Страница 76 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Пусть $a_6$ — сторона правильного шестиугольника, $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной и вписанной его окружностей. Заполните таблицу (размеры даны в сантиметрах):

77. Пусть $a_6$ — сторона правильного шестиугольника, $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной и вписанной его окружностей. Заполните таблицу (размеры даны в сантиметрах):

Для решения задачи воспользуемся формулами, связывающими сторону правильного шестиугольника $a_6$ с радиусами вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей.

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a_6$.

• Радиус описанной окружности равен стороне такого треугольника: $R = a_6$.
• Радиус вписанной окружности равен высоте такого треугольника: $r = \frac{a_6\sqrt{3}}{2}$.

На основе этих формул заполним каждую строку таблицы.

Строка 1

Дано значение стороны шестиугольника: $a_6 = 8$ см.

1. Находим радиус описанной окружности $R$:

$R = a_6 = 8$ см.

2. Находим радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{a_6\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $R = 8$ см, $r = 4\sqrt{3}$ см.

Строка 2

Дано значение радиуса описанной окружности: $R = 3$ см.

1. Находим сторону шестиугольника $a_6$:

$a_6 = R = 3$ см.

2. Находим радиус вписанной окружности $r$:

$r = \frac{a_6\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $a_6 = 3$ см, $r = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Строка 3

Дано значение радиуса вписанной окружности: $r = 4\sqrt{3}$ см.

1. Из формулы для $r$ выражаем сторону $a_6$:

$r = \frac{a_6\sqrt{3}}{2} \implies a_6 = \frac{2r}{\sqrt{3}}$

Подставляем известное значение $r$:

$a_6 = \frac{2 \cdot 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$ см.

2. Находим радиус описанной окружности $R$:

$R = a_6 = 8$ см.

Ответ: $a_6 = 8$ см, $R = 8$ см.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

78. Найдите радиусы описанной около правильного треугольника и вписанной в него окружностей, если их разность равна 9 см.

78. Найдите радиусы описанной около правильного треугольника и вписанной в него окружностей, если их разность равна 9 см.

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $r$ — радиус вписанной окружности правильного треугольника.

Для правильного (равностороннего) треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка является точкой пересечения медиан, высот и биссектрис. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности $R$ равен 2/3 высоты (медианы), а радиус вписанной окружности $r$ равен 1/3 высоты (медианы).

Отсюда следует, что радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:
$R = 2r$

По условию задачи, их разность равна 9 см:
$R - r = 9$

Мы получили систему из двух уравнений:
1) $R = 2r$
2) $R - r = 9$

Подставим выражение для $R$ из первого уравнения во второе:
$2r - r = 9$
$r = 9$ (см)

Теперь найдем радиус описанной окружности $R$, используя первое уравнение:
$R = 2r = 2 \cdot 9 = 18$ (см)

Ответ: радиус вписанной окружности равен 9 см, радиус описанной окружности равен 18 см.

79. Найдите отношение площадей правильных четырёхугольника и шестиугольника, стороны которых равны.

79. Найдите отношение площадей правильных четырёхугольника и шестиугольника, стороны которых равны.

Пусть $a$ — длина стороны правильного четырёхугольника и правильного шестиугольника, так как по условию их стороны равны.

Площадь правильного четырёхугольника
Правильный четырёхугольник является квадратом. Площадь квадрата ($S_4$) со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_4 = a^2$

Площадь правильного шестиугольника
Правильный шестиугольник можно разбить на шесть равных равносторонних треугольников, сторона каждого из которых равна $a$. Площадь одного такого равностороннего треугольника ($S_{\triangle}$) вычисляется по формуле:
$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$
Следовательно, площадь всего шестиугольника ($S_6$) равна сумме площадей шести таких треугольников:
$S_6 = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

Отношение площадей
Теперь найдём отношение площади правильного четырёхугольника к площади правильного шестиугольника, разделив $S_4$ на $S_6$:
$\frac{S_4}{S_6} = \frac{a^2}{\frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}}$
Сократим $a^2$ в числителе и знаменателе:
$\frac{S_4}{S_6} = \frac{1}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = 1 \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{3\sqrt{3}}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$\frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{9}$

80. Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 8 см.

80. Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 8 см.

