Страница 90 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

210. На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD отмечены такие точки P и E, что $AP = \frac{1}{4}AD$, $CE = \frac{2}{7}CD$ (рис. 72). Выразите векторы $\vec{BP}$ и $\vec{BE}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{m}$ и $\vec{BC} = \vec{n}$.

Рис. 72

Рис. 72

210. На сторонах $AD$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отмечены такие точки $P$ и $E$, что $AP = \frac{1}{4}AD$, $CE = \frac{2}{7}CD$ (рис. 72). Выразите векторы $\vec{BP}$ и $\vec{BE}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{m}$ и $\vec{BC} = \vec{n}$.

По условию задачи дан параллелограмм $ABCD$, в котором $\vec{AB} = \vec{m}$ и $\vec{BC} = \vec{n}$.
Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны и равны по длине, а соответствующие векторы равны. Таким образом:
$\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{n}$
$\vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{m}$

$\vec{BP}$

Для того чтобы выразить вектор $\vec{BP}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника). Рассмотрим путь из точки B в точку P через точку A:
$\vec{BP} = \vec{BA} + \vec{AP}$
Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{m}$.
По условию, точка $P$ находится на стороне $AD$ так, что $AP = \frac{1}{4}AD$. Поскольку векторы $\vec{AP}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены, их векторное соотношение такое же, как и у длин их отрезков:
$\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{AD}$
Так как $\vec{AD} = \vec{n}$, то получаем:
$\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{n}$
Теперь подставим найденные выражения векторов $\vec{BA}$ и $\vec{AP}$ в исходное равенство:
$\vec{BP} = -\vec{m} + \frac{1}{4}\vec{n}$
Ответ: $\vec{BP} = \frac{1}{4}\vec{n} - \vec{m}$.

$\vec{BE}$

Для выражения вектора $\vec{BE}$ также применим правило треугольника, рассмотрев путь из точки B в точку E через точку C:
$\vec{BE} = \vec{BC} + \vec{CE}$
Из условия нам известно, что $\vec{BC} = \vec{n}$.
Точка $E$ находится на стороне $CD$ так, что $CE = \frac{2}{7}CD$. Векторы $\vec{CE}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены, следовательно:
$\vec{CE} = \frac{2}{7}\vec{CD}$
Как мы установили ранее, $\vec{CD} = -\vec{m}$, поэтому:
$\vec{CE} = \frac{2}{7}(-\vec{m}) = -\frac{2}{7}\vec{m}$
Подставим найденные выражения для $\vec{BC}$ и $\vec{CE}$ в формулу для $\vec{BE}$:
$\vec{BE} = \vec{n} + (-\frac{2}{7}\vec{m}) = \vec{n} - \frac{2}{7}\vec{m}$
Ответ: $\vec{BE} = \vec{n} - \frac{2}{7}\vec{m}$.

211. Коллинеарны ли векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, если $A (-1; 5)$, $B (-3; 7)$, $C (4; -2)$, $D (-1; 3)$?

211. Коллинеарны ли векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$, если A $(-1; 5)$, B $(-3; 7)$, C $(4; -2)$, D $(-1; 3)$?

Для того чтобы определить, коллинеарны ли векторы, необходимо найти их координаты и проверить, являются ли эти координаты пропорциональными. Два вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ называются коллинеарными, если существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$, то есть $x_1 = kx_2$ и $y_1 = ky_2$. Это условие эквивалентно равенству отношений их координат: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$ (при условии, что $x_2 \neq 0$ и $y_2 \neq 0$).

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора находятся путем вычитания координат начальной точки из соответствующих координат конечной точки.

Для вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(-1; 5)$ и концом в точке $B(-3; 7)$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-3 - (-1); 7 - 5) = (-3 + 1; 2) = (-2; 2)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{CD}$.

Для вектора $\vec{CD}$ с началом в точке $C(4; -2)$ и концом в точке $D(-1; 3)$:

$\vec{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (-1 - 4; 3 - (-2)) = (-5; 3 + 2) = (-5; 5)$.

3. Проверим условие коллинеарности для векторов $\vec{AB}(-2; 2)$ и $\vec{CD}(-5; 5)$.

Для этого составим и сравним отношения их соответствующих координат:

Отношение x-координат: $\frac{-2}{-5} = \frac{2}{5}$.

Отношение y-координат: $\frac{2}{5}$.

