Страница 82 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

141. Найдите координаты точки, делящей отрезок $AB$ в отношении 1 : 3, считая от точки $A$, если $A(1;-3)$, $B(-7;13)$.

141. Найдите координаты точки, делящей отрезок $AB$ в отношении $1 : 3$, считая от точки $A$, если $A (1; -3)$, $B (-7; 13)$.

Для нахождения координат точки C(x; y), которая делит отрезок AB с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ в отношении $m:n$, считая от точки A, используются формулы деления отрезка в данном отношении:

$x = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n}$

$y = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n}$

По условию задачи имеем:

• Координаты точки A: $A(1; -3)$, следовательно, $x_A = 1$ и $y_A = -3$.
• Координаты точки B: $B(-7; 13)$, следовательно, $x_B = -7$ и $y_B = 13$.
• Отношение, в котором точка делит отрезок: $1:3$, следовательно, $m = 1$ и $n = 3$.

Подставим эти значения в формулы для вычисления координат искомой точки.

Вычисляем координату x:

$x = \frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot (-7)}{1+3} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Вычисляем координату y:

$y = \frac{3 \cdot (-3) + 1 \cdot 13}{1+3} = \frac{-9 + 13}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Следовательно, координаты точки, делящей отрезок AB в отношении 1:3, считая от точки A, равны $(-1; 1)$.

Ответ: $(-1; 1)$.

142. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $A (-5; 3)$, $C (6; -4)$, $D (-4; 6)$. Найдите координаты вершины $B$.

142. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм, $A(-5; 3)$, $C(6; -4)$, $D(-4; 6)$. Найдите координаты вершины B.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Иными словами, середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$.

Пусть искомые координаты вершины $B$ равны $(x; y)$.

1. Найдём координаты точки $O$ — середины диагонали $AC$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2}$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2}$

Подставим координаты точек $A(-5; 3)$ и $C(6; -4)$:

$x_O = \frac{-5 + 6}{2} = \frac{1}{2}$

$y_O = \frac{3 + (-4)}{2} = -\frac{1}{2}$

Таким образом, точка пересечения диагоналей $O$ имеет координаты $(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$.

2. Точка $O$ также является серединой диагонали $BD$. Используем те же формулы для координат середины отрезка, но теперь для диагонали $BD$ с точками $B(x; y)$ и $D(-4; 6)$:

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{x + (-4)}{2}$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \Rightarrow -\frac{1}{2} = \frac{y + 6}{2}$

3. Решим полученные уравнения относительно $x$ и $y$.

Из первого уравнения:

$\frac{1}{2} = \frac{x - 4}{2}$

$1 = x - 4$

$x = 1 + 4 = 5$

Из второго уравнения:

$-\frac{1}{2} = \frac{y + 6}{2}$

$-1 = y + 6$

$y = -1 - 6 = -7$

Следовательно, координаты вершины $B$ равны $(5; -7)$.

Ответ: $(5; -7)$.

143. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (2; -3), B (-4; -1), C (1; -1)$ и $D (7; -3)$ является параллелограммом.

143. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (2; -3)$, $B (-4; -1)$, $C (1; -1)$ и $D (7; -3)$ является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, можно воспользоваться одним из его свойств: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей AC и BD должны совпадать.

Даны вершины четырёхугольника: A(2; -3), B(-4; -1), C(1; -1) и D(7; -3).

1. Найдём координаты середины диагонали AC.

Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Пусть M — середина AC. Тогда её координаты:

$x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

$y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-3 + (-1)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, координаты середины диагонали AC — M(1.5; -2).

2. Найдём координаты середины диагонали BD.

Пусть K — середина BD. Тогда её координаты:

$x_K = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{-4 + 7}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

$y_K = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{-1 + (-3)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Таким образом, координаты середины диагонали BD — K(1.5; -2).

3. Сравним полученные координаты.

Координаты точки M и точки K совпадают. Это означает, что диагонали AC и BD пересекаются в одной и той же точке и делятся ею пополам.

Поскольку диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырёхугольник является параллелограммом по признаку параллелограмма.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали имеют общую середину в точке (1.5; -2).