Правильный шестиугольник можно разделить на шесть одинаковых равносторонних треугольников, общая вершина которых находится в центре описанной окружности. Стороны этих треугольников равны радиусу окружности.

По условию задачи, радиус описанной окружности $R = 8$ см. Следовательно, сторона правильного шестиугольника $a$ также равна 8 см:

$a = R = 8$ см.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 8$ см и найдем площадь одного из шести треугольников:

$S_{\triangle} = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 16 \sqrt{3}$ см².

Площадь всего правильного шестиугольника $S_6$ равна сумме площадей шести таких треугольников:

$S_6 = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot 16 \sqrt{3} = 96 \sqrt{3}$ см².

Ответ: $96 \sqrt{3}$ см².

81. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $N$, $\angle BNC = 170^\circ$. Найдите количество сторон данного правильного многоугольника.

81. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $N$, $\angle BNC = 170^\circ$. Найдите количество сторон данного правильного многоугольника.

Пусть $n$ — искомое количество сторон правильного многоугольника.

Рассмотрим треугольник $BNC$, образованный пересечением продолжений сторон $AB$ и $CD$ в точке $N$. Углы $\angle NBC$ и $\angle BCN$ этого треугольника являются внешними углами правильного многоугольника при вершинах $B$ и $C$ соответственно.

В правильном многоугольнике все внешние углы равны. Обозначим величину внешнего угла через $\beta$. Тогда в треугольнике $BNC$ мы имеем $\angle NBC = \beta$ и $\angle BCN = \beta$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. По условию, $\angle BNC = 170^\circ$. Запишем уравнение для суммы углов треугольника $BNC$:
$\angle BNC + \angle NBC + \angle BCN = 180^\circ$

Подставим известные значения и решим уравнение относительно $\beta$:
$170^\circ + \beta + \beta = 180^\circ$
$170^\circ + 2\beta = 180^\circ$
$2\beta = 180^\circ - 170^\circ$
$2\beta = 10^\circ$
$\beta = 5^\circ$

Таким образом, внешний угол данного правильного многоугольника равен $5^\circ$.

Величина внешнего угла правильного $n$-угольника связана с количеством его сторон $n$ формулой:
$\beta = \frac{360^\circ}{n}$

Подставим найденное значение $\beta$ в эту формулу, чтобы найти $n$:
$5^\circ = \frac{360^\circ}{n}$
$n = \frac{360^\circ}{5^\circ}$
$n = 72$

Ответ: 72.

82. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна 10 см. Чему равен радиус:

1) описанной около него окружности;

2) вписанной в него окружности?

82. Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна 10 см. Чему равен радиус:

1) описанной около него окружности;

2) вписанной в него окружности?

1) описанной около него окружности

Наибольшая диагональ правильного шестиугольника $D$ проходит через его центр и соединяет две противоположные вершины. Длина этой диагонали равна диаметру описанной окружности, то есть двум её радиусам $R$.

Таким образом, можно записать формулу: $D = 2R$.

По условию задачи, длина наибольшей диагонали $D = 10$ см. Подставим это значение в формулу:

$10 = 2R$

Отсюда находим радиус описанной окружности:

$R = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

2) вписанной в него окружности

В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности $R$ равен его стороне $a$. Из первого пункта мы знаем, что $R = 5$ см, следовательно, сторона шестиугольника $a = 5$ см.

Радиус вписанной окружности $r$ (также называемый апофемой) для правильного шестиугольника связан с его стороной $a$ следующей формулой:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Эту формулу можно вывести, рассмотрев один из шести равносторонних треугольников, на которые шестиугольник делится большими диагоналями. Радиус вписанной окружности является высотой такого треугольника.

Подставим известное значение стороны $a = 5$ см в формулу:

$r = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ см.

83. В правильный шестиугольник со стороной $4\sqrt{3}$ см вписана окружность. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

83. В правильный шестиугольник со стороной $4\sqrt{3}$ см вписана окружность. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

Для решения задачи выполним два шага. Сначала найдем радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, а затем, используя этот радиус, найдем сторону правильного треугольника, вписанного в эту же окружность.

Шаг 1: Нахождение радиуса вписанной окружности.
Сторона правильного шестиугольника дана по условию и равна $a_6 = 4\sqrt{3}$ см.
Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник, связан с его стороной $a_6$ следующей формулой:
$r = \frac{a_6 \sqrt{3}}{2}$
Подставим в эту формулу значение стороны шестиугольника:
$r = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.
Таким образом, радиус вписанной окружности равен 6 см.

