является точка $B (b; 3)$. Найдите $a$ и $b$.

Поворот точки с координатами $(x; y)$ вокруг начала координат на угол 90° по часовой стрелке приводит к точке с новыми координатами $(x'; y')$, которые можно найти по формулам:
$x' = y$
$y' = -x$

В данном случае, исходная точка — это $A(a; -2)$, а её образ после поворота — точка $B(b; 3)$.

Следовательно, мы имеем:
$x = a$
$y = -2$
$x' = b$
$y' = 3$

Подставим эти значения в формулы поворота:
1) $x' = y \implies b = -2$
2) $y' = -x \implies 3 = -a$

Из второго уравнения находим значение $a$:
$a = -3$

Таким образом, мы определили, что $a = -3$ и $b = -2$.

Ответ: $a = -3$, $b = -2$.

290. На какой наименьший угол надо повернуть правильный шестиугольник вокруг его центра, чтобы его образом был этот же шестиугольник?

290. На какой наименьший угол надо повернуть правильный шестиугольник вокруг его центра, чтобы его образом был этот же шестиугольник?

Чтобы правильный шестиугольник при повороте вокруг своего центра перешел сам в себя (то есть совместился сам с собой), необходимо, чтобы его вершины заняли положения, которые до этого занимали другие вершины.

Наименьший такой положительный угол поворота будет соответствовать смещению каждой вершины на место соседней.

Полный оборот составляет $360^\circ$. У правильного шестиугольника 6 вершин, которые расположены на одинаковом угловом расстоянии друг от друга относительно центра. Поэтому, чтобы найти наименьший угол поворота, нужно полный угол разделить на количество вершин.

Выполним расчет искомого угла $\alpha$: $$ \alpha = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ $$

Таким образом, наименьший угол, на который нужно повернуть правильный шестиугольник, чтобы его образом был этот же шестиугольник, составляет $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

291. Начертите отрезок CD длиной 4 см и отметьте точку M, не принадлежащую этому отрезку. Постройте отрезок, гомотетичный отрезку CD, с центром гомотетии в точке M и коэффициентом гомотетии:

1) $k = \frac{1}{2}$;

2) $k = -3$.

291. Начертите отрезок CD длиной 4 см и отметьте точку M, не принадлежащую этому отрезку. Постройте отрезок, гомотетичный отрезок CD, с центром гомотетии в точке M и коэффициентом гомотетии:

1) $k = \frac{1}{2}$

2) $k = -3$

Гомотетия — это преобразование плоскости, при котором каждой точке $P$ сопоставляется точка $P'$, такая что $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$, где $O$ — фиксированная точка (центр гомотетии), а $k$ — заданное число (коэффициент гомотетии), не равное нулю.

Для построения отрезка, гомотетичного отрезку $CD$, достаточно построить образы его концов, точек $C$ и $D$, а затем соединить их. Начертим отрезок $CD$ длиной 4 см и выберем точку $M$, не лежащую на этом отрезке.

1) $k = \frac{1}{2}$

Для построения гомотетичного отрезка $C'D'$ с центром в точке $M$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Соединить центр гомотетии $M$ с концами отрезка, точками $C$ и $D$. Получим отрезки $MC$ и $MD$.
2. Поскольку коэффициент $k = \frac{1}{2}$ положителен, образы точек $C'$ и $D'$ будут лежать на лучах $MC$ и $MD$ соответственно.
3. Найти точку $C'$, образ точки $C$. По определению гомотетии, $\vec{MC'} = k \cdot \vec{MC}$, то есть $\vec{MC'} = \frac{1}{2}\vec{MC}$. Это значит, что точка $C'$ является серединой отрезка $MC$. Ее можно построить с помощью циркуля и линейки, найдя середину отрезка $MC$.
4. Аналогично найти точку $D'$, образ точки $D$. Вектор $\vec{MD'} = \frac{1}{2}\vec{MD}$. Точка $D'$ является серединой отрезка $MD$.
5. Соединить точки $C'$ и $D'$. Полученный отрезок $C'D'$ и будет искомым.

Отрезок $C'D'$ будет параллелен отрезку $CD$, а его длина будет равна $|k| \cdot |CD| = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

Ответ: Искомый отрезок $C'D'$, где $C'$ — середина отрезка $MC$, а $D'$ — середина отрезка $MD$.