144. Найдите длину отрезка, концы которого лежат на осях координат, а серединой является точка K $(-5; 12)$.

144. Найдите длину отрезка, концы которого лежат на осях координат, а серединой является точка K $ (-5; 12) $.

Пусть концы отрезка, которые мы обозначим как A и B, лежат на осях координат. Так как точка A лежит на оси абсцисс (Ox), ее координаты имеют вид $(x_A; 0)$. Так как точка B лежит на оси ординат (Oy), ее координаты имеют вид $(0; y_B)$.

Серединой отрезка AB является точка K с координатами $(-5; 12)$. Координаты середины отрезка находятся по формулам:

$x_K = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_K = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим известные значения координат точек A, B и K, чтобы найти $x_A$ и $y_B$:

Для координаты x:

$-5 = \frac{x_A + 0}{2}$

$x_A = -5 \cdot 2 = -10$

Для координаты y:

$12 = \frac{0 + y_B}{2}$

$y_B = 12 \cdot 2 = 24$

Таким образом, мы определили координаты концов отрезка: A(-10; 0) и B(0; 24).

Теперь найдем длину отрезка AB, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$AB = \sqrt{(0 - (-10))^2 + (24 - 0)^2}$

$AB = \sqrt{(10)^2 + (24)^2}$

$AB = \sqrt{100 + 576}$

$AB = \sqrt{676}$

$AB = 26$

Ответ: 26.

145. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-3; 6)$, $B (1; 10)$, $C (4; 7)$ и $D (0; 3)$ является прямоугольником.

145. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-3; 6)$, $B (1; 10)$, $C (4; 7)$ и $D (0; 3)$ является прямоугольником.

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, необходимо показать, что он является параллелограммом, у которого диагонали равны. Для этого мы вычислим длины его сторон и диагоналей, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Для удобства будем вычислять и сравнивать квадраты длин.

Координаты вершин четырёхугольника: A(-3; 6), B(1; 10), C(4; 7), D(0; 3).

1. Проверка на то, является ли ABCD параллелограммом

Четырёхугольник является параллелограммом, если его противолежащие стороны попарно равны. Найдём квадраты длин всех сторон:

• Квадрат длины стороны AB: $|AB|^2 = (1 - (-3))^2 + (10 - 6)^2 = (4)^2 + (4)^2 = 16 + 16 = 32$.
• Квадрат длины стороны BC: $|BC|^2 = (4 - 1)^2 + (7 - 10)^2 = (3)^2 + (-3)^2 = 9 + 9 = 18$.
• Квадрат длины стороны CD: $|CD|^2 = (0 - 4)^2 + (3 - 7)^2 = (-4)^2 + (-4)^2 = 16 + 16 = 32$.
• Квадрат длины стороны DA: $|DA|^2 = (-3 - 0)^2 + (6 - 3)^2 = (-3)^2 + (3)^2 = 9 + 9 = 18$.

Сравнивая квадраты длин противолежащих сторон, получаем:

$|AB|^2 = |CD|^2 = 32 \implies |AB| = |CD|$

$|BC|^2 = |DA|^2 = 18 \implies |BC| = |DA|$

Поскольку противолежащие стороны четырёхугольника попарно равны, ABCD является параллелограммом.

2. Проверка равенства диагоналей

Параллелограмм является прямоугольником, если его диагонали равны. Найдём квадраты длин диагоналей AC и BD:

• Квадрат длины диагонали AC: $|AC|^2 = (4 - (-3))^2 + (7 - 6)^2 = (7)^2 + (1)^2 = 49 + 1 = 50$.
• Квадрат длины диагонали BD: $|BD|^2 = (0 - 1)^2 + (3 - 10)^2 = (-1)^2 + (-7)^2 = 1 + 49 = 50$.

Сравнивая квадраты длин диагоналей, получаем:

$|AC|^2 = |BD|^2 = 50 \implies |AC| = |BD|$

Так как ABCD — параллелограмм с равными диагоналями, он является прямоугольником.

Ответ: Утверждение, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, доказано.

146. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках $A (2; 4)$, $B (3; 7)$, $C (6; 6)$ и $D (5; 3)$ является квадратом.

146. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (2; 4)$, $B (3; 7)$, $C (6; 6)$ и $D (5; 3)$ является квадратом.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является квадратом, необходимо установить, что все его стороны равны, а также что его диагонали равны.

Для нахождения длин отрезков воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

1. Вычислим длины сторон четырёхугольника ABCD с вершинами в точках A(2; 4), B(3; 7), C(6; 6) и D(5; 3).

• Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(3-2)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$.
• Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(6-3)^2 + (6-7)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.
• Длина стороны CD: $CD = \sqrt{(5-6)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$.
• Длина стороны DA: $DA = \sqrt{(2-5)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$.

Так как $AB = BC = CD = DA = \sqrt{10}$, все стороны четырёхугольника равны. Это означает, что ABCD является ромбом.

2. Вычислим длины диагоналей AC и BD.

• Длина диагонали AC: $AC = \sqrt{(6-2)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20}$.
• Длина диагонали BD: $BD = \sqrt{(5-3)^2 + (3-7)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$.

Так как $AC = BD = \sqrt{20}$, диагонали четырёхугольника равны.

Поскольку у четырёхугольника ABCD все стороны равны (он является ромбом) и его диагонали равны, он является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник ABCD является квадратом.

147. Найдите координаты вершины $B$ равностороннего треугольника $ABC$, если известны координаты вершин $A (0; -1)$ и $C (0; 3)$.

147. Найдите координаты вершины $B$ равностороннего треугольника $ABC$, если известны координаты вершин $A (0; -1)$ и $C (0; 3)$.

Пусть координаты искомой вершины $B$ будут $(x, y)$. Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, то длины всех его сторон равны: $AB = BC = AC$.

1. Сначала найдем длину стороны $AC$, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.
Даны координаты вершин $A(0, -1)$ и $C(0, 3)$.
$AC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{0^2 + (3+1)^2} = \sqrt{4^2} = 4$.
Так как треугольник равносторонний, то $AB = BC = 4$.

2. Теперь, зная длины сторон $AB$ и $BC$, мы можем составить систему уравнений для нахождения координат $(x, y)$ вершины $B$.
Расстояние $AB = \sqrt{(x-0)^2 + (y-(-1))^2} = \sqrt{x^2 + (y+1)^2}$.
Расстояние $BC = \sqrt{(x-0)^2 + (y-3)^2} = \sqrt{x^2 + (y-3)^2}$.
Так как $AB=4$ и $BC=4$, возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корней:
$AB^2 = x^2 + (y+1)^2 = 16$
$BC^2 = x^2 + (y-3)^2 = 16$

3. Решим полученную систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 + (y+1)^2 = 16 \\ x^2 + (y-3)^2 = 16 \end{cases}$
Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:
$x^2 + (y+1)^2 = x^2 + (y-3)^2$
$(y+1)^2 = (y-3)^2$
Раскроем скобки:
$y^2 + 2y + 1 = y^2 - 6y + 9$
Перенесем члены с $y$ в одну сторону, а константы в другую:
$2y + 6y = 9 - 1$
$8y = 8$
$y = 1$

4. Теперь подставим найденное значение $y=1$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $x$. Возьмем первое уравнение:
$x^2 + (1+1)^2 = 16$
$x^2 + 2^2 = 16$
$x^2 + 4 = 16$
$x^2 = 16 - 4$
$x^2 = 12$
$x = \pm\sqrt{12} = \pm\sqrt{4 \cdot 3} = \pm2\sqrt{3}$

Таким образом, существуют две возможные точки для вершины $B$, симметричные относительно прямой $AC$ (оси $Oy$).

Ответ: $(2\sqrt{3}; 1)$ или $(-2\sqrt{3}; 1)$.

148. Точки $A_1 (-2; 1)$, $B_1 (4; -3)$ и $C_1 (-1; 5)$ — середины сторон некоторого треугольника. Найдите координаты его вершин.

148. Точки $A_1 (-2; 1)$, $B_1 (4; -3)$ и $C_1 (-1; 5)$ — середины сторон некоторого треугольника. Найдите координаты его вершин.

Пусть вершины искомого треугольника имеют координаты $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$.