Поскольку отношения координат равны ($\frac{2}{5} = \frac{2}{5}$), векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ пропорциональны, а следовательно, коллинеарны.

Ответ: да, векторы коллинеарны.

212. Среди векторов $\vec{a}(2; -5)$, $\vec{b}(8; -20)$, $\vec{c}(-4; 10)$, $\vec{d}(-14; 35)$ укажите пары:

1) сонаправленных векторов;

2) противоположно направленных векторов.

212. Среди векторов $\vec{a}(2; -5)$, $\vec{b}(8; -20)$, $\vec{c}(-4; 10)$, $\vec{d}(-14; 35)$ укажите пары:

1) сонаправленных векторов;

2) противоположно направленных векторов.

Два ненулевых вектора являются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Для векторов $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ это означает, что существует такое число $k \neq 0$, что $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$ или $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = k$.

Если коэффициент пропорциональности $k > 0$, то векторы сонаправлены.

Если коэффициент пропорциональности $k < 0$, то векторы противоположно направлены.

Проверим все пары данных векторов: $\vec{a}(2; -5)$, $\vec{b}(8; -20)$, $\vec{c}(-4; 10)$, $\vec{d}(-14; 35)$.

1) сонаправленных векторов

Ищем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ положителен.

Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$\frac{8}{2} = 4$
$\frac{-20}{-5} = 4$
Коэффициент $k=4$. Так как $k>0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены.

Сравним векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$:
$\frac{-14}{-4} = \frac{7}{2} = 3.5$
$\frac{35}{10} = \frac{7}{2} = 3.5$
Коэффициент $k=3.5$. Так как $k>0$, векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ сонаправлены.

Ответ: $\vec{a}$ и $\vec{b}$; $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

2) противоположно направленных векторов

Ищем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ отрицателен.

Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$:
$\frac{-4}{2} = -2$
$\frac{10}{-5} = -2$
Коэффициент $k=-2$. Так как $k<0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ противоположно направлены.

Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$:
$\frac{-14}{2} = -7$
$\frac{35}{-5} = -7$
Коэффициент $k=-7$. Так как $k<0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$ противоположно направлены.

Сравним векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$:
$\frac{-4}{8} = -0.5$
$\frac{10}{-20} = -0.5$
Коэффициент $k=-0.5$. Так как $k<0$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ противоположно направлены.

Сравним векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$:
$\frac{-14}{8} = -\frac{7}{4}$
$\frac{35}{-20} = -\frac{7}{4}$
Коэффициент $k=-\frac{7}{4}$. Так как $k<0$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ противоположно направлены.

Ответ: $\vec{a}$ и $\vec{c}$; $\vec{a}$ и $\vec{d}$; $\vec{b}$ и $\vec{c}$; $\vec{b}$ и $\vec{d}$.

213. Даны вектор $\vec{a}(-1; 4)$ и точка $B(3; 7)$. Найдите координаты такой точки $A$, чтобы векторы $\vec{BA}$ и $\vec{a}$ были противоположными.

213. Даны вектор $\vec{a}(-1; 4)$ и точка $B(3; 7)$. Найдите координаты такой точки A, чтобы векторы $\vec{BA}$ и $\vec{a}$ были противоположными.

Пусть искомая точка $A$ имеет координаты $(x_A; y_A)$.

Координаты вектора $\vec{BA}$ находятся как разность соответствующих координат его конца (точки $A$) и начала (точки $B$). Учитывая, что координаты точки $B$ равны $(3; 7)$, получаем:$\vec{BA} = (x_A - 3; y_A - 7)$.

По условию задачи, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{a}$ являются противоположными. Это означает, что их соответствующие координаты имеют противоположные знаки, то есть выполняется равенство $\vec{BA} = -\vec{a}$.

Дан вектор $\vec{a} = (-1; 4)$. Найдем координаты противоположного ему вектора $-\vec{a}$:$-\vec{a} = (-(-1); -4) = (1; -4)$.

Теперь приравняем соответствующие координаты векторов $\vec{BA}$ и $-\vec{a}$:$(x_A - 3; y_A - 7) = (1; -4)$.

Это дает нам систему из двух линейных уравнений:$ \begin{cases} x_A - 3 = 1 \\ y_A - 7 = -4 \end{cases} $

Решим эту систему, чтобы найти $x_A$ и $y_A$:
Из первого уравнения: $x_A = 1 + 3 \implies x_A = 4$.
Из второго уравнения: $y_A = -4 + 7 \implies y_A = 3$.