2) $k = -3$

Для построения гомотетичного отрезка $C''D''$ с центром в точке $M$ и коэффициентом $k = -3$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Провести прямые через центр гомотетии $M$ и концы отрезка, точки $C$ и $D$.
2. Поскольку коэффициент $k = -3$ отрицателен, образы точек $C''$ и $D''$ будут лежать на продолжениях отрезков $CM$ и $DM$ за точку $M$ соответственно.
3. Найти точку $C''$, образ точки $C$. По определению гомотетии, $\vec{MC''} = k \cdot \vec{MC}$, то есть $\vec{MC''} = -3\vec{MC}$. Это значит, что точка $C''$ лежит на прямой $MC$ по другую сторону от $M$, а расстояние от $M$ до $C''$ в три раза больше расстояния от $M$ до $C$ ($|MC''| = 3|MC|$). Для построения нужно отложить от точки $M$ на луче, противоположном лучу $MC$, три отрезка, равных $MC$.
4. Аналогично найти точку $D''$, образ точки $D$. Вектор $\vec{MD''} = -3\vec{MD}$. Точка $D''$ лежит на прямой $MD$ по другую сторону от $M$, и $|MD''| = 3|MD|$.
5. Соединить точки $C''$ и $D''$. Полученный отрезок $C''D''$ и будет искомым.

Отрезок $C''D''$ будет параллелен отрезку $CD$, а его длина будет равна $|k| \cdot |CD| = |-3| \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Ответ: Искомый отрезок $C''D''$, где точка $C''$ лежит на прямой $MC$ так, что $M$ находится между $C$ и $C''$ и $|MC''| = 3|MC|$, а точка $D''$ лежит на прямой $MD$ так, что $M$ находится между $D$ и $D''$ и $|MD''| = 3|MD|$.

292. Начертите острый угол и отметьте точку $F$, лежащую на одной из сторон этого угла. Постройте угол, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке $F$ и коэффициентом гомотетии $k = 2$.

292. Начертите острый угол и отметьте точку $F$, лежащую на одной из сторон этого угла. Постройте угол, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке $F$ и коэффициентом гомотетии $k = 2$.

Для решения задачи необходимо выполнить последовательность геометрических построений, используя циркуль и линейку.

План построения:

1. Начертить острый угол. Обозначим его вершину буквой A, а стороны — лучами $l_1$ и $l_2$.
2. На одной из сторон, например на луче $l_1$, отметить точку F, которая будет центром гомотетии.
3. Построить образ вершины A — точку A'. Так как центр гомотетии F лежит на прямой, содержащей вершину A, точка A' также будет лежать на этой прямой. Векторное равенство для гомотетии $\vec{FA'} = k \cdot \vec{FA}$, при $k=2$ означает, что $\vec{FA'} = 2 \cdot \vec{FA}$. Это значит, что точка A' лежит на продолжении отрезка FA за точку A, и расстояние $FA' = 2 \cdot FA$. Для построения нужно отложить от точки A отрезок AA', равный отрезку FA, на луче, продолжающем FA.
4. Построить образ стороны $l_1$. Прямая, содержащая луч $l_1$, проходит через центр гомотетии F, поэтому при гомотетии она отображается сама на себя. Так как вершина A переходит в A', то образ луча $l_1$ — это луч $l'_1$, который начинается в точке A' и совпадает с лучом A'A.
5. Построить образ стороны $l_2$. По свойству гомотетии, образом луча $l_2$ будет луч $l'_2$, выходящий из точки A' и параллельный лучу $l_2$. Чтобы построить луч $l'_2$, нужно через точку A' провести прямую, параллельную прямой, содержащей луч $l_2$. Это можно сделать, построив угол при вершине A', равный исходному углу, одной из сторон которого будет луч $l'_1$.
   • С помощью циркуля скопировать угол с вершиной A и перенести его в вершину A'.
   • Поставить острие циркуля в точку A и провести дугу, пересекающую стороны $l_1$ и $l_2$ в точках P и Q соответственно.
   • Не меняя раствора циркуля, поставить острие в точку A' и провести такую же дугу, которая пересечет луч $l'_1$ в точке P'.
   • Измерить циркулем расстояние PQ.
   • Поставить острие циркуля в точку P' и провести дугу радиусом PQ так, чтобы она пересекла дугу, построенную на предыдущем шаге. Точку пересечения обозначим Q'.
   • Провести луч A'Q'. Этот луч $l'_2$ будет параллелен лучу $l_2$.
6. Угол, образованный лучами $l'_1$ и $l'_2$ с вершиной в точке A', является искомым углом.

Ответ: Искомый угол построен согласно вышеописанному алгоритму. В результате гомотетии с центром F на стороне угла и коэффициентом $k=2$ получается угол, равный по величине исходному. Его вершина A' смещена относительно исходной вершины A вдоль прямой, на которой они обе лежат, так что $FA' = 2 \cdot FA$. Сторона угла, на которой лежал центр гомотетии F, переходит в сторону, лежащую на той же прямой. Вторая сторона полученного угла параллельна второй стороне исходного угла.

293. Постройте прямоугольник, гомотетичный данному прямоугольнику, с центром гомотетии в точке пересечения его диагоналей и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 3$;

2) $k = -1,5$.