По условию, точки $A_1(-2; 1)$, $B_1(4; -3)$ и $C_1(-1; 5)$ являются серединами его сторон. Примем, что $A_1$ — середина стороны $BC$, $B_1$ — середина стороны $AC$, а $C_1$ — середина стороны $AB$.

Координаты середины отрезка находятся по формулам: $x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Используя эти формулы, составим системы уравнений для нахождения координат вершин треугольника.

Для абсцисс (координат $x$):

$x_{A_1} = \frac{x_B + x_C}{2} \implies -2 = \frac{x_B + x_C}{2} \implies x_B + x_C = -4$
$x_{B_1} = \frac{x_A + x_C}{2} \implies 4 = \frac{x_A + x_C}{2} \implies x_A + x_C = 8$
$x_{C_1} = \frac{x_A + x_B}{2} \implies -1 = \frac{x_A + x_B}{2} \implies x_A + x_B = -2$

Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases} x_B + x_C = -4 & (1) \\ x_A + x_C = 8 & (2) \\ x_A + x_B = -2 & (3) \end{cases}$

Сложим все три уравнения системы: $(x_B + x_C) + (x_A + x_C) + (x_A + x_B) = -4 + 8 + (-2)$, что дает $2x_A + 2x_B + 2x_C = 2$, или $x_A + x_B + x_C = 1$ (4).

Теперь, вычитая из уравнения (4) поочередно уравнения (1), (2) и (3), найдем $x_A$, $x_B$ и $x_C$:

$(x_A + x_B + x_C) - (x_B + x_C) = 1 - (-4) \implies x_A = 5$
$(x_A + x_B + x_C) - (x_A + x_C) = 1 - 8 \implies x_B = -7$
$(x_A + x_B + x_C) - (x_A + x_B) = 1 - (-2) \implies x_C = 3$

Аналогично поступим для ординат (координат $y$):

$y_{A_1} = \frac{y_B + y_C}{2} \implies 1 = \frac{y_B + y_C}{2} \implies y_B + y_C = 2$
$y_{B_1} = \frac{y_A + y_C}{2} \implies -3 = \frac{y_A + y_C}{2} \implies y_A + y_C = -6$
$y_{C_1} = \frac{y_A + y_B}{2} \implies 5 = \frac{y_A + y_B}{2} \implies y_A + y_B = 10$

Получили систему:

$\begin{cases} y_B + y_C = 2 & (5) \\ y_A + y_C = -6 & (6) \\ y_A + y_B = 10 & (7) \end{cases}$

Сложим все три уравнения: $(y_B + y_C) + (y_A + y_C) + (y_A + y_B) = 2 + (-6) + 10$, что дает $2y_A + 2y_B + 2y_C = 6$, или $y_A + y_B + y_C = 3$ (8).

Вычитая из уравнения (8) поочередно уравнения (5), (6) и (7), найдем $y_A$, $y_B$ и $y_C$:

$(y_A + y_B + y_C) - (y_B + y_C) = 3 - 2 \implies y_A = 1$
$(y_A + y_B + y_C) - (y_A + y_C) = 3 - (-6) \implies y_B = 9$
$(y_A + y_B + y_C) - (y_A + y_B) = 3 - 10 \implies y_C = -7$

Таким образом, мы нашли координаты вершин треугольника: $A(5; 1)$, $B(-7; 9)$ и $C(3; -7)$.

Ответ: Координаты вершин треугольника: (5; 1), (-7; 9), (3; -7).

149. Определите по уравнению окружности координаты её центра и радиус:

1) $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49;$

2) $(x + 7)^2 + (y + 1)^2 = 36;$

3) $(x - 6)^2 + (y + 15)^2 = 81;$

4) $x^2 + (y - 9)^2 = 2.$

149. Определите по уравнению окружности координаты её центра и радиус:

1) $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49;$

2) $(x + 7)^2 + (y + 1)^2 = 36;$

3) $(x - 6)^2 + (y + 15)^2 = 81;$

4) $x^2 + (y - 9)^2 = 2.$

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Чтобы определить координаты центра и радиус по заданному уравнению, необходимо сравнить его с этим стандартным видом.

1) $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49$

Сравниваем данное уравнение со стандартной формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Для координаты $x$ имеем $(x + 2)^2$. Это можно переписать как $(x - (-2))^2$. Следовательно, координата центра $a = -2$.

