Номер 1038, страница 259 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1038, страница 259.

1038 Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. Обозначим буквой M середину гипотенузы AB. Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 318. Если ВС=а, АС=b, то вершины треугольника имеют координаты С(0;0), В(а;0), А(0;b). По формулам координат середины отрезка находим координаты точки M:

$M\left(\frac{a}{2};\frac{b}{2}\right).$

Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, найдём длины отрезков МС и МА:

$MC=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$

$MA=\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}-b\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$

Таким образом, МА=МВ=МС, что и требовалось доказать.

Для доказательства используем метод координат. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ является прямым. Поместим этот треугольник в прямоугольную систему координат так, чтобы вершина $C$ совпала с началом координат, катет $BC$ лежал на оси $Ox$, а катет $AC$ — на оси $Oy$.

Пусть длина катета $BC$ равна $a$, а длина катета $AC$ равна $b$. Тогда вершины треугольника будут иметь следующие координаты:

• $C(0; 0)$ — вершина прямого угла в начале координат.
• $B(a; 0)$ — вершина на оси $Ox$.
• $A(0; b)$ — вершина на оси $Oy$.

Гипотенузой является отрезок $AB$. Обозначим её середину буквой $M$. Чтобы найти координаты точки $M$, воспользуемся формулой координат середины отрезка. Координаты середины отрезка равны полусуммам соответствующих координат его концов.

Координаты точки $M$, середины отрезка $AB$ с концами $A(0; b)$ и $B(a; 0)$:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + a}{2} = \frac{a}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{b + 0}{2} = \frac{b}{2}$

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $M\left(\frac{a}{2}; \frac{b}{2}\right)$.

Теперь нам нужно доказать, что точка $M$ равноудалена от всех трёх вершин треугольника, то есть что длины отрезков $MA$, $MB$ и $MC$ равны. Для этого найдём квадраты этих расстояний, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.

1. Найдём расстояние от M до вершины A:
$MA^2 = \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - b\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$

2. Найдём расстояние от M до вершины B:
$MB^2 = \left(\frac{a}{2} - a\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 = \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$

3. Найдём расстояние от M до вершины C:
$MC^2 = \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}$

Мы видим, что квадраты расстояний от точки $M$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны между собой:
$MA^2 = MB^2 = MC^2 = \frac{a^2+b^2}{4}$

Поскольку расстояния являются положительными величинами, из равенства их квадратов следует и равенство самих расстояний:
$MA = MB = MC = \sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$

Таким образом, мы доказали, что точка $M$, являющаяся серединой гипотенузы прямоугольного треугольника, находится на одинаковом расстоянии от всех его трёх вершин. Что и требовалось доказать.

Ответ: Мы доказали утверждение, показав, что расстояния от середины гипотенузы до каждой из трёх вершин треугольника равны. Если вершины прямоугольного треугольника $A(0; b)$, $B(a; 0)$, $C(0; 0)$ и середина гипотенузы $M(\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$, то $MA = MB = MC = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$.