293. Постройте прямоугольник, гомотетичный данному прямоугольнику, с центром гомотетии в точке пересечения его диагоналей и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 3$;

2) $k = -1,5$.

Гомотетия — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ такую, что вектор $\vec{OM'}$ равен вектору $\vec{OM}$, умноженному на некоторое число $k$, называемое коэффициентом гомотетии. То есть, $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Точка $O$ называется центром гомотетии.

Для построения прямоугольника, гомотетичного данному, необходимо выполнить гомотетичное преобразование для каждой его вершины.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Центр гомотетии $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.

Поскольку коэффициент гомотетии $k = 3$ положителен, то каждая вершина искомого прямоугольника будет лежать на луче, исходящем из центра гомотетии $O$ и проходящем через соответствующую вершину исходного прямоугольника.

Алгоритм построения:
1. Строим данный прямоугольник $ABCD$.
2. Проводим его диагонали $AC$ и $BD$. Точку их пересечения обозначаем как $O$. Это центр гомотетии.
3. Для каждой вершины (например, для $A$) проводим луч $OA$.
4. На луче $OA$ откладываем отрезок $OA'$, длина которого в 3 раза больше длины отрезка $OA$, то есть $OA' = 3 \cdot OA$. Точка $A'$ — это образ точки $A$.
5. Аналогично строим образы остальных вершин:

• На луче $OB$ откладываем отрезок $OB' = 3 \cdot OB$.
• На луче $OC$ откладываем отрезок $OC' = 3 \cdot OC$.
• На луче $OD$ откладываем отрезок $OD' = 3 \cdot OD$.

6. Последовательно соединяем точки $A'$, $B'$, $C'$ и $D'$. Полученный прямоугольник $A'B'C'D'$ и будет искомым. Его стороны будут параллельны сторонам исходного прямоугольника, а их длины будут в 3 раза больше.

Ответ: Прямоугольник $A'B'C'D'$ построен согласно описанному алгоритму.

Поскольку коэффициент гомотетии $k = -1,5$ отрицателен, то каждая вершина искомого прямоугольника будет лежать на луче, дополнительном к лучу, исходящему из центра гомотетии $O$ и проходящему через соответствующую вершину исходного прямоугольника. Другими словами, образ точки $A$ будет лежать на прямой $OA$ по другую сторону от центра $O$.

Алгоритм построения:
1. Строим данный прямоугольник $ABCD$ и находим центр гомотетии $O$ как точку пересечения его диагоналей.
2. Для каждой вершины (например, для $A$) проводим прямую через точки $O$ и $A$.
3. На прямой $OA$, на луче, противоположном лучу $OA$, откладываем отрезок $OA'$, длина которого в $1,5$ раза больше длины отрезка $OA$, то есть $OA' = |-1,5| \cdot OA = 1,5 \cdot OA$. Точка $A'$ — это образ точки $A$.
4. Аналогично строим образы остальных вершин:

• На луче, противоположном лучу $OB$, откладываем отрезок $OB' = 1,5 \cdot OB$.
• На луче, противоположном лучу $OC$, откладываем отрезок $OC' = 1,5 \cdot OC$.
• На луче, противоположном лучу $OD$, откладываем отрезок $OD' = 1,5 \cdot OD$.

5. Последовательно соединяем точки $A'$, $B'$, $C'$ и $D'$. Полученный прямоугольник $A'B'C'D'$ и будет искомым. Его стороны будут параллельны сторонам исходного прямоугольника, их длины будут в 1,5 раза больше, а сам прямоугольник будет повернут на 180° относительно центра $O$.

Ответ: Прямоугольник $A'B'C'D'$ построен согласно описанному алгоритму.

294. Отметьте точки $P$ и $D$. Найдите такую точку $M$, чтобы точка $P$ была образом точки $D$ при гомотетии с центром $M$ и коэффициентом гомотетии $k = -2$.

294. Отметьте точки $P$ и $D$. Найдите такую точку $M$, чтобы точка $P$ была образом точки $D$ при гомотетии с центром $M$ и коэффициентом гомотетии $k = -2$.

По определению гомотетии, если точка $P$ является образом точки $D$ при гомотетии с центром $M$ и коэффициентом $k$, то выполняется следующее векторное равенство:$\vec{MP} = k \cdot \vec{MD}$.

В условии задачи дан коэффициент гомотетии $k = -2$. Подставим это значение в формулу:$\vec{MP} = -2 \cdot \vec{MD}$.