Для координаты $y$ имеем $(y - 5)^2$. Отсюда координата центра $b = 5$.

Таким образом, центр окружности находится в точке с координатами $(-2; 5)$.

Правая часть уравнения равна квадрату радиуса: $R^2 = 49$.

Чтобы найти радиус, извлечем квадратный корень: $R = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: центр $(-2; 5)$, радиус $R = 7$.

2) $(x + 7)^2 + (y + 1)^2 = 36$

Сравниваем со стандартной формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Выражение $(x + 7)^2$ соответствует $(x - (-7))^2$, значит $a = -7$.

Выражение $(y + 1)^2$ соответствует $(y - (-1))^2$, значит $b = -1$.

Центр окружности находится в точке с координатами $(-7; -1)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 36$.

Радиус $R = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: центр $(-7; -1)$, радиус $R = 6$.

3) $(x - 6)^2 + (y + 15)^2 = 81$

Сравниваем со стандартной формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Из $(x - 6)^2$ следует, что $a = 6$.

Из $(y + 15)^2$, или $(y - (-15))^2$, следует, что $b = -15$.

Центр окружности находится в точке с координатами $(6; -15)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 81$.

Радиус $R = \sqrt{81} = 9$.

Ответ: центр $(6; -15)$, радиус $R = 9$.

4) $x^2 + (y - 9)^2 = 2$

Сравниваем со стандартной формой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Выражение $x^2$ можно записать как $(x - 0)^2$, следовательно $a = 0$.

Из $(y - 9)^2$ следует, что $b = 9$.

Центр окружности находится в точке с координатами $(0; 9)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 2$.

Радиус $R = \sqrt{2}$.

Ответ: центр $(0; 9)$, радиус $R = \sqrt{2}$.

150. Составьте уравнение окружности, если известны координаты её центра M и радиус R:

1) M (1; -4), R = 2;

2) M (0; -5), R = 3;

3) M (1; -1), $R = \sqrt{11}$.

150. Составьте уравнение окружности, если известны координаты её центра $M$ и радиус $R$:

1) $M (1; -4), R = 2;$

2) $M (0; -5), R = 3;$

3) $M (1; -1), R = \sqrt{11}.$

Общее уравнение окружности с центром в точке с координатами $(a; b)$ и радиусом $R$ задается формулой:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Для нахождения уравнения окружности в каждом из случаев необходимо подставить соответствующие координаты центра $M(a; b)$ и значение радиуса $R$ в эту формулу.

1) M (1; -4), R = 2;

В данном случае координаты центра $a = 1$, $b = -4$, а радиус $R = 2$.

Подставим эти значения в общее уравнение окружности:

$(x - 1)^2 + (y - (-4))^2 = 2^2$

Упростим полученное выражение, выполнив действия:

$(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 4$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 4$

2) M (0; -5), R = 3;

Здесь координаты центра $a = 0$, $b = -5$, а радиус $R = 3$.

Подставляем эти значения в формулу:

$(x - 0)^2 + (y - (-5))^2 = 3^2$

Упрощаем выражение:

$x^2 + (y + 5)^2 = 9$

Ответ: $x^2 + (y + 5)^2 = 9$

3) M (1; -1), R = $\sqrt{11}$.

Координаты центра $a = 1$, $b = -1$, а радиус $R = \sqrt{11}$.

Подставляем значения в формулу:

$(x - 1)^2 + (y - (-1))^2 = (\sqrt{11})^2$

Упрощаем правую часть уравнения, возведя радиус в квадрат:

$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 11$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 11$

151. Составьте уравнение окружности с центром в точке $M (1; -4)$, проходящей через точку $A (0; 3)$.

151. Составьте уравнение окружности с центром в точке $M (1; -4)$, проходящей через точку $A (0; 3)$.

