Номер 10, страница 45, часть 1 - гдз по математике 2 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Урок 23. Название и запись трёхзначных чисел. Часть 1 - номер 10, страница 45.

Условие 2023.

10* Игра «Магические квадраты»

$16$ $2$ $$
$$ $8$ $$
$14$ $$ $$

$12$ $$ $$
$$ $16$ $$
$28$ $$ $20$

$$ $3$ $$
$$ $13$ $5$
$11$ $$ $$

Решение 2 (2023).

В магическом квадрате суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на двух главных диагоналях равны одному и тому же числу, которое называется магической константой.

Первый квадрат

Сначала найдем магическую константу $S$. Одна из диагоналей заполнена полностью: $14, 8, 2$. Сложим эти числа:
$S = 14 + 8 + 2 = 24$
Теперь, зная, что сумма в каждой строке, столбце и диагонали равна 24, мы можем найти остальные числа.

1. Найдем число в центральном столбце (вторая строка, второй столбец уже известен — 8). Обозначим недостающее число (третья строка, второй столбец) за $h$.
   $16 + 8 + h = 24$
   $24 + h = 24$
   $h = 0$
2. Найдем число в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Обозначим его за $a$.
   $a + 16 + 2 = 24$
   $a + 18 = 24$
   $a = 6$
3. Найдем число в правом нижнем углу (третья строка, третий столбец). Обозначим его за $i$.
   $14 + 0 + i = 24$
   $14 + i = 24$
   $i = 10$
4. Найдем число в правом столбце (вторая строка, третий столбец). Обозначим его за $f$.
   $2 + f + 10 = 24$
   $f + 12 = 24$
   $f = 12$
5. Найдем число в левом столбце (вторая строка, первый столбец). Обозначим его за $d$.
   $d + 8 + 12 = 24$
   $d + 20 = 24$
   $d = 4$

Заполненный квадрат выглядит так:

6	16	2
4	8	12
14	0	10

Ответ:

6	16	2
4	8	12
14	0	10

Второй квадрат

Этот квадрат невозможно заполнить, так как исходные числа содержат противоречие. Докажем это.
Пусть $S$ — магическая константа, а $i$ — неизвестное число в правом нижнем углу.
Сумма чисел на главной диагонали (от левого верхнего до правого нижнего угла) должна быть равна $S$:
$S = 12 + 16 + i = 28 + i$
Сумма чисел в нижней строке также должна быть равна $S$:
$S = 28 + 20 + i = 48 + i$
Приравнивая два выражения для $S$, получаем:
$28 + i = 48 + i$
Вычитая $i$ из обеих частей уравнения, получаем $28 = 48$, что является неверным. Это противоречие доказывает, что квадрат с заданными числами не может быть магическим.

Ответ: Данный квадрат невозможно заполнить, так как исходные числа противоречат свойствам магического квадрата.

Третий квадрат

Этот квадрат также содержит противоречие в исходных данных, и его невозможно заполнить.
Пусть $S$ — магическая константа, $a$ — число в левом верхнем углу, $c$ — в правом верхнем углу, а $e$ — в центре.
Рассмотрим первую строку и первый столбец:
Сумма первой строки: $a + 3 + c = S$
Сумма первого столбца: $a + 13 + 11 = S$, то есть $a + 24 = S$
Так как обе суммы равны $S$, мы можем их приравнять: $a + 3 + c = a + 24$. Вычитая $a$ из обеих частей, получаем $3 + c = 24$, откуда $c = 21$.
Теперь рассмотрим вторую строку и вторую диагональ (от правого верхнего до левого нижнего угла):
Сумма второй строки: $13 + e + 5 = S$, то есть $18 + e = S$
Сумма второй диагонали: $c + e + 11 = S$
Приравнивая эти два выражения для $S$, получаем: $18 + e = c + e + 11$. Вычитая $e$ из обеих частей, получаем $18 = c + 11$, откуда $c = 7$.
Таким образом, мы получили, что число $c$ должно быть одновременно равно 21 и 7, что невозможно. Это противоречие доказывает, что данный квадрат нельзя заполнить по правилам.

Ответ: Данный квадрат невозможно заполнить, так как исходные числа противоречат свойствам магического квадрата.

Условие 2020-2022.

10* Игра: «Магические квадраты»

$\begin{array}{ccc} & 16 & 2 \\ & 8 & \\14 & &\end{array}$

$\begin{array}{ccc}12 & & \\ & 16 & \\28 & & 20\end{array}$

$\begin{array}{ccc} & 3 & \\ & 13 & 5 \\11 & &\end{array}$

Решение 2020-2022.