Номер 7, страница 87, часть 4 - гдз по математике 3 класс учебник Акпаева, Лебедева

7. В классе 25 учащихся. Среди них 5 учеников не умеют играть ни в шахматы, ни в шашки. 18 учеников играют в шашки, 20 учеников играют в шахматы. Сколько учеников играют и в шахматы, и в шашки?

Составь вопросы и задания по теме урока.

почему

назови

объясни

Для решения задачи воспользуемся принципом включений-исключений для множеств.

Введем обозначения:

• $U$ — общее количество учащихся в классе, $|U| = 25$.
• $Ш$ — множество учащихся, играющих в шахматы, $|Ш| = 20$.
• $Д$ — множество учащихся, играющих в шашки, $|Д| = 18$.
• $Н$ — множество учащихся, не играющих ни в одну из этих игр, $|Н| = 5$.

Нам нужно найти количество учеников, которые играют и в шахматы, и в шашки, то есть найти мощность пересечения множеств $Ш$ и $Д$ — $|Ш \cap Д|$.

1. Найдем общее количество учеников, которые играют хотя бы в одну игру.

Это количество равно общему числу учащихся в классе минус число тех, кто не играет ни в одну игру. Это число соответствует мощности объединения множеств $Ш$ и $Д$, то есть $|Ш \cup Д|$.

$|Ш \cup Д| = |U| - |Н| = 25 - 5 = 20$ учеников.

2. Найдем количество учеников, которые играют в обе игры.

Формула включений-исключений для двух множеств выглядит так:

$|Ш \cup Д| = |Ш| + |Д| - |Ш \cap Д|$

Мы знаем все значения в этой формуле, кроме искомого $|Ш \cap Д|$. Подставим известные данные:

$20 = 20 + 18 - |Ш \cap Д|$

Выполним сложение в правой части уравнения:

$20 = 38 - |Ш \cap Д|$

Теперь выразим из уравнения $|Ш \cap Д|$:

$|Ш \cap Д| = 38 - 20$

$|Ш \cap Д| = 18$

Следовательно, 18 учеников играют и в шахматы, и в шашки.

Проверка:

• Количество учеников, играющих только в шахматы: $|Ш| - |Ш \cap Д| = 20 - 18 = 2$.
• Количество учеников, играющих только в шашки: $|Д| - |Ш \cap Д| = 18 - 18 = 0$.
• Количество учеников, играющих в обе игры: $18$.
• Количество учеников, не играющих ни в одну игру: $5$.

Просуммируем все группы учеников: $2$ (только шахматы) $+ 0$ (только шашки) $+ 18$ (обе игры) $+ 5$ (ни в одну) $= 25$.

Общее количество совпадает с числом учеников в классе, значит, решение верное.

Ответ: 18 учеников.