Уравнение окружности в общем виде записывается как:

$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 $

где $(x_0; y_0)$ — координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Из условия задачи известно, что центр окружности находится в точке $M(1; -4)$. Таким образом, $x_0 = 1$ и $y_0 = -4$. Подставив эти значения в общее уравнение, получаем:

$ (x - 1)^2 + (y - (-4))^2 = R^2 $

$ (x - 1)^2 + (y + 4)^2 = R^2 $

Чтобы найти радиус $R$, воспользуемся тем, что окружность проходит через точку $A(0; 3)$. Радиус окружности — это расстояние от центра до любой точки на ней. Следовательно, радиус $R$ равен расстоянию между точками $M(1; -4)$ и $A(0; 3)$.

Квадрат расстояния между двумя точками (а значит, и квадрат радиуса) находится по формуле:

$ R^2 = (x_A - x_M)^2 + (y_A - y_M)^2 $

Подставим координаты точек $M$ и $A$:

$ R^2 = (0 - 1)^2 + (3 - (-4))^2 $

$ R^2 = (-1)^2 + (3 + 4)^2 $

$ R^2 = 1 + 7^2 $

$ R^2 = 1 + 49 $

$ R^2 = 50 $

Теперь подставим найденное значение $R^2 = 50$ в уравнение окружности:

$ (x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 50 $

Ответ: $ (x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 50 $

152. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок $AB$, если $A (-4; 7)$, $B (2; 5)$.

152. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если $A (-4; 7)$, $B (2; 5)$.

Уравнение окружности в общем виде имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус.

Чтобы составить уравнение, нам необходимо найти координаты центра и радиус окружности.

1. Нахождение координат центра окружности

По условию, отрезок AB является диаметром окружности. Центр окружности C является серединой ее диаметра. Координаты середины отрезка AB находятся по формулам:

$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим координаты точек A $(-4; 7)$ и B $(2; 5)$:

$x_0 = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_0 = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Следовательно, центр окружности C имеет координаты $(-1; 6)$.

2. Нахождение радиуса окружности

Радиус $R$ равен расстоянию от центра окружности до любой точки на ней (например, до точки A или B). Удобнее сразу найти квадрат радиуса $R^2$, так как именно он используется в уравнении. Найдем $R^2$ как квадрат расстояния между центром C $(-1; 6)$ и точкой B $(2; 5)$:

$R^2 = (x_B - x_0)^2 + (y_B - y_0)^2$

$R^2 = (2 - (-1))^2 + (5 - 6)^2$

$R^2 = (2 + 1)^2 + (-1)^2$

$R^2 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$

3. Составление уравнения окружности

Теперь, зная координаты центра $(x_0; y_0) = (-1; 6)$ и квадрат радиуса $R^2 = 10$, подставим эти значения в общее уравнение окружности:

$(x - (-1))^2 + (y - 6)^2 = 10$

$(x + 1)^2 + (y - 6)^2 = 10$

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 6)^2 = 10$

153. Составьте уравнение окружности, радиусом которой является отрезок KP, если K $(-2; 3)$, P $(5; -2)$.

153. Составьте уравнение окружности, радиусом которой является отрезок $KP$, если $K(-2; 3)$, $P(5; -2)$.

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

По условию, радиусом окружности является отрезок $KP$. Это означает, что один из концов отрезка ($K$ или $P$) является центром окружности, а другой — точкой на окружности. Следовательно, длина отрезка $KP$ равна радиусу $R$.

Сначала найдем квадрат радиуса $R^2$, который равен квадрату расстояния между точками $K(-2; 3)$ и $P(5; -2)$. Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

$R^2 = |KP|^2 = (5 - (-2))^2 + (-2 - 3)^2 = (5 + 2)^2 + (-5)^2 = 7^2 + 25 = 49 + 25 = 74$.

Поскольку в условии не уточнено, какая из точек является центром, необходимо рассмотреть два возможных случая.

1. Центр окружности — точка K(-2; 3).

В этом случае координаты центра $(a; b)$ равны $(-2; 3)$. Подставляем эти значения и найденный $R^2 = 74$ в общее уравнение окружности:

$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 74$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 74$

Ответ: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 74$.

2. Центр окружности — точка P(5; -2).

В этом случае координаты центра $(a; b)$ равны $(5; -2)$. Подставляем эти значения и $R^2 = 74$ в общее уравнение окружности:

$(x - 5)^2 + (y - (-2))^2 = 74$

$(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 74$

Ответ: $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 74$.