Таким образом, координаты точки $A$ равны $(4; 3)$.

Ответ: $A(4; 3)$.

214. Найдите значение $m$, при котором векторы $\vec{a}(m; 3)$ и $\vec{b}(5; -9)$ коллинеарны.

214. Найдите значение $m$, при котором векторы $\vec{a}(m; 3)$ и $\vec{b}(5; -9)$ коллинеарны.

Два вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ называются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны. Условие коллинеарности для ненулевых векторов можно записать в виде пропорции:

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$

В данном случае нам даны векторы $\vec{a}(m; 3)$ и $\vec{b}(5; -9)$.

Подставим координаты этих векторов в условие коллинеарности:

$\frac{m}{5} = \frac{3}{-9}$

Упростим дробь в правой части уравнения:

$\frac{m}{5} = -\frac{1}{3}$

Чтобы найти $m$, умножим обе части уравнения на 5:

$m = 5 \cdot (-\frac{1}{3})$

$m = -\frac{5}{3}$

Таким образом, при значении $m = -\frac{5}{3}$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ будут коллинеарны.

Ответ: $-\frac{5}{3}$

215. Найдите координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с вектором:

1) $ \vec{b}(24; -7) $;

2) $ \vec{c}(-x; y) $.

215. Найдите координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с вектором:

1) $\vec{b}(24; -7);$

2) $\vec{c}(-x; y).$

1)Чтобы найти координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с вектором $\vec{b}(24; -7)$, нужно найти так называемый единичный вектор (или орт) в направлении вектора $\vec{b}$. Это делается путем деления каждой координаты исходного вектора на его модуль (длину).
Сначала вычислим модуль вектора $\vec{b}$ по формуле $|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2}$:
$|\vec{b}| = \sqrt{24^2 + (-7)^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$.
Теперь, чтобы найти координаты искомого вектора $\vec{a}$, разделим координаты вектора $\vec{b}$ на его модуль:
$\vec{a} = (\frac{24}{|\vec{b}|}; \frac{-7}{|\vec{b}|}) = (\frac{24}{25}; -\frac{7}{25})$.
Ответ: $(\frac{24}{25}; -\frac{7}{25})$.

2)Аналогично, для вектора $\vec{c}(-x; y)$ найдем сонаправленный с ним единичный вектор. Для этого необходимо разделить координаты вектора $\vec{c}$ на его модуль. Данная операция определена, если вектор $\vec{c}$ не является нулевым, то есть $x$ и $y$ не равны нулю одновременно.
Найдем модуль вектора $\vec{c}$:
$|\vec{c}| = \sqrt{(-x)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Теперь найдем координаты искомого вектора $\vec{d}$, разделив координаты вектора $\vec{c}$ на его модуль:
$\vec{d} = (\frac{-x}{|\vec{c}|}; \frac{y}{|\vec{c}|}) = (\frac{-x}{\sqrt{x^2 + y^2}}; \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}})$.
Ответ: $(\frac{-x}{\sqrt{x^2 + y^2}}; \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}})$.

216. Найдите координаты вектора $ \vec{m} $, коллинеарного вектору $ \vec{n}(8; -15) $, если $ |\vec{m}| = 51 $.

216. Найдите координаты вектора $\vec{m}$, коллинеарного вектору $\vec{n}(8; -15)$, если $|\vec{m}| = 51$.

Поскольку векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ коллинеарны, то существует такое число $k$, что выполняется равенство $\vec{m} = k \cdot \vec{n}$.

Координаты вектора $\vec{m}$ будут равны координатам вектора $\vec{n}$, умноженным на коэффициент $k$:

$\vec{m} = (k \cdot 8; k \cdot (-15)) = (8k; -15k)$.

Длина (модуль) вектора $\vec{v}(v_x; v_y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$. По условию задачи, длина вектора $\vec{m}$ равна 51, то есть $|\vec{m}| = 51$.

Выразим длину вектора $\vec{m}$ через его координаты $(8k; -15k)$:

$|\vec{m}| = \sqrt{(8k)^2 + (-15k)^2} = \sqrt{64k^2 + 225k^2} = \sqrt{289k^2}$.