Шаг 2: Нахождение стороны правильного треугольника.
Найденная окружность с радиусом $r=6$ см является описанной для правильного треугольника. Радиус описанной окружности для треугольника, который мы обозначим как $R$, равен радиусу вписанной окружности для шестиугольника, то есть $R = r = 6$ см.
Сторона $a_3$ правильного треугольника, вписанного в окружность, связана с радиусом $R$ этой окружности формулой:
$a_3 = R\sqrt{3}$
Подставим значение радиуса $R$:
$a_3 = 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см.

84. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 12 см, а сторона многоугольника — $12\sqrt{3}$ см. Найдите радиус окружности, вписанной в многоугольник, и количество его сторон.

84. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 12 см, а сторона многоугольника — $12\sqrt{3}$ см. Найдите радиус окружности, вписанной в многоугольник, и количество его сторон.

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности, $a_n$ — сторона правильного многоугольника, а $n$ — количество его сторон.
По условию задачи:
$R = 12$ см
$a_n = 12\sqrt{3}$ см

Количество сторон многоугольника

Для нахождения количества сторон воспользуемся формулой, связывающей сторону правильного многоугольника с радиусом описанной окружности:
$a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$
Подставим известные значения в формулу:
$12\sqrt{3} = 2 \cdot 12 \cdot \sin(\frac{180^\circ}{n})$
$12\sqrt{3} = 24 \sin(\frac{180^\circ}{n})$
Разделим обе части уравнения на 24:
$\sin(\frac{180^\circ}{n}) = \frac{12\sqrt{3}}{24} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Значение синуса, равное $\frac{\sqrt{3}}{2}$, соответствует углу $60^\circ$. Следовательно:
$\frac{180^\circ}{n} = 60^\circ$
Отсюда находим $n$:
$n = \frac{180^\circ}{60^\circ} = 3$
Таким образом, многоугольник является правильным треугольником.
Ответ: 3.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности можно найти, используя связь между радиусом описанной окружности $R$, радиусом вписанной окружности $r$ и половиной стороны многоугольника $(\frac{a_n}{2})$, которые образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + (\frac{a_n}{2})^2$
Выразим $r^2$:
$r^2 = R^2 - (\frac{a_n}{2})^2$
Подставим известные значения:
$r^2 = 12^2 - (\frac{12\sqrt{3}}{2})^2$
$r^2 = 144 - (6\sqrt{3})^2$
$r^2 = 144 - (36 \cdot 3)$
$r^2 = 144 - 108$
$r^2 = 36$
$r = \sqrt{36} = 6$ см
Также можно воспользоваться формулой, связывающей радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного n-угольника:
$r = R \cos(\frac{180^\circ}{n})$
Так как мы уже нашли, что $n=3$:
$r = 12 \cdot \cos(\frac{180^\circ}{3}) = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.
Ответ: 6 см.

85. В окружность радиуса 18 см вписан правильный шестиугольник. В этот шестиугольник вписана окружность, а в окружность — правильный треугольник. Найдите сторону треугольника.

85. В окружность радиуса 18 см вписан правильный шестиугольник. В этот шестиугольник вписана окружность, а в окружность — правильный треугольник. Найдите сторону треугольника.

Обозначим радиус исходной окружности как $R_1$. По условию, $R_1 = 18$ см. В эту окружность вписан правильный шестиугольник. Сторона правильного шестиугольника ($a_6$), вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности:

$a_6 = R_1 = 18$ см.

В этот шестиугольник вписана вторая окружность. Её радиус ($R_2$) является радиусом вписанной в правильный шестиугольник окружности. Он связан со стороной шестиугольника $a_6$ формулой:

$R_2 = \frac{a_6 \sqrt{3}}{2}$

Подставим значение $a_6$:

$R_2 = \frac{18 \sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см.

В эту вторую окружность радиусом $R_2$ вписан правильный треугольник. Сторона правильного треугольника ($a_3$), вписанного в окружность, связана с её радиусом ($R_2$) формулой:

$a_3 = R_2 \sqrt{3}$

Подставим найденное значение $R_2$:

$a_3 = (9\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 9 \cdot 3 = 27$ см.

Ответ: 27 см.