Номер 1039, страница 259 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Простейшие задачи в координатах. 96. Простейшие задачи в координатах. Глава 11. Метод координат - номер 1039, страница 259.

1039 Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Решение

Пусть ABCD — данный параллелограмм. Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 319. Если AD=BC=a, а точка В имеет координаты (b;с), то точка D имеет координаты (а;0), а точка С — координаты (а+b;с). Используя формулу расстояния между двумя точками, находим:

AB²=b²+с², AD²=а²,

АС²=(а+b)²+с²,

BD²=(а−b)²+с².

Отсюда получаем:

AB²+ВС²+CD²+DA²=2(AB²+AD²)=2(a²+b²+с²),
АС²+BD²=(а+b)²+с²+(а−b)²+с²=2(a²+b²+с²).

Таким образом,

AB²+ВС²+CD²+DA²=AC²+BD²,

что и требовалось доказать.

Решение

Пусть нам дан параллелограмм $ABCD$. Для доказательства этого свойства воспользуемся методом координат. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы вершина $A$ совпадала с началом координат, то есть $A(0; 0)$, а сторона $AD$ лежала на оси абсцисс $Ox$.

Пусть длина стороны $AD$ равна $a$. Тогда координаты вершины $D$ будут $(a; 0)$.

Обозначим координаты вершины $B$ как $(b; c)$.

Поскольку $ABCD$ — это параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны. В векторной форме это означает, что вектор $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AD}$.

Координаты вектора $\vec{AD}$ равны $(a - 0; 0 - 0) = (a; 0)$.

Если координаты точки $C$ обозначить как $(x_C; y_C)$, то координаты вектора $\vec{BC}$ будут $(x_C - b; y_C - c)$.

Из равенства векторов $\vec{AD} = \vec{BC}$ получаем систему уравнений:

$x_C - b = a \implies x_C = a + b$

$y_C - c = 0 \implies y_C = c$

Таким образом, мы определили координаты всех вершин параллелограмма: $A(0; 0)$, $B(b; c)$, $C(a+b; c)$ и $D(a; 0)$.

Теперь найдём квадраты длин всех сторон и диагоналей, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Квадраты длин сторон:

$AB^2 = (b - 0)^2 + (c - 0)^2 = b^2 + c^2$

$AD^2 = (a - 0)^2 + (0 - 0)^2 = a^2$

В параллелограмме противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $AD = BC$), поэтому их квадраты также равны:

$CD^2 = AB^2 = b^2 + c^2$

$BC^2 = AD^2 = a^2$

Сумма квадратов длин сторон:

$AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = (b^2 + c^2) + a^2 + (b^2 + c^2) + a^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2$

Квадраты длин диагоналей:

Диагональ $AC$ соединяет точки $A(0;0)$ и $C(a+b;c)$:

$AC^2 = ((a+b) - 0)^2 + (c - 0)^2 = (a+b)^2 + c^2$

Диагональ $BD$ соединяет точки $B(b;c)$ и $D(a;0)$:

$BD^2 = (a - b)^2 + (0 - c)^2 = (a-b)^2 + c^2$

Сумма квадратов длин диагоналей:

$AC^2 + BD^2 = ((a+b)^2 + c^2) + ((a-b)^2 + c^2)$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$AC^2 + BD^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + c^2 + (a^2 - 2ab + b^2) + c^2$

Приведём подобные слагаемые:

$AC^2 + BD^2 = a^2 + 2ab + b^2 + c^2 + a^2 - 2ab + b^2 + c^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2$

Сравнение результатов:

Мы получили, что сумма квадратов сторон равна $2a^2 + 2b^2 + 2c^2$ и сумма квадратов диагоналей также равна $2a^2 + 2b^2 + 2c^2$.

Следовательно, $AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = AC^2 + BD^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Было доказано, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Математически это выражается равенством: $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2$.