Так как $\sqrt{289} = 17$ и $\sqrt{k^2} = |k|$, получаем:

$|\vec{m}| = 17|k|$.

Теперь приравняем известное значение длины и полученное выражение:

$17|k| = 51$.

Отсюда найдем модуль коэффициента $k$:

$|k| = \frac{51}{17} = 3$.

Это означает, что $k$ может быть равен $3$ или $-3$. Найдем координаты вектора $\vec{m}$ для каждого из этих случаев.

1. Если $k = 3$, то:

$\vec{m} = (8 \cdot 3; -15 \cdot 3) = (24; -45)$.

2. Если $k = -3$, то:

$\vec{m} = (8 \cdot (-3); -15 \cdot (-3)) = (-24; 45)$.

Таким образом, существуют два вектора, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: $(24; -45)$ или $(-24; 45)$.

217. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(1;-4)$, $B(2;1)$, $C(5;3)$ и $D(10;2)$ является трапецией.

217. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(1; -4)$, $B(2; 1)$, $C(5; 3)$ и $D(10; 2)$ является трапецией.

По определению, трапеция — это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие — не параллельны. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является трапецией, нужно найти угловые коэффициенты его сторон и сравнить их. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Заданы вершины четырёхугольника: A(1; -4), B(2; 1), C(5; 3) и D(10; 2). Вычислим угловые коэффициенты для каждой пары противоположных сторон.

1. Проверим параллельность сторон BC и AD.

Найдём угловой коэффициент стороны BC:
$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{3 - 1}{5 - 2} = \frac{2}{3}$

Найдём угловой коэффициент стороны AD:
$k_{AD} = \frac{y_D - y_A}{x_D - x_A} = \frac{2 - (-4)}{10 - 1} = \frac{2 + 4}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Так как $k_{BC} = k_{AD} = \frac{2}{3}$, то стороны BC и AD параллельны (BC || AD).

2. Проверим параллельность сторон AB и CD.

Найдём угловой коэффициент стороны AB:
$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1 - (-4)}{2 - 1} = \frac{1 + 4}{1} = 5$

Найдём угловой коэффициент стороны CD:
$k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{2 - 3}{10 - 5} = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5}$

Так как $k_{AB} \neq k_{CD}$ ($5 \neq -\frac{1}{5}$), то стороны AB и CD не параллельны.

Поскольку у четырёхугольника ABCD есть одна пара параллельных сторон (BC и AD) и одна пара непараллельных сторон (AB и CD), он является трапецией.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является трапецией, так как его стороны BC и AD параллельны (их угловые коэффициенты равны), а стороны AB и CD не параллельны (их угловые коэффициенты не равны).

218. Лежат ли точки $A(-1; 5)$, $B(7; 13)$ и $C(0; 6)$ на одной прямой?

218. Лежат ли точки $A (-1; 5)$, $B (7; 13)$ и $C (0; 6)$ на одной прямой?

Для того чтобы проверить, лежат ли три точки на одной прямой, можно найти уравнение прямой, проходящей через две из этих точек, и затем подставить координаты третьей точки в это уравнение. Если равенство будет верным, то все три точки лежат на одной прямой.

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $A(-1; 5)$ и $B(7; 13)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$.

Подставим координаты точек A и B в уравнение прямой, чтобы получить систему уравнений для нахождения коэффициентов $k$ и $b$:

$ \begin{cases} 5 = k \cdot (-1) + b \\ 13 = k \cdot 7 + b \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 5 + k$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$13 = 7k + (5 + k)$

$13 = 8k + 5$

$8k = 13 - 5$

$8k = 8$

$k = 1$

Теперь найдем $b$, подставив значение $k = 1$ в выражение для $b$:

$b = 5 + 1 = 6$

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A и B, имеет вид: $y = x + 6$.

2. Проверим, принадлежит ли точка $C(0; 6)$ этой прямой. Для этого подставим ее координаты ($x=0$, $y=6$) в полученное уравнение:

$6 = 0 + 6$

$6 = 6$

Так как получилось верное равенство, точка C лежит на прямой, проходящей через точки A и B. Следовательно, все три точки лежат на одной прямой.

Ответ: Да, точки A, B и C лежат на одной прямой.