Проанализируем полученное векторное равенство:
1. Равенство означает, что векторы $\vec{MP}$ и $\vec{MD}$ коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых). Так как у них есть общая точка $M$, то все три точки, $P$, $D$ и $M$, лежат на одной прямой.
2. Так как коэффициент $k = -2$ является отрицательным числом, векторы $\vec{MP}$ и $\vec{MD}$ направлены в противоположные стороны. Это означает, что центр гомотетии, точка $M$, лежит между точками $P$ и $D$.
3. Из равенства следует, что длина вектора $\vec{MP}$ в $|-2|=2$ раза больше длины вектора $\vec{MD}$. Таким образом, расстояние от точки $M$ до точки $P$ в два раза больше расстояния от точки $M$ до точки $D$, то есть $MP = 2 \cdot MD$.

Следовательно, для того чтобы найти точку $M$, необходимо:
1. Соединить точки $P$ и $D$ отрезком.
2. Разделить этот отрезок на 3 равные части.
3. Искомая точка $M$ будет той точкой деления, которая находится ближе к точке $D$. Эта точка делит отрезок $PD$ в отношении $2:1$, считая от точки $P$.

Ответ: Точка $M$ лежит на отрезке $PD$ и делит его в отношении $PM:MD = 2:1$.

295. Точка $C (-12; 18)$ — образ точки $F (-4; 6)$ при гомотетии с центром в начале координат. Найдите коэффициент гомотетии.

295. Точка $C$ $(-12; 18)$ — образ точки $F$ $(-4; 6)$ при гомотетии с центром в начале координат. Найдите коэффициент гомотетии.

Гомотетия с центром в начале координат $(0; 0)$ и коэффициентом $k$ преобразует точку с координатами $(x; y)$ в точку с координатами $(x'; y')$, где выполняются следующие соотношения:
$x' = k \cdot x$
$y' = k \cdot y$

По условию задачи, точка $C(-12; 18)$ является образом точки $F(-4; 6)$. Это означает, что:
$x = -4$, $y = 6$
$x' = -12$, $y' = 18$

Подставим значения координат $x$ и $x'$ в первую формулу, чтобы найти коэффициент $k$:
$-12 = k \cdot (-4)$
$k = \frac{-12}{-4}$
$k = 3$

Для проверки подставим значения координат $y$ и $y'$ во вторую формулу:
$18 = k \cdot 6$
$k = \frac{18}{6}$
$k = 3$

Так как оба вычисления дают одинаковый результат, коэффициент гомотетии равен 3.

Ответ: 3

296. Параллельные прямые пересекают стороны угла B в точках F, K, M и N (рис. 54).

$BK : KN = 1 : 2$. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой: 1) отрезок FK является образом отрезка MN; 2) отрезок MN является образом отрезка FK.

Рис. 54

296. Параллельные прямые пересекают стороны угла $B$ в точках $F, K, M$ и $N$ (рис. 54).

$BK : KN = 1 : 2$. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой:

1) отрезок $FK$ является образом отрезка $MN$;

2) отрезок $MN$ является образом отрезка $FK$.

Рис. 54

1) Гомотетия — это преобразование подобия, при котором каждая точка $P$ переходит в точку $P'$, так что вектор $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$, где $O$ — центр гомотетии, а $k$ — коэффициент гомотетии. При гомотетии отрезок переходит в параллельный ему отрезок.

В данной задаче прямые, на которых лежат отрезки $FK$ и $MN$, параллельны. Прямые, соединяющие соответственные точки ($F$ и $M$, $K$ и $N$), пересекаются в одной точке, которая является центром гомотетии. Так как точки $F, B, M$ лежат на одной прямой, и точки $K, B, N$ лежат на одной прямой, то центром гомотетии является точка $B$.

В этом пункте отрезок $FK$ является образом отрезка $MN$. Это означает, что точка $F$ — образ точки $M$, а точка $K$ — образ точки $N$. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению расстояния от центра до точки-образа к расстоянию от центра до точки-прообраза. Следовательно, $k = \frac{BK}{BN}$.

По условию $BK : KN = 1 : 2$. Примем длину отрезка $BK$ за $x$, тогда длина отрезка $KN$ будет $2x$. Длина отрезка $BN$ равна сумме длин отрезков $BK$ и $KN$: $BN = BK + KN = x + 2x = 3x$.

Теперь найдем коэффициент гомотетии: $k = \frac{BK}{BN} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$.

Ответ: центр гомотетии — точка $B$, коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

2) В этом случае отрезок $MN$ является образом отрезка $FK$. Центр гомотетии остается тот же — точка $B$.

Теперь точка $M$ — образ точки $F$, а точка $N$ — образ точки $K$. Коэффициент гомотетии $k$ будет равен отношению $k = \frac{BN}{BK}$.

Используя те же обозначения, что и в первом пункте ($BK = x$, $BN = 3x$), найдем коэффициент: $k = \frac{BN}{BK} = \frac{3x}{x} = 3$.

Ответ: центр гомотетии — точка $B$, коэффициент $k = 3$.