219. O — точка пересечения диагоналей трапеции $ABCD (AD \parallel BC), BC = 2, AD = 5$. Найдите такое число $x$, что:

1) $\vec{AO} = x \cdot \vec{OC};$

2) $\vec{BO} = x \cdot \vec{DB}.$

219. O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD ($AD \parallel BC$), $BC = 2$, $AD = 5$. Найдите такое число $x$, что:

1) $\vec{AO} = x \cdot \vec{OC}$;

2) $\vec{BO} = x \cdot \vec{DB}$.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), треугольники, образованные основаниями и точкой пересечения диагоналей, подобны.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$.

• $\angle CAD = \angle ACB$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$).
• $\angle BDA = \angle CBD$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$).
• $\angle AOD = \angle COB$ (вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AOD \sim \triangle COB$ по двум (или трем) углам.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин оснований: $k = \frac{AD}{BC} = \frac{5}{2} = 2.5$

Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон также равно коэффициенту подобия: $\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC} = 2.5$

1) $\vec{AO} = x \cdot \vec{OC}$

Векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ лежат на одной прямой (диагонали $AC$) и направлены в одну сторону (от точки $A$ к точке $C$). Следовательно, они сонаправлены, и число $x$ будет положительным. Значение $x$ равно отношению длин этих векторов: $x = \frac{|\vec{AO}|}{|\vec{OC}|} = \frac{AO}{OC}$

Из соотношения сторон подобных треугольников мы имеем: $\frac{AO}{CO} = 2.5$

Таким образом, $x = 2.5$.

Ответ: $2.5$

2) $\vec{BO} = x \cdot \vec{DB}$

Векторы $\vec{BO}$ и $\vec{DB}$ лежат на одной прямой (диагонали $DB$). Вектор $\vec{BO}$ направлен от точки $B$ к точке $O$. Вектор $\vec{DB}$ направлен от точки $D$ к точке $B$. Так как точка $O$ лежит между $D$ и $B$, векторы направлены в противоположные стороны. Следовательно, число $x$ будет отрицательным.

Модуль числа $x$ равен отношению длин векторов: $|x| = \frac{|\vec{BO}|}{|\vec{DB}|} = \frac{BO}{DB}$

Из соотношения сторон подобных треугольников мы знаем, что $\frac{DO}{BO} = 2.5$, откуда $DO = 2.5 \cdot BO$. Длина всей диагонали $DB$ равна сумме длин ее частей: $DB = DO + BO = 2.5 \cdot BO + BO = 3.5 \cdot BO = \frac{7}{2} BO$

Теперь найдем отношение длин: $\frac{BO}{DB} = \frac{BO}{\frac{7}{2} BO} = \frac{1}{\frac{7}{2}} = \frac{2}{7}$

Поскольку векторы противоположно направлены, $x$ отрицателен: $x = -\frac{2}{7}$

Ответ: $-\frac{2}{7}$

220. Даны векторы $\vec{a}(2; -7)$, $\vec{b}(-2; 5)$ и $\vec{n}(-2; 9)$. Найдите такие числа x и y, что $\vec{n} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

220. Даны векторы $\vec{a}(2; -7)$, $\vec{b}(-2; 5)$ и $\vec{n}(-2; 9)$. Найдите такие числа $x$ и $y$, что $\vec{n} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

Нам даны векторы $\vec{a}(2; -7)$, $\vec{b}(-2; 5)$ и $\vec{n}(-2; 9)$. Требуется найти такие числа $x$ и $y$, что выполняется равенство $\vec{n} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

Подставим координаты векторов в это равенство:

$(-2; 9) = x(2; -7) + y(-2; 5)$

Выполним операции умножения векторов на скаляры и сложения векторов в правой части уравнения:

$(-2; 9) = (2x; -7x) + (-2y; 5y)$

$(-2; 9) = (2x - 2y; -7x + 5y)$

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Приравняем координаты и получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x$ и $y$:

$\begin{cases} 2x - 2y = -2 \\ -7x + 5y = 9 \end{cases}$

Разделим первое уравнение на 2 для упрощения:

$x - y = -1$

Отсюда выразим $x$ через $y$:

$x = y - 1$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$-7(y - 1) + 5y = 9$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$-7y + 7 + 5y = 9$

$-2y = 9 - 7$

$-2y = 2$

$y = -1$

Теперь, зная $y$, найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = y - 1$:

$x = -1 - 1$

$x = -2$

Таким образом, мы нашли искомые числа $x$ и $y$.

Ответ: $x = -2$, $y